Dinámica de Sistemas de 1 GDL

1. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
SISTEMA IDEALIZADO
INESA adiestramiento

2. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
SISTEMA IDEALIZADO
Una estructura con un solo grado de libertad y sin amortiguamiento, puede idealizarse como una masa concentrada,
soportada por un elemento sin masa, con rigidez k en la dirección lateral.
Por definición, el período fundamental de
vibración depende de la masa y la rigidez
INESA adiestramiento

3. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
SISTEMA IDEALIZADO
En un pórtico de un nivel, el modelo idealizado consiste de una masa m concentrada en el tope, una rigidez k lateral,
y un amortiguador viscoso que disipa la energía de vibración del sistema. Se asume que las vigas y columnas tienen
rigidez axial infinita (no se deformarán axialmente).
En la realidad, cada miembro estructural (vigas, columnas, muros) contribuye a las propiedades inerciales (masas),
elásticas (rigidez o flexibilidad) y de disipación de energía (amortiguamiento) de la estructura. Sin embargo, en el
sistema idealizado, cada una de estas propiedades se encuentra concentrada en un componente de masa, uno de
rigidez, y uno de amortiguamiento.
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4. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
FUERZA DE AMORTIGUAMIENTO
INESA adiestramiento

5. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
FUERZA DE AMORTIGUAMIENTO
La fuerza de amortiguamiento es aquella capaz de hacer decrecer la amplitud de la vibración a la que se somete un
sistema estructural y se relaciona con la velocidad del sistema mediante el amortiguador viscoso de la siguiente manera:
𝒇𝑫 = 𝒄 ሶ
𝒖
El sistema sometido a vibración, disipa su energía mediante varios mecanismos incluyendo la fricción de los
componentes estructurales. El subíndice D se refiere a la palabra damper, y la constante c es el coeficiente de
amortiguamiento viscoso con unidades de fuerza por tiempo/longitud
INESA adiestramiento

6. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
RELACIÓN FUERZA-DESPLAZAMIENTO
INESA adiestramiento

7. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
RELACIÓN FUERZA-DESPLAZAMIENTO
La relación entre los desplazamientos y las fuerzas internas de la estructura depende del comportamiento de la misma,
es decir, si el sistema se encuentra en un régimen elástico o inelástico. En términos generales, si se aplica una fuerza
externa, por equilibrio, se produce una fuerza interna resistente de igual magnitud pero en sentido opuesto.
Esta relación fuerza-desplazamiento
será lineal para pequeñas
deformaciones, pero pasará a ser no
lineal a mayores deformaciones, que
superen la condición elástica del sistema
Sistema
elástico Sistema
inelástico
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8. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
RELACIÓN FUERZA-DESPLAZAMIENTO
Para un sistema lineal, la relación entre la fuerza lateral fs y la deformación resultante u
viene dada por la rigidez lateral del sistema k, con unidades de fuerza/longitud.
𝑓𝑠 = 𝑘𝑢
La rigidez lateral k, se debe obtener a través de un análisis matricial, el cual depende de las propiedades de los
elementos, geometría y grados de libertad de la estructura. En determinados casos, se puede proponer un modelo
considerando que las vigas tienen rigidez infinita a flexión, o bien, rigidez a flexión nula.
𝑘 = ෍
𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
12𝐸𝐼𝑐
ℎ3 = 24
𝐸𝐼𝑐
ℎ3 𝑘 = ෍
𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
3𝐸𝐼𝑐
ℎ3 = 6
𝐸𝐼𝑐
ℎ3
Caso General
INESA adiestramiento

9. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
RELACIÓN FUERZA-DESPLAZAMIENTO
Al someter una estructura a cargas cíclicas, podemos
observar la capacidad que tiene de incursionar en el
rango inelástico, donde la fuerza fs relacionada con
el desplazamiento u, no es un valor único y depende
de la historia de deformaciones, y si la deformación
está incrementando (velocidad positiva) o decreciendo
(velocidad negativa).
Los sistemas estructurales inelásticos son capaces
de soportar cargas más allá de su límite elástico de
acuerdo a las propiedades de sus materiales. En la
figura mostrada se representa el comportamiento de
una estructura sometida a cargas cíclicas
ሻ
𝑓𝑠 = 𝑓𝑠(𝑢, ሶ
𝑢
La fuerza resistente puede expresarse como:
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10. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
RELACIÓN FUERZA-DESPLAZAMIENTO
Para obtener la correspondiente relación fuerza-deformación en un pórtico de comportamiento inelástico, se
pueden aplicar dos métodos:
Método de análisis estático no lineal, y hacer un
seguimiento de la cedencia de la estructura en posiciones
críticas y formación de rótulas plásticas hasta obtener la
curva de capacidad
La otra manera es definir la relación inelástica
esfuerzo-deformación como una versión
idealizada desde datos experimentales
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11. MÁSTER INTERNACIONAL EN DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE PUENTES
DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
SISTEMA
MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR
(ECUACIÓN DE MOVIMIENTO)
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12. MÁSTER INTERNACIONAL EN DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE PUENTES
DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
SISTEMA (MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR)
𝑓𝐷 = 𝑐 ሶ
𝑢
𝑓𝑠 = 𝑘𝑢
Coeficiente de amortiguamiento viscoso
con unidades de fuerza por tiempo/longitud
Rigidez del sistema
Desplazamiento
Fuerza externa
Masa del sistema
Diagrama de Cuerpo Libre
Fuerza de amortiguamiento
Fuerza elástica resistente
ሻ
𝑚 ሷ
𝑢 + 𝑓𝐷 + 𝑓𝑠 = 𝑝(𝑡
Por equilibrio, se define la ecuación de
movimiento:
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13. DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
FUERZA EXTERNA
Y EXCITACIÓN SÍSMICA
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14. MÁSTER INTERNACIONAL EN DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE PUENTES
DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
FUERZA EXTERNA Y EXCITACIÓN SÍSMICA
Considerando que sobre un pórtico idealizado, actúa una fuerza dinámica externa p(t) que varía en función del tiempo,
en la dirección del grado de libertad llamado u. Se obtiene la misma ecuación de movimiento definida anteriormente
para el sistema masa-resorte-amortiguador, sólo que en este caso, se establece la diferencia entre un comportamiento
elástico e inelástico:
ሻ
𝑚 ሷ
𝑢 + 𝑐 ሶ
𝑢 + 𝑓𝑆(𝑢, ሶ
𝑢ሻ = 𝑝(𝑡
ሻ
𝑚 ሷ
𝑢 + 𝑐 ሶ
𝑢 + 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡 Ecuación de movimiento para un sistema elástico
Ecuación de movimiento para un sistema inelástico
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15. MÁSTER INTERNACIONAL EN DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE PUENTES
DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
FUERZA EXTERNA Y EXCITACIÓN SÍSMICA
Al ocurrir un evento sísmico, se produce el movimiento del terreno, cuyo desplazamiento se representa como ug, lo
cual induce fuerzas inerciales sobre la estructura, generando que la misma se deforme en función a un
desplazamiento relativo denotado como u. De esta forma, el desplazamiento total será la suma de dichos
desplazamientos.
൯
𝑢𝑡 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 𝑢𝑔(𝑡
Desplazamiento total
𝑓𝐼 = 𝑚 ሷ
𝑢𝑡
Fuerza de inercia
𝑓𝐼 + 𝑓𝐷 + 𝑓𝑆 = 0
൯
𝑚 ሷ
𝑢 + 𝑐 ሶ
𝑢 + 𝑘𝑢 = −𝑚 ሷ
𝑢𝑔(𝑡
𝑚 ሷ
𝑢𝑡
+ 𝑐 ሶ
𝑢 + 𝑘𝑢 = 0
Por equilibrio:
Para el caso elástico:
Para el caso inelástico:
൯
𝑚 ሷ
𝑢 + 𝑐 ሶ
𝑢 + 𝑓𝑆(𝑢, ሶ
𝑢ሻ = −𝑚 ሷ
𝑢𝑔(𝑡
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16. MÁSTER INTERNACIONAL EN DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE PUENTES
DINÁMICA DE SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
FUERZA EXTERNA Y EXCITACIÓN SÍSMICA
El desplazamiento relativo o deformación u(t) de la estructura debida a una aceleración del terreno ሷ
𝑢𝑔(𝑡ሻ será idéntico
a un desplazamiento u(t) de la estructura si la base no tuviese movimiento y estuviera sujeta a una fuerza externa
igual a −𝑚 ሷ
𝑢𝑔(𝑡ሻ. Podemos entonces reemplazar la fuerza sísmica por una fuerza efectiva denominada peff:
൯
𝑚 ሷ
𝑢 + 𝑐 ሶ
𝑢 + 𝑘𝑢 = −𝑚 ሷ
𝑢𝑔(𝑡 ൯
𝑚 ሷ
𝑢 + 𝑐 ሶ
𝑢 + 𝑓𝑆(𝑢, ሶ
𝑢ሻ = −𝑚 ሷ
𝑢𝑔(𝑡
Ecuación de movimiento para
un sistema elástico
Ecuación de movimiento para
un sistema inelástico
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