Estados de Tensión y Deformación

1. Estados de Tensión y
Deformación
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

2. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
ESTADOS DE TENSIÓN 3
DEFINICIÓN DE VECTOR TENSIÓN 3
CUBO ELEMENTAL SUJETO A TENSIONES 4
VECTOR DE TENSIONES EN UN PUNTO – (TENSOR DE TENSIONES) 6
TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES 7
CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO ELÁSTICO ESPACIAL 8
COSENOS DIRECTORES DE LOS PLANOS PRINCIPALES 10
ESTADO ELÁSTICO DOBLE O PLANO 11
CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESTADO ELÁSTICO DOBLE O PLANO 13
TENSIONES OCTAÉDRICAS 16
ESTADOS DE DEFORMACIÓN 25
DEFINICIONES 25
TRANSFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO 26
TENSOR DEFORMACIÓN 26
DIRECCIONES PRINCIPALES Y DEFORMACIONES PRINCIPALES 27
REPRESENTACIÓN PLANA DEL TENSOR DEFORMACIÓN 28
RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES 29
CAMBIO DE LA CIRCUNFERENCIA DE DEFORMACIONES A LA DE TENSIONES 31
ESTADO PLANO DE DEFORMACIÓN 32
OBTENCIÓN DEL ESTADO DE DEFORMACIONES CON ROSETAS EXTENSOMÉTRICAS 45
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 50

3. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

4. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Estados de Tensión
Definición de Vector Tensión
Consideremos un cuerpo en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores que comprende:
1.1. Fuerzas de volumen: (F.dv), que tienen
por componentes sobre los ejes ortogonales:








dv
z
dv
y
dv
x
1
1
1
Las fuerzas de gravedad y las de inercia
son fuerzas de volumen.
1.2. Fuerzas de superficie: (.dv), aplicadas
en la superficie exterior, de componentes
sobre los ejes ortogonales:








ds
z
ds
y
ds
x
2
2
2
La presión de un fluido, el empuje de un terraplén son fuerzas de superficie. Cuando un cuerpo
está en equilibrio el sistema de fuerzas F.dv y .dv es nulo.
Imaginemos una superficie  que descompone al cuerpo en dos partes A y B. La parte B está en
equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores y de las reacciones ejercidas por la parte A sobre la B.
Podemos admitir que sobre cada elemento dA de la superficie de separación  , A ejerce sobre B una
fuerza elástica .dA aplicada al centro P del elemento dA. Por definición,  es el vector tensión
correspondiente al elemento dA orientado de A hacia B.
La proyección de  sobre la normal al elemento de superficie dA es la tensión normal . Esta puede ser
de tracción o compresión y por convención será negativa cuando sea de compresión.
La proyección de  sobre el plano tangente al elemento de superficie de superficie dA es la tensión
tangencial .
El conjunto de las fuerzas elásticas .dA, aplicadas a la superficie  forma un sistema equivalente al
sistema de fuerzas exteriores directamente aplicadas a la parte A. Se observa que la definición de tensión
supone:
 Continuidad de la materia.
 Que los enlaces entre las dos partes A y B del cuerpo se reducen a acciones superficiales.
 Las dimensiones de la tensión son las de una fuerza por unidad de superficie.

5. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estabilidad IIB – 64.12
Cubo Elemental sujeto a Tensiones
Consideremos un punto A
correspondiente a un sólido
sujeto a tensiones, punto
que haremos coincidir con
el origen de una terna de
ejes coordenados x, y, z y
tres planos ortogonales que
pasen por el punto,
coincidentes con los planos.
Consideremos un segundo
punto B de coordenadas dx,
dy, dz, y admitiendo que las
funciones que definen las
variaciones de  y  son
continuas y derivables.
En consecuencia, en la cara
dy - dz, que pasa por A,
actúa las tensión normal
x, y las tensiones tangenciales xy y xz, en la cara paralela que pasa por B, y que dista dx de la
anterior, dichas tensiones se habrán incrementado y sus respectivos valores serán:
dx
x
dx
x
dx
x
xz
xz
xy
xy
x
x








 

 ;
;
Análogamente, las tensiones en las dos caras restantes que pasan por A se habrán incrementado al
considerar las caras paralelas, siendo sus correspondientes valores los que se indican en la figura.
Además, el cubo elemental se encuentra sometido a fuerzas de masa, que consideraremos aplicadas en
su baricentro. Llamaremos X, Y, Z a las componentes de dicha fuerza de masa por unidad de volumen
según los tres ejes coordenados. El equilibrio del cubo elemental exige que se cumplan tres condiciones
de nulidad de momento respecto a tres ejes cualesquiera y tres ecuaciones de nulidad de proyecciones
sobre los mismos. Plantiemos primeramente las condiciones de nulidad de proyección:
a) Sobre el eje x:
0














































dz
dy
dx
X
dy
dx
dy
dx
dz
z
dz
dx
dz
dx
dy
y
dz
dy
dz
dy
dx
x
zx
zx
zx
yx
yx
yx
x
x
x












Simplificando términos iguales y dividiendo por dx, dy, dz, llegamos a:
0



 X
z
y
x
zx
yx
x






haciendo lo propio sobre los ejes y y z llegamos a las siguientes expresiones:

6. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 5 Curso: Ing. Gabriel Pujol























0
0
0
Z
z
y
x
Y
z
y
x
X
z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x


















denominadas ecuaciones de equilibrio y que constituyen un sistema de tres ecuaciones con nueve
incógnitas, que no puede resolverse sin recurrir a ecuaciones adicionales.
Plantiemos ahora las condiciones de nulidad de momentos, eligiendo para ello tres ejes ortogonales
paralelos a los coordenados y que pasen por el baricentro del cubo elemental. Consideremos
primeramente los momentos respecto del eje paralelo al eje x. (serán nulos los momentos
correspondientes a fuerzas que corten o sean paralelas al eje considerado).
0
2
2
2
2






































dz
dy
dx
dz
z
dz
dy
dx
dy
dz
dx
dy
y
dy
dz
dx
zy
zy
zy
yz
yz
yz








desarrollando y sumando se tiene:
0
2
2
2
2
2
2
2
2
























dz
dy
dx
z
dz
dy
dx
dz
dy
dx
dy
dz
dx
y
dy
dz
dx
dy
dz
dx
zy
zy
zy
yz
yz
yz








Ahora bien, los términos dy2 y dz2 son infinitésimos de orden superior con respecto a los restantes y
pueden despreciarse, resultando finalmente, luego de simplificar:
0

 yz
zy 

Análogamente, tomando momentos respecto a ejes paralelos a los ejes paralelos a y y z llegamos a las
siguientes expresiones:
0
0




yx
xy
zx
xz




Expresiones que pueden escribirse como sigue:








zy
yz
zx
xz
yx
xy






y que constituyen las expresiones analíticas del teorema de Cauchy, cuyo enunciado es el siguiente:

7. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estabilidad IIB – 64.12
“En dos planos normales cualesquiera, cuya intersección define una arista, las componentes normales a
ésta de las tensiones tangenciales que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se
alejan de la arista.”
Esta última consideración surge de la diferencia de signos, ya que para que exista, equilibrio los
momentos derivados de las tensiones tangenciales de subíndices permutados, deben tener sentidos de
giro contrario. Teniendo en cuenta las igualdades derivadas del teorema de Cauchy, las expresiones de
las ecuaciones de equilibrio se transforman como sigue:























0
0
0
Z
z
y
x
Y
z
y
x
X
z
y
x
z
yz
xz
yz
y
xy
xz
xy
x


















El establecimiento del estado tensional de un sólido sujeto a cargas, exige conocer para todos los puntos
del mismo, los valores de las seis componentes de tensión mencionados (x, y, z, xy, yz, xz), es
decir del tensor de tensiones en cada punto.
Vector de Tensiones en un Punto – (Tensor de Tensiones)
Para calcular, conociendo x, y, z,
xy, yz, xz la tensión  (x, y, z)
que se ejerce sobre un plano que pasa
por O, cuya normal tiene por cosenos
directores (l, m, n) consideremos el
equilibrio de un tetraedro elemental
OABC.
Si ds es el área de la cara ABC, las
caras OBC, OCA y OAB son l.ds,
m.ds, n.ds. El equilibrio del tetraedro
conduce pues a las siguientes
ecuaciones:
 
1























n
m
l
n
m
l
n
m
l
z
yz
xz
z
zy
y
xy
y
zx
yx
x
x












Estas relaciones muestran que el conjunto de las tensiones alrededor de un punto forman un tensor
simétrico:

8. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol
























n
m
l














z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
siendo además:
 
   
 
 
c
n
m
l
b
n
m
l
a
z
y
x
z
y
x
.
1
1
sin
.
1
cos
.
1
2
2
2
2
2
2
2
2

































Tensiones y Planos Principales
Al variar la orientación del plano, varía la tensión resultante aplicada al mismo, entre los infinitos planos
que pasan por un punto, habrá planos para los cuales la tensión normal  adquiere sus valores máximos
y mínimos. Para dichos planos la tensión  coincide con la dirección de  por lo que será  = 0.
Tales planos se denominan planos principales, las tensiones, tensiones principales y sus direcciones,
direcciones principales, así será:
 
a
n
m
l
i
z
i
y
i
x
.
2

















Reemplazando en las expresiones (1) y agrupando se tiene:
 
 
 
 
2
0
0
0


























n
m
l
n
m
l
n
m
l
i
z
yz
xz
zy
i
y
xy
zx
yx
i
x












Sistema de ecuaciones homogéneas que para que tengan una solución distinta de la trivial es condición
necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo. Desarrollando se obtiene:
 
3
2
1
3
2
1
2
3
,
,
0 




 raices
con
J
J
J i
i
i 






Donde J1, J2, J3, son invariantes de primero, segundo y tercer orden:
































x
yz
y
xz
z
xy
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
x
z
z
y
y
x
z
y
x
J
J
J
























2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
y en función de las tensiones principales:

9. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estabilidad IIB – 64.12

















3
2
1
3
3
1
3
2
2
1
2
3
2
1
1












J
J
J
Circunferencia de Mohr para el Estado Elástico Espacial
La ventaja de la representación de Mohr reside en que es una representación bidimensional de un
problema de tres dimensiones. Recordando que:
 






















(1.c)
de
1
(2.a)
y
(1.b)
de
(2.a)
y
(1.a)
de
2
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
n
m
l
n
m
l
n
m
l










Por lo que, si queremos determinar la orientación de un plano al que correspondan las tensiones  y ,
partiendo de las tensiones principales, las incógnitas serán los cosenos directores (l, m, n). Si llamamos:
1
1
1
3
2
1
2
3
2
2
2
1








resulta:























2
2
2
2
n
m
l
1


y por lo tanto:
 
1
1
1
1
3
2
2
3
2
2
2
2
2






 



l
 
1
1
1
1
3
1
2
3
2
2
2
1
2






 



m
 
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2






 



n
resolviendo, simplificando y operando, resultarán las siguientes ecuaciones trascendentes:
 
 
 


















 







 







 









 







 







 









 







 







 


2
2
2
1
2
2
1
3
2
2
1
2
2
2
3
1
2
3
1
2
2
3
1
2
2
2
3
2
2
3
2
1
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
n
n
m
m
l
l




























10. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol
que representan tres familias de circunferencias en el plano ( , ) con centro sobre el eje  a una
distancia del centro de coordenadas:
2
;
2
;
2
2
1
3
1
3
2 




 


si l, m, n son iguales a 1 (uno), sus radios serán respectivamente:
2
;
2
;
2
2
1
3
3
1
2
3
2
1















El punto representativo de las tensiones  y  que correspondan a un plano dado debe caer sobre
circunferencias pertenecientes a las tres familias, es decir, debe ser un punto interior o del contorno del
triángulo curvilíneo sombreado. Las tres circunferencias que delimitan al triángulo se denominan
circunferencias fundamentales o principales.
Para cada circunferencia existe un punto para el cual corresponde la máxima tensión tangencial relativa y
sus valores son:
2
;
2
;
2
3
1
2
1
3
2 




















De los tres el que corresponde a la tensión tangencial máxima (max) es:
2
3
1
max










que como puede observarse es independiente de 2 y ocurrirá en planos inclinados a 45º respecto de los
planos principales.

11. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 10 Estabilidad IIB – 64.12
El vector tensión puede, también, obtenerse gráficamente en función de los ángulos directores de la
normal al plano (1, 2, 3) como se muestra en la figura. Para ello, llevamos a partir de x el valor de θ1
y con una recta cortamos las circunferencia n = 0 y m = 0 determinando los puntos A y B; con centro en la
familia de circunferencias l, trazamos un arco que pase por los punto A y B. Hacemos lo propio con θ3 a
partir de z y definimos los puntos E y D cuando cortamos a las circunferencias l = 0 y m = 0; con centro en
la familia de circunferencias n, trazamos un arco que pase por los punto E y D. El punto P donde se cortan
los arcos AB y DE es el que corresponde al estado tensional dado pudiéndose leer en el gráfico los
valores de  ,  y .
Cosenos Directores de los Planos Principales
La dirección principal 1 la calculamos como sigue:
de las ecuaciones (2) resulta (haciendo i

 
1 ):
 
 
 
1
1
1















z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
y llamando 1, 2, 3 a los tres menores complementarios de, por ejemplo, la primera fila, resulta:
 
   
 
yz
xz
y
xy
z
xz
zy
xy
z
yz
zy
y















 1
3
1
2
1
1
1 ;
;










por lo que el desarrollo del determinante será:
  0
3
2
1 








 zx
yx
i
x 



que comparada con la primera de las ecuaciones (2) resulta:

12. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 11 Curso: Ing. Gabriel Pujol
K
n
m
l






 3
1
2
1
1
1
constate no nula a determinar y operando tendremos:
3
1
2
1
1
1 ;
; 








 K
n
K
m
K
l
y siendo:
2
2
2
1 n
m
l 

 resulta:
  2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2 1
1













 K
K
En forma análoga pueden obtenerse las direcciones principales 2 (l2, m2, n2) y 3 (l3, m3, n3) trabajando
con 2 y 3 respectivamente.
Es importante en la elección de los menores complementarios del determinante elegir un desarrollo para
el cual no resulten los 3 (tres) simultáneamente iguales a cero. Caso contrario la constante K resultará
indeterminada.
Estado Elástico Doble o Plano
La mayoría de las estructuras puede reducirse a un estado tensional plano o bidimensional, es decir uno
de los planos está libre de tensiones. Este caso se presenta en el estudio de los cuerpos de dos
dimensiones, como las placas delgadas sometidas a fuerzas aplicadas en su plano o en las membranas
delgadas. Suponiendo que el plano de referencia sea el “xy”, la ecuación de equilibrio será:
 
3














yx
xy
y
xy
y
yx
x
x
m
l
m
l








ya que resultan nulas todas las tensiones con subíndice “z”:
0




 z
yz
zy
xz
zx 




entonces:
m
l
m
l
m
l xy
y
x
y
x 










 




 2
2
2
Las tensiones en el punto
varían de acuerdo a la
posición angular de
elemento. Para expresar
analíticamente estas
variaciones cortemos el
elemento inicial mediante
un plano a traza T y
apliquemos a cualquiera de
las partes las condiciones

13. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12
de equilibrio estático según los ejes N y T.
Consideremos que la longitud de BC = 1; por lo tanto: AB = cosθ y AC = senθ, de este modo el equilibrio
de fuerza viene dado por:
       
        

























sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
;
0
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
cos
;
0




























yx
xy
y
x
yx
xy
y
x
T
N
Pero como:
    





 2
sin
cos
sin
2
;
2
2
cos
1
sin
;
2
2
cos
1
cos 2
2







resulta, reemplazando en las ecuaciones anteriores:
 
 
5
2
cos
2
sin
2
4
2
sin
2
cos
2
2
























 








xy
y
x
xy
y
x
y
x
Expresiones que nos permiten calcular las tensiones  y  ligadas a un plano girado un ángulo θ
conociendo las tensiones x; y; xy. Al variar el ángulo θ variarán también las tensiones
correspondientes, pasando por valores máximo y mínimo.
Para ubicar estos planos hallamos la derivada primera de las expresiones anteriores respecto de θ y las
igualamos a cero.
 
 
7
2
2
tan
0
2
sin
2
2
cos
2
2
6
2
2
tan
0
2
cos
2
2
sin
2
2
y
x
xy
xy
y
x
y
x
xy
xy
y
x
















































Estas ecuaciones dan dos valores de 2θ que difieren 180° por lo que los planos de tensión normal
máxima y mínima son perpendiculares entre sí. Lo mismo ocurre con los planos de tensión tangencial
máxima.
La relación de (7) es recíproca y de signo contrario de (6), lo que indica que los valores de 2θ definidos
por ambas difieren 90°, es decir, que los planos de tensión tangencial máxima están separados 45°
respecto de los planos principales (correspondientes a tensiones normales máximas y mínimas).
Además, si las tensiones tangenciales son nulas, las tensiones normales serán tensiones principales:
 
























m
l
m
m
l
l
m
l
y
xy
i
yx
x
i
i
y
i
x










3
en
do
reemplazan
y
o bien:
 
 















0
0
m
l
m
l
i
y
xy
yx
i
x







14. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol
y para que la solución sea distinta de la trivial, deberá ser:
 
  0



i
y
xy
yx
i
x






con xy, yx; desarrollando el determinante tendremos:
    0
2
2







 xy
y
x
y
x
i
i 






por lo que será, resolviendo la cuadrática:
 
 

















2
2
min
2
2
max
4
2
4
2
xy
y
x
y
x
xy
y
x
y
x












La max la obtenemos derivando la expresión de  respecto de θ e igualando a cero.
  2
2
max
4
xy
y
x



 



por ello resulta:
2
2
2 min
max
max
max
min
max
max



























y
x
y
x
Circunferencia de Mohr para Estado Elástico Doble o Plano
La determinación de las tensiones puede obtenerse utilizando un método gráfico en lugar del proceso
analítico descrito anteriormente. Las ecuaciones (4) y (5) son las ecuaciones paramétricas de una
circunferencia, lo que significa que si llevamos las funciones  y  sobre un par de ejes ortogonales, a
cada valor que asignemos al parámetro θ corresponde un punto M. Si hacemos variar θ de 0° a 360°, las
infinitas posiciones de M corresponderán a los puntos de una circunferencia cuya ecuación se pone en
evidencia con el siguiente desarrollo, de (4) y (5) resulta:














2
cos
2
sin
2
2
sin
2
cos
2
2










 








xy
y
x
xy
y
x
y
x
elevando al cuadrado, sumando y simplificando:
2
2
2
2
2
2
xy
y
x
y
x






 







 









 


15. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12
si llamamos
2
2
2
2
xy
y
x
y
x
C R
y
x 












 



y sustituimos en la anterior:
  2
2
2
R
xC 

 

que constituye la ecuación de una circunferencia de radio R y centro en un punto “C” de coordenadas xC e
yC = 0. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr.
Con centro C y radio R trazamos la circunferencia referida a un sistema de ejes  -  con origen en O.
Sabemos que las coordenadas de cada punto de esta circunferencia representan las tensiones  y 
trazadas a cada uno de los infinitos planos que pasan por el punto. Ubiquemos en primer término sobre la
circunferencia de Mohr el punto correspondiente al plano identificado por su normal (eje x) origen de los
ángulos θ. Para ello en las ecuaciones (4) y (5) hacemos:



















xy
y
xy
x
N
M










y)
(dirección
90
x)
(dirección
0
Observamos que M y N se ubican en extremos opuestos de un diámetro con una diferencia angular al
centro de 180° es decir, dos veces el ángulo formado entre x e y. De fácil correlación con sus respectivas
direcciones son los puntos A y B ya que para ellos ( = max) y ( = min), respectivamente. Para
ambos  =0. Evidentemente A y B representan las tensiones correspondientes a los planos principales
(tensiones principales). Ubicados M y A el ángulo al centro entre ellos vale 2θ. Dado que la representación
de los ángulos en el círculo es el doble de los de la molécula, para encontrar la dirección de la tensión

16. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 15 Curso: Ing. Gabriel Pujol
normal máxima, giramos un ángulo en el sentido de M. Lo expuesto nos da los fundamentos de la
construcción gráfica que se utiliza de la siguiente manera:
 Sobre un sistema de ejes coordenados  -  se ubican los puntos de coordenadas (x;xy) y
(y;-xy) estos puntos representan las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre las
caras X e Y de un elemento. Se considera positiva la tensión normal de tracción y negativa de
compresión. La tensión tangencial es positiva si el momento respecto del centro del elemento es
en sentido horario.
 Uniendo M con N donde corta al eje de abscisas tenemos el centro C. Con radio CM se traza la
circunferencia Mohr.
 Los puntos A Y B donde la circunferencia intercepta al eje de abscisas determinan las tensiones
normales principales.
 Para determinar las direcciones de las tensiones normales principales ubicaremos punto P del
círculo de Mohr. El polo goza de la propiedad de cualquier recta que pase por él (PM, PN por
ejemplo) intercepta a la circunferencia en un punto (M, N) cuyas coordenadas expresan las
tensiones normales y tangenciales de una dirección paralela a dichas rectas (X, Y).
 Determinado P (trazo por M trazamos una paralela al eje  y
por N una paralela al eje , la intersección de dichas rectas
sobre la circunferencia determinan el punto P, que
denominaremos Polo del círculo de Mohr), se lo une con A y
B siendo sus paralelas trazadas por el punto del elemento las
direcciones de las tensiones normales principales. Los planos
principales serán perpendiculares a estas direcciones.

17. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 16 Estabilidad IIB – 64.12
 Inversamente, si dada la dirección (u) queremos conocer las tensiones según ella, trazamos por P
una paralela a u que corta a la circunferencia en D; la abscisa y ordenada de D nos dan y u, y
uv.
Tensiones octaédricas
Las tensiones octaédricas normales 0, tangenciales0 y resultante 0, que actúan sobre el plano de
igual inclinación respecto a los tres ejes principales de las tensiones se determinan por las fórmulas:
Problemas de aplicación
Ejercicio I: Dado el siguiente estado tensional (ver figura), el módulo de elasticidad E = 2.106 kgf/cm2 y
el coeficiente de Poisson  = 0,3; Se pide: escribir el tensor de
tensiones; determinar analítica y gráficamente 1, 2, 3,  ’ y  ’
en el plano paralelo al eje principal de inercia I para  = 30°; ’’ y
’’; en el plano paralelo al eje principal de inercia II para  = 60°;
’’’ y ’’’; en el plano paralelo al eje principal de inercia III para 
= 30°; las tensiones octaédricas normales 0, tangenciales0 y
resultante 0, las deformaciones principales 1, 2, 3.
Resolución
De la figura surge que las tensiones principales son:
y el tensor de tensiones sería:
además, tendremos:

18. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 17 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Para el plano paralelo al eje principal de inercia I cuando  = 30°; hallamos:
Para el plano paralelo al eje principal de inercia II cuando  = 60°; hallamos:
Para el plano paralelo al eje principal de inercia III cuando  = 30°; hallamos:
La determinaciópn gráfica de las tensiones está dada en el diagrama de Mohr:

19. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 18 Estabilidad IIB – 64.12
Las tensiones octaédricas las obtenemos como sigue:
Las deformaciones principales (alargamientos unitarios que ocurren en las direcciones de las tensiones
principales) serán:
Ejercicio II: Dadas las tensiones correspondientes a los planos x, y, z ortogonales y pasantes por un
punto A. Se pide:
1. Escribir el correspondiente tensor de tensiones.
2. Calcular los invariantes J1, J2 y J3.
3. Determinar los valores de las tensiones principales en el
citado punto.
4. Calcular los cosenos directores de los planos principales.
5. Representar gráficamente el estado tensional mediante el
diagrama de Mohr y en base al mismo determinar:
5.1. Las componentes de tensión en un plano determinado
por los ángulos 1, 2, 3 respecto de la dirección de
su normal.
5.2. La tensión tangencial máxima y los planos donde se verifica.
Datos: x = 530 kg/cm2; y = -610 kg/cm2; z = 300 kg/cm2; xy = 60 kg/cm2; zx = zy = 0; 1 = 60º; 2 =
50º
Resolución:
1. Escribir el tensor de tensiones:
El tensor de tensiones sería:
300
0
0
0
610
60
0
60
530



z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
T









2. Calcular los invariantes J1, J2 y J3:

20. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 19 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Calculamos los invariantes como sigue:
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
98070000
2
350900
220






















































cm
kg
J
cm
kg
J
cm
kg
J
xy
z
xz
y
yz
x
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
x
z
z
y
y
x
z
y
x
























3. Determinar los valores de las tensiones principales en el citado punto:
Las tensiones las obtenemos partiendo de la siguiente expresión:
 
 
 
 
1
0
0
0


























n
m
l
n
m
l
n
m
l
i
z
yz
xz
zy
i
y
xy
zx
yx
i
x












y para que l, m y n no sean simultáneamente nulos, deberá ser:
 
 
 
0




i
z
yz
xz
zy
i
y
xy
zx
yx
i
x












desarrollando el determinante llegamos a:
0
98070000
350900
220
0
2
3
2
3




















i
i
i
i
i
i J
J
J






Las tres raíces de esta ecuación serán las tres tensiones principales; un de las cuales será z ya que
en ese plano zx = zy = 0. Calculamos entonces las restantes raíces:
0
326900
80
1
98070000
24000
300
300
98070000
350900
220
1




Entonces resulta:
























2
2
2
2
149
,
613
149
,
533
2
326900
4
80
80
0
326900
80
cm
kg
cm
kg
B
A
i
i
i






21. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 20 Estabilidad IIB – 64.12




















2
3
2
2
2
1
149
,
613
300
149
,
533
cm
kg
cm
kg
cm
kg
B
z
A






4. Calcular los cosenos directores de los planos principales:
Para calcular los cosemos directores de los planos principales debemos hacer lo sigue:
 
 
 
0




i
z
yz
xz
zy
i
y
xy
zx
yx
i
x












llamando 1, 2 y 3, a los tres menores complementarios de la primera fila, y reemplazando i por
1 se tiene, desarrollando por la primera fila:
 
 
 
 
09
,
266524
149
,
533
300
0
0
149
,
533
610
1 








i
z
yz
zy
i
y






   
94
,
13988
149
,
533
300
0
0
60
2 






i
z
xz
zy
xy





   
0
0
0
149
,
533
610
60
3 






yz
xz
i
y
xy





así será:
  0
3
2
1 








 zx
yx
i
x 



y comparando con la primera de las ecuaciones (1) resulta:
K
n
m
l






 3
1
2
1
1
1
siendo K una constante no nula a determinar, por lo que:
3
1
2
1
1
1 ;
; 








 K
n
K
m
K
l
y teniendo en cuenta que:
6
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
10
7468
,
3
1
1
1

























K
K
K
K
n
m
l
entonces resulta:

22. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 21 Curso: Ing. Gabriel Pujol


















0
05241
,
0
99862
,
0
3
1
2
1
1
1
K
n
K
m
K
l
haciendo lo propio con 2 y 3 (desarrollando por la tercera y segunda fila respectivamente)
tendremos:
7
2
3
2
2
2
1
6
2
3
2
2
2
1
10
5666
,
9
1
;
10
697
,
4
1 
























 K
K
entonces resulta:

















































0
99862
,
0
05241
,
0
;
1
0
0
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
K
n
K
m
K
l
K
n
K
m
K
l
5. Representar gráficamente el estado tensional mediante el diagrama de Mohr y en base al
mismo determinar:
5.1. Las componentes de tensión en un estado plano determinado por los ángulos 1, 2, 3,
respecto de la dirección de su normal:
Obtendremos primero, los valores en forma analítica. Para ello calculamos los cosenos directores de la
normal de un elemento plano (plano  ) determinado por los ángulos 1, 2, 3 y a partir de ellos las
correspondeintes componentes de tensión. Así serán:
   
   
   






















n
ar
n
m
l
cos
cos
64278
,
0
º
50
cos
cos
5
,
0
º
60
cos
cos
3
3
2
1
y siendo:
 
  "
49
,
25
'
31
º
54
cos
58036
,
0
1
1
3
2
2
2
2
2




















 n
ar
n
m
l
n
n
m
l
Haciendo coincidir ahora, los ejes coordenados con las direcciones principales tendremos que:
           
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
3
2
1
638
,
484
58036
,
0
149
,
613
64278
,
0
300
5
,
0
149
,
533
0
cm
kg
n
m
l
n
m
l
z
y
x
z
y
x
zx
xz
yz
zy
yx
xy
z
y
x






















































































23. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 22 Estabilidad IIB – 64.12
y las tensiones normales y tangenciales son:
     
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
717
,
50
58036
,
0
149
,
613
64278
,
0
300
5
,
0
149
,
533
cm
kg
n
m
l
n
m
l z
y
x








































   2
2
2
2
717
,
50
638
,
484 



 


 



2
976
,
481
cm
kg



5.2. La tensión tangencial máxima y los planos donde se verifica:
El valor de max es independiente 2 de y ocurrirá en planos inclinados a 45º con respecto a los planos
principales. Para dichos planos es:
2
max
3
1
max
2
3
1
15
,
573
2
149
,
613
149
,
533
2
40
2
149
,
613
149
,
533
2
cm
kg
cm
kg





















Trazamos ahora la circunferencia de Mohr.
5.3. Centros de las familias de circunferencias:
Los calculamos como sigue:
2
2
3
1
2
2
1
3
2
1
40
2
149
,
613
149
,
533
2
57
,
156
2
149
,
613
300
2
cm
kg
C
C
cm
kg
C
C


















2
3
2
1
3 57
,
416
2
300
149
,
533
2 cm
kg
C
C 







5.4. Radios de las familias de circunferencias:
Los calculamos como sigue:
2
3
2
1
3
2
2
3
1
2
2
1
3
2
1
57
,
116
2
300
149
,
533
2
15
,
573
2
149
,
613
149
,
533
2
57
,
456
2
149
,
613
300
2
cm
kg
r
r
cm
kg
r
r
cm
kg
r
r
























5.5. Diagrama de Mohr

24. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 23 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Ejercicio III: Dadas las tensiones correspondientes a los planos x, y, z ortogonales y pasantes por un
punto A. Se pide:
1. Construir la circunferencia de Mohr para el haz de planos cuyo eje
sostén tiene la dirección z (estado doble con n=0) y mediante ella
determinar:
1.1. La magnitud y dirección de las tensiones principales.
1.2. Las componentes de tensión en un plano del haz que forma
un ángulo = 60º con el eje y.
Datos: x = 530 kg/cm2; y = -610 kg/cm2; xy = 60 kg/cm2; z = zx = zy = 0
Resolución:
1. Construir la circunferencia de Mohr para el haz de planos cuyo eje sostén tiene la dirección z:

25. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 24 Estabilidad IIB – 64.12
La construcción de la circunferencia de Mohr para un estado plano, se realiza de la siguiente forma:
 Se establece un sistema coordenado tal que las abscisas representan las tensiones normales,
siendo positivo hacia la derecha y las ordenadas representan las tensiones tangenciales,
siendo positivas hacia arriba.
 Se ubica el centro “C” de la circunferencia a una distancia respecto del origen de coordenadas
“O” igual a:
2
y
x
C

 

 Se ubica el punto “A” cuyas coordenadas son (x ; xy ). El eje “C - A” será el eje de referencia
para la medición de ángulos. La convención de signos que se utiliza para las tensiones de
cortadura es que son positivas en el círculo de Mohr si generan un momento en el sentido de
las agujas del reloj y negativas en el caso contario.
 Con centro en “C” y radio “C - A” se dibuja la circunferencia.
1.1. Magnitud y dirección de las tensiones principales:
Las tensiones principales se representan con los puntos “B” y “D” donde la circunferencia corta al eje
de abscisas, es decir donde las tenciones tangenciales son nulas.
Estas tensiones actúan sobre los planos definidos por los ángulos “” y “ + /2”, donde  es /2,
siendo  el ángulo medido del gráfico y comprendido entre la semirrecta “C – A” y el eje de abscisas.
En nuestro caso  = 6º   = 3º, con lo cual las tensiones principales actuarán en planos cuya
inclinación es de 3º y 93º respectivamente.
En cuanto a los valores de las tensiones principales, estas serán las coordenadas de los puntos “B” y
“D” medidos en la escala de tensiones correspondiente.

26. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 25 Curso: Ing. Gabriel Pujol
1.2. Componentes de tensión en un plano del haz que forma un ángulo = 60º con el eje y
Las tensiones  y  que actúan sobre un plano definido por el ángulo  = 60º, se determina trazando
un diámetro cuya inclinación respecto del eje “y” sea 2. Este diámetro definirá el punto “E”, cuyas
coordenadas medidas en la escala de tensiones correspondientes determinan los valores de las
tensiones normales y tangenciales para dicho plano (510 ; 260) kg/cm2.
Estados de Deformación
Definiciones
La capacidad más característica del sólido deformable es la de poder experimentar cambios de forma
como consecuencia de las acciones que se le aplican.
Vamos a considerar la deformación de un sólido como una relación biunívoca y continua entre la posición
que ocupa cada punto material del sólido en un estado de referencia, que llamaremos estado inicial o
indeformado, y la posición que ocupa en un estado final o deformado. (Nota: una relación biunívoca y
continua excluye que a un punto material correspondan dos posiciones distintas de destino, lo que podría
darse en situaciones como la propagación de una grieta).
Adoptaremos un sistema de coordenadas cartesianas x1, x2, x3 (fijo) para describir los puntos del espacio.
Llamaremos A a la posición que ocupa un punto material del sólido en el estado inicial, y A’ a la posición
que ese mismo punto material ocupa en el estado final. Definimos
el movimiento de ese punto como el vector u, de componentes ui,
que une las posiciones final e inicial. De acuerdo con las hipótesis
básicas, se asume que los desplazamientos son pequeños
comparados con las dimensiones del sólido. Asumiremos que los
desplazamientos son del orden de magnitud de los diferenciales de
longitud que adoptemos.
Pretendemos obtener una magnitud tal que, sabido su valor en un
punto, permita conocer el incremento de longitud de cualquier
segmento recto diferencial que pase por ese punto.
Consideremos dos puntos del sólido, separados por una distancia diferencial, que en estado inicial
ocupan las posiciones A y B, y que pasan a las posiciones finales A' y B'. Sean xi las coordenadas de la
posición A, y ui los movimientos del punto correspondiente. La posición B tendrá coordenadas
ligeramente distintas, xi+dxi, y los movimientos del punto material correspondiente serán también
ligeramente distintos, ui+dui. El diferencial de movimiento,
dui, se interpreta físicamente como la diferencia de
movimientos entre esos dos puntos muy próximos.
El corrimiento AB es un vector cuyas proyecciones sobre
los ejes designaremos (u, v, w) tal que:
w
z
v
y
u
x 

 

 ;
;
Admitiremos las siguientes hipótesis:
 u, v, w son funciones continuas, así como sus derivadas primeras. O sea que dos puntos
próximos permanecen próximos después de la transformación. No pueden producirse ni grietas,
ni cavidades, ni deslizamientos, ni choques.
 u, v, w y sus derivadas primeras respecto de x, y, z son pequeñas.

27. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 26 Estabilidad IIB – 64.12
Transformación en el entorno
de un punto
Estudiemos la transformación de un elemento
diferencial de volumen situado en el entorno del
punto P de coordenadas (x, y, z).
Un punto P’ del entorno del punto P cuyas
coordenadas iniciales son (x+dx, y+dy, z+dz) se
hallará sometido a un corrimiento P’P1’ cuyas
proyecciones sobre los ejes coordenados serán:
 
4







































dz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
w
dw
w
w
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
v
dv
v
v
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
u
du
u
u


















Las nueve derivadas de u, v, w respecto de x, y, z intervienen asociadas en tres grupos
1.1. Alargamientos:
z
w
y
v
x
u
z
y
x








 

 ;
;
1.2. Deformaciones angulares o distorciones:































x
w
z
u
y
w
z
v
y
u
x
v
xz
yz
xy















2
1
;
2
1
;
2
1
1.3. Rotaciones:































y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
z
y
x















2
1
;
2
1
;
2
1
si las rotaciones son nulas se verifica:
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
z
y
x














 







 0
;
0
;
0
Tensor Deformación
Las seis cantidades x, y, z, xy, yz, xz permiten calcular las variaciones de longitud y las variaciones
angulares. Por lo tanto estas seis cantidades caracterizan la deformación del medio durante la
transformación. Las ecuaciones (4) se pueden escribir de la siguiente forma:

28. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 27 Curso: Ing. Gabriel Pujol









































dz
dy
dx
dx
dy
w
w
dz
dy
dx
dz
dx
v
v
dz
dy
dx
dy
dz
u
u
z
yz
xz
y
x
yz
y
xy
x
z
xz
xy
x
z
y















Pasamos pues de un punto P’ próximo a P a un punto P1’ próximo a P1 mediante las transformaciones
elementales siguientes:
 Una traslación infinitesimal de componentes (u, v, w)











w
w
v
v
u
u
1
1
1
 Un giro infinitesimal cuyo vector rotación tiene por componentes (x, y, y z)




















dx
dy
w
dz
dx
v
dy
dz
u
y
x
x
z
z
y






2
2
2
 Una deformación pura, también infinitesimal, con componentes (x, y, z, xy, yz, xz)


























dz
dy
dx
w
dz
dy
dx
v
dz
dy
dx
u
z
yz
xz
yz
y
xy
xz
xy
x









3
3
3
caracterizado por el tensor recto de segundo orden llamado tensor deformación
 
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
D
T










Denominaremos estado de deformación en un punto de un medio continuo, al conjunto de los infinitos
vectores deformación específica asociados a las infinitas direcciones pasantes por el punto considerado:
     
r
TD
r




Direcciones Principales y Deformaciones Principales
Llamaremos dirección principal a las direcciones cuya deformación específica transversal resulte nula; y
a los vectores deformación específica asociados a ellas, deformaciones principales.
Si l, m, n son los cosenos directores de una dirección principal cuya deformación específica es i, deberá
verificarse:

29. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 28 Estabilidad IIB – 64.12


























n
m
l
n
n
m
l
m
n
m
l
l
z
yz
xz
i
zy
y
xy
i
zx
yx
x
i












de donde:
 
 
 


























0
0
0
n
m
l
n
m
l
n
m
l
i
z
yz
xz
zy
i
y
xy
zx
yx
i
x












Sistema de ecuaciones homogéneas que para que tenga una solución distinta de la trivial deberá ser nulo
el determinante de los coeficientes, por lo que:
 
3
2
1
3
2
1
2
3
,
,
0 




 raices
con
I
I
I i
i
i 






Donde I1, I2, I3, son invariantes de primero, segundo y tercer orden:
































x
yz
y
xz
z
xy
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
x
z
z
y
y
x
z
y
x
I
I
I
























2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
en un todo análogo (en lo que respecta a álgebra) a lo visto para tensiones.
Representación Plana del Tensor Deformación
Observemos la analogía (angebraica)
que existe entre el tensor deformación
(x, y, z, xy, yz, xz) y el tensor
tensión (x, y, z, xy, yz, xz). Para
cualquier dirección (, ,  ), i
corresponde a i y ij a ij, por lo que
podemos, haciendo un desarrollo
análogo, emplear para el tensor
deformación una representación plana
llevando  en abscisas y  en ordenadas.

30. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 29 Curso: Ing. Gabriel Pujol
El extremo del vector equipolente al corrimiento debido a la deformación pura se hallará dentro del
triángulo curvilíneo rayado de la figura.
Relación entre Tensiones y Deformaciones
La Ley de Hooke (ley de comprobación experimental enunciada a partir del ensayo de tracción simple)
establece que:
E

  siendo E = módulo de elasticidad longitudinal (o Módulo de Young)
Para las distorsiones puras la Ley de Hooke tiene una expresión similar:
G

  siendo G = módulo de elasticidad transversal
La razón entre la distorsión absoluta  y la distancia l entre las
caras que se desplazan se denomina distorsión unitaria o ángulo
de distorsión.




 tan
l
Los ángulos de distorsión 1, 2 y 3 (variación de los ángulos
rectos entre los planos de acción de tensiones tangenciales
extremas 1, 2 y 3 de igual valor, pero de distinto signo) se
determinan por la Ley de Hook. Estos ángulos son:
siendo:
el módulo de deslizamiento o de elasticidad tangencial del material. La distorsión unitaria 0 originada
por la tensión tangencial octaédrica 0 se denomina distorsión octaédrica.
En el estado tensional correspondiente al deslizamiento puro, en los
planos inclinados 45°, surgen las tensiones principales,
las deformaciones lineales principales son:
y la distorsión angular principal será:

31. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 30 Estabilidad IIB – 64.12
l
G



 


 2
El centro del círculo de las tensiones se encuentra en este caso
en el origen de coordenadas.
Si consideramos que las tensiones tangenciales se distribuyen
uniformemente sobre el área F donde está aplicada, entonces el
esfuerzo tangencial será:
por lo que podremos escribir:
F
G
l
Q




Como la deformación x no es sólo consecuencia de x, sino
también de y, z, podemos escribir:
 
 
 
Poisson
de
e
coeficient
con
E
E
E
E
E
E
x
y
z
x
z
x
y
x
z
y
x
x






































Las deformaciones lineales principales 1, 2, 3, (alargamientos unitarios que ocurren en las direcciones
de las tensiones principales) son:
La expresión de deformación específica volumétrica es:
donde la magnitud
se denomina coeficiente de compresibilidad del material, y a su inversa módulo de elasticidad estérea del
material.

32. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 31 Curso: Ing. Gabriel Pujol
La energía potencial unitaria de la deformación elástica vale:
La energía potencial unitaria debida a la variación de la forma
y la energía potencial unitaria debida a la variación de volumen será:
Todas las fórmulas correspondientes al estado tensional tridimensional son aplicables también al estado
tensional plano, igualando a cero una de las tensiones principales, y al estado tensional lineal, igualando a
cero dos de las tensiones principales.
Cambio de la Circunferencia de Deformaciones a la de Tensiones
Sea la expresión de la deformación x :
   
z
y
x
z
y
x
x
E
E
E









 









1
si sumamos y restemos: x

  resulta:
   
 
z
y
x
x
x
E






 







 1
1
recordando que: z
y
x
J 

 


1 y siendo 1
1
1





podemos escribir:
  







































1
1
1
1
1
1 1
1
J
E
J
E
x
x
x
y siendo
 




1
2
E
G resulta: 

















1
2
1 1
J
G
x
x

33. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 32 Estabilidad IIB – 64.12
operando convenientemente y despejando x, se tiene:




















2
1
2 v
x
x G donde 1
2
1
J
E
z
y
x
v 











y análogamente será:








































2
1
2
;
2
1
2 v
z
z
v
y
y G
G
Por lo que el diagrama de tensiones puede transformarse en un diagrama de deformaciones corriendo el
eje origen un valor





2
1
e
y haciendo un cambio de escala igual a 2.G.
Estado Plano de Deformación
Definimos como estado plano de deformación a aquel en que los infinitos vectores deformación específica
resultan paralelos a un plano.
Si hacemos coincidir el eje coordenado z con la dirección principal correspondiente a la deformación nula,
será:
z
de
ntes
independie
v
u
con
w ,
;
0

0



 yz
xz
z 


(todas las deformaciones con subíndice “z” resultan nulas)
y el tensor deformación se reduce a un tensor simétrico recto de segundo orden bidimensional:
 
0
0
0
0
0
y
xy
yx
x
D
T 



 el haz de rectas tendrá n = 0 por lo que:  











0
m
l
r

     


















0
rz
y
xy
ry
yx
x
rx
D
r m
l
m
l
r
T









Llamando  al ángulo que forma el plano de referencia con el semieje positivo x medido en sentido
antihorario será:
 
 







sin
cos
m
l
por lo tanto
   
   























sin
cos
sin
cos
y
xy
ry
yx
x
rx
j
i ry
rx
r






 


Dado la similitud de estas expresiones con las halladas oportunamente para las tensiones podemos,
desarrollando en forma análoga, obtener las expresiones de las deformaciones específicas longitudinales
y transversales:

34. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 33 Curso: Ing. Gabriel Pujol
     
     

































2
sin
2
cos
2
sin
2
1
sin
cos 2
2
x
y
xy
r
xy
y
x
r
y para las deformaciones principales y las direcciones principales es:
 
 

















4
4
2
4
4
2
2
2
2
2
2
1
xy
y
x
y
x
xy
y
x
y
x












;  













2
2
2
tan 








II
I
y
x
xy
El estado plano de deformación puede ser representado gráficamente mediante una circunferencia
análoga a la de Mohr y que designaremos circunferencia de deformaciones, para ello, sobre el eje de
abscisas se llevan los valores de x y y y sobre sobre la vertical de x los valores de ½ xy (con su
signo). Determinamos así el punto M. Determinamos el punto C haciendo  
y
x 
 

2
/
1 y el segmento
CM será el radio de dicha circunferencia. Determinamos N donde el diámetro que pasa por M corta a la
circunferencia.
Si por M trazamos una paralela al eje  y por N una paralela al eje ½ , la intersección de dichas rectas
sobre la circunferencia determinan el punto P, denominado Polo de Direcciones.

35. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 34 Estabilidad IIB – 64.12
Las direcciones 1 y 2 trazadas por P con los punto A y B corresponden a las direcciones de las
deformaciones máximas y mínimas. 1 y 2 son ortogonales.
Las direcciones 3 y 4 trazadas por P con los punto S y S’ corresponden a las a las direcciones de ½ max.
Si por P trazamos una paralela a una dirección, la intersección de la misma con la circunferencia
determina un punto Q cuya abscisa será  y su ordenada ½ .
Para transformar la circunferencia de deformaciones en circunferencia de tensiones deberemos trasladar
el eje de ordenadas una distancia  (coeficiente de Lamé):
z
y
x
v
v
con 






 





 ;
2
1
Problemas de aplicación
Ejercicio IV Dado el sistema plano de tensiones que se indica, se solicita:
1. Determinar la relación entre las constantes E; G y .
2. Calcular el valor del coeficiente de Poisson () para los datos
propuestos.
Datos: I = - II; material: acero común; E = 210 GPa; G = 81 GPa
Resolución:
1. Determinar la relación entre las constantes E; G y 
En el caso propuesto se debe tener presente que en planos a 45° respecto de los planos dados como
datos, se tienen los planos principales de corte (que corresponden a un sistema de corte puro)
equivalente al planteado. Trazando la circunferencia de Mohr se puede apreciar lo planteado (ambas
circunferencias son iguales):

36. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 35 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Así, se tiene equivalencia entre dos estados planos, el que actúa  y el que actúa .
La equivalencia entre dichos estados planos nos
permitirá encontrar la expresión correspondiente a
las relaciones que estamos buscando.
Para realizar el estudio, se debe tener presente que
un elemento (ABCD), que tenía la forma de un
cuadrado de lados (a), se transforma por efecto de
las tensiones tangenciales en la figura (AB’C’D),
atendiendo a las distorsiones que se producen,
donde se supone que la  actúa sólo en la cara
superior.
Observando la figura y teniendo en cuenta que en
el campo de las pequeñas deformaciones tg ()  
 
1
' 

 a
CC
Además, la diagonal (d) será:
 
2
2 a
d 

Por otro lado:
 
3
2
2
'
45
cos
' 






 CC
d
CC
d
Reemplazando (1) en (3)
 
4
2
2



 
a
d
También la defoermación específica longitudinal (), en la dirección de la diagonal (d), qu es coincidente
con la dirección de I será:
 
5
d
d
I


 

Reemplazando (2) y (4) en (5)

37. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 36 Estabilidad IIB – 64.12
 
6
2
2
2
2 




 







 I
I
a
a
Recordando que:
 
7
G

 
Reemplazando (7) en (6)
 
8
2G
I


 

Por otra parte, de acuerdo a la Ley de Hooke, para un estado plano de tensiones normales, se tendrá
para la diagonal (d), que coincide con la dirección de I:
 
II
I
I
E



 



1
Siendo


 

 II
I
En consecuencia:
     
9
1
1
1






 








E
E
I
I
I
I
Igualando (8) y (9):
 
 
 
10
1
2
2
1
1












E
G
G
E
2. Cálculo de  para los datos propuestos (acero común)
Despejando  de la expresión (10) y reemplazando valores:
 
 
3
,
0
2963
,
0
1
81
2
210
1
2







GPa
GPa
G
E

Ejercicio V: Un cubo de aluminio de lados (a) se introduce sin presentar huelgo en la ranura de un
bloque de acero. Dicho cubo es sometido a una presión (p)
en su cara superior, según se observa en la figura.
Considerando que no existe rozamiento entre las caras
laterales del mismo y las paredes del bloque, el cual a su vez
se lo considera rígido, se solicita lo siguiente:
1. Calcular las tensiones normales (X) que se generan.
2. Determinar las deformaciones específicas (Y y Z).
3. Calcular la deformación volumétrica (V) y su
variación de volumen (V).

38. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 37 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Datos: a = 6 cm; E = 72 GPa;  = 0,32; p = 30 MPa; (1): cubo de aluminio; (2) bloque de acero. Las
caras extremas del cubo paralelas al plano (X; Z) se encuentran libres.
Resolución:
1. Calcular las tensiones normales
Teniendo en cuenta la ley generalizada de Hooke, será:
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
1
























Y
X
Z
Z
Z
X
Y
Y
Z
Y
X
X
E
E
E















Por otro lado, de acuerdo a las condiciones planteadas:
p
Z
X
Y 


 

 ;
0
Las ecuaciones (1) resultan:
 
   
 
   
 
   


























4
0
1
3
0
1
2
0
0
1
X
Z
X
Y
X
X
p
E
p
E
p
E









Para que se cumpla la ecuación (2) debe ser:
 
   
MPa
MPa
p
X
X
6
,
9
30
32
,
0
5











2. Determinar las deformaciones específicas
Reemplazando (5) en (3) resulta:
 
 
   
 
 
  6
3
10
176
32
,
0
1
32
,
0
10
72
30
6
1
0
1




















MPa
MPa
E
p
p
p
E
Y
Y
Y







Reemplazando (5) en (4) resulta:

39. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 38 Estabilidad IIB – 64.12
 
 
   
 
 
  6
2
3
2
10
374
32
,
0
1
10
72
30
7
1
1





















MPa
MPa
E
p
p
p
E
Z
Z
Z






3. Calcular la deformación volumétrica y su variación de volumen
La deformación volumétrica está dada por:
 
8
Z
Y
X
V 


 


Siendo X = 0 y reemplazando (6) y (7) en (8)
   
   
 
 
 
 
  6
2
3
2
2
2
10
198
1
32
,
0
32
,
0
2
10
72
30
1
2
1
1
1
1






























MPa
MPa
E
p
E
p
E
p
E
p
V
V
V
V












y su variación de volumen será:
 
   
   
3
3
6
3
3
3
042768
,
0
216
10
198
216
6
con
cm
cm
cm
cm
a
V
V
V
V
V













 
Ejercicio VI: Los vectores tensión (en MPa) para los planos 1 y 2 de un mismo punto de un sólido
sometido a tensión plana son los
que se muestran en la figura.
Halle las tensiones normales y
tangenciales para la dirección n.
Datos: = 30°
Resolución:
Se conocen dos puntos del diagrama de Mohr 1 de coordenadas (5 ; 3) y 2 de coordenadas (2 ; 0). El
centro del círculo de Mohr se hallará en la intersección entre la mediatriz del segmento que los une y el
eje de las abscisas, de esta forma los puntos 1 y 2 resultan equidistantes del centro C. El punto
correspondiente a la dirección n se encontrará sobre la dirección ubicada a 2 (°) medidos en el sentido
horario a partir de la normal saliente al plano 1 y la intersección con la circunferencia de Mohr (punto n).
Medimos del gráfico los valores: n = 6 MPa y n = 0 (la dirección n coincide con una dirección principal).

40. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 39 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Ejercicio VII: En un estado de tensión plana se sabe que el eje x se encuentra a  de la dirección
principal 1, medidos en sentido horario, y se
conoce el círculo de Mohr de tensiones. Halle la
matriz de tensiones respecto a los ejes x e y y
el ángulo  que forma el eje x y la dirección
principal 1.
Los criterios de signos para el círculo de Mohr y
para la matriz de tensiones son:
Resolución:
De acuerdo con los criterios de la circunferencia de Mohr el estado tensional de un volumen elemental del
sólido será:

41. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 40 Estabilidad IIB – 64.12
El ángulo  que forma el eje x y la dirección principal 1, siendo  = 30º será  = ½  = 15º, mientras que
la matriz de tensiones resulta:
MPa
T
3
2
1
2
2
3
2
1



Ejercicio VIII: En una chapa sometida a un estado plano de tensiones se conoce las dilataciones n1,
n2, n3 para tres direcciones concurrentes a un punto “O”.
Se pide para el haz de direcciones contenida en la chapa:
1. Determinar analíticamente las dilataciones principales.
2. Determinar la dilatación y la distorsión correspondiente a
una dirección n.
3. Determinar las direcciones y deformaciones principales.
4. Trazar la circunferencia de deformaciones y verificar los
valores obtenidos en los puntos 1, 2 y 3.
5. Calcular la dilatación para una dirección normal al plano
de la chapa, escribir el tensor deformación y determinar
analíticamente las tensiones principales.
6. Trazar la circunferencia de Mohr para tensiones y deformaciones, transformar la circunferencia de
deformaciones en una circunferencia de tensiones y verificar los valores de las tensiones principales.
Datos: n1 = -33x10-3; n2 = 29x10-3; n3 = 19x10-3;  =  = 30º; n = 50º; = 0,3; E = 200.000 kg/cm2
Resolución:
1. Determinar analíticamente las dilataciones principales:
Para un estado plano de deformaciones, la deformación específica  en una dirección “” en función
de las deformaciones específicas x y y en las direcciones “x” e “y”; y la distorsión xy en el plano “xy”
respectivo, será:
     






 2
sin
2
1
sin
cos 2
2






 xy
y
x
por lo tanto, planteando esta expresión para 1; 2; y 3 resulta:
     
     
     






























3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
sin
2
1
sin
cos
2
sin
2
1
sin
cos
2
sin
2
1
sin
cos
3
2
1





















xy
y
x
n
xy
y
x
n
xy
y
x
n
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas x; y y xy. Reemplazando valores y resolviendo
resulta:

42. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 41 Curso: Ing. Gabriel Pujol




























3
3
3
3
2
1
10
60
10
29
10
115
º
120
º
90
º
60
xy
y
x






2. Determinar la dilatación y la distorsión correspondiente a una dirección n=50º:
Conocidos los valores de x; y y xy podemos calcular los valores de  y  para cualquier ángulo 
mediante las siguientes expresiones:
       
       
II
I
xy
y
x
xy
y
x















2
cos
2
sin
2
sin
2
1
sin
cos 2
2












Reemplazando valores resulta:












 

3
º
50
3
º
50
10
152
10
60
º
50



3. Determinar las direcciones y deformaciones principales:
Si variamos el valor de  variarán los valores de  y  ; veamos para que valores de ;  alcanza
valores máximos y mínimos. Para ello derivamos la expresión (I) respecto de  e igualando a 0 (cero)
llegamos a:
  ...
416666
,
0
10
29
10
115
10
60
2
tan 3
3
3









 


y
x
xy




Existen dos valores de  que difieren en /2 y que satisfacen la ecuación, que corresponden a las dos
direcciones principales de deformación:
"
36
'
18
º
11
arctan
2
1












y
x
xy
I



 "
36
'
18
º
101
2


 I
II 


y las expresiones que dan los valores de las deformaciones específicas principales son:
   
    3
2
2
2
3
2
2
1
10
121
2
1
2
10
35
2
1
2




















xy
y
x
y
x
xy
y
x
y
x












4. Trazar la circunferencia de deformaciones y verificar los valores obtenidos en el punto 1, 2 y 3:

43. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 42 Estabilidad IIB – 64.12
5. Calcular la dilatación para una dirección normal al plano de la chapa, escribir el tensor
deformación y determinar analíticamente las tensiones principales:
Para calcular la dilatación en la dirección normal al plano de la chapa recordamos la Ley Generalizada
de Hooke cuyas expresiones son:
 
 
 
 
 
 





















y
x
z
z
z
x
y
y
z
y
x
x
E
E
E















1
1
1
pero siendo z = 0 (estado plano de tensiones) las expresiones anteriores se reducen a:
 
 
 


















y
x
z
x
y
y
y
x
x
E
E
E












1
1

44. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 43 Curso: Ing. Gabriel Pujol
que constituye un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: x; y y z; reemplazando valores
se obtiene:































3
2
2
3
3
10
86
,
36
79
,
1208
64
,
23362
10
29
10
115
z
y
x
y
x
cm
kg
cm
kg





El tensor deformación será:
 
3
3
3
3
3
10
86
,
36
0
0
0
10
29
10
60
0
10
60
10
115
0
;
0
;




















z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
D
yz
zy
xz
zx
xy
yx
T















Para calcular las tensiones principales, previamente calculamos el módulo de elasticidad transversal
“G”:
    2
2
08
,
76923
3
,
0
1
2
200000
1
2 cm
kg
cm
kg
E
G 













y siendo la relación que vincula la tensión tangencial con la distorsión:





















 
2
2
3
38
,
4615
08
,
76923
10
60
cm
kg
cm
kg
G
G
xy
xy
xy
xy 



Calculemos los invariante de tensión:











 2
43
,
24571
cm
kg
J z
y
x 




















 2
2
2
2
51
,
6938775
cm
kg
J yz
xz
xy
x
z
z
y
y
x 








0
0
2
2
3
2
2
2






























J
J
J
J
i
i
i
xy
z
xz
y
yz
x
yz
xz
xy
z
y
x















Calculamos las raíces de esta ecuación
    











 0
0
2
J
que
ya
J
J i
i
i 



45. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 44 Estabilidad IIB – 64.12
 








































2
3
2
2
2
1
71
,
24285
71
,
285
0
51
,
6938775
43
,
24571
0
cm
kg
cm
kg
i
i





6. Trazar la circunferencia de Mohr para tensiones y deformaciones, transformar la circunferencia
de deformaciones en una circunferencia de tensiones y verificar los valores de las tensiones
principales:
Para transformar la circunferencia de tensiones en circunferencia de deformaciones debemos trasladar
el eje de ordenadas un valor  y hacer un cambio de escala (2G).
 
3
3
10
875
,
36
2
1
10
143
,
49





















v
z
y
x
v
e
e

46. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 45 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Obtención del estado de deformaciones con rosetas extensométricas
SUMARIO
 Obtención de lecturas de dos rosetas extensométricas rectangulares colocadas sobre dos puntos de
la superficie libre de una probeta plana de aluminio, sometida a carga.
 Obtención del diagrama de Mohr plano de deformaciones en ambos puntos.
 Determinación gráfica de deformaciones principales.
CONOCIMIENTOS DE TEORÍA NECESARIOS
La lectura de una galga colocada en el plano xy es:
    






 cos
cos
cos
cos
2
2






 xy
y
x
n
Con una roseta de 3 galgas no alineadas, se pueden obtener los valores:
2
,
,
xy
y
x


 y, si la matriz de
tensiones o la de deformaciones es plana, se puede dibujar el círculo de Mohr de deformaciones del
estado plano del siguiente modo:
 Se dibuja el estado de deformaciones sobre un elemento (tratando las deformaciones vectorialmente,
como se haría con tensiones), siguiendo el siguiente criterio de signos:

47. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 46 Estabilidad IIB – 64.12
 Se sitúan en el diagrama de Mohr los valores: 





2
, nt
n

 correspondientes a los ejes x e y, ésta vez
según el siguiente criterio de signos:
 Se traza la recta que une los puntos x e y, para hallar el centro del círculo de Mohr.
 Con el círculo de Mohr se obtienen deformaciones y direcciones principales, midiendo los valores y
los ángulos sobre el diagrama.
Ejemplo: Sea un punto material con los siguientes valores de deformaciones:
6
6
6
10
7
,
10
3
,
10
4 









 xy
y
x 


que siguiendo el criterio de signos adoptado puede esquematizarse como se
aprecia en la figura de la derecha:
Así, podremos definir:

48. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 47 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Ejercicio IX: Un transductor de par tiene como elemento de medición un cilindro de acero (E=2x105
MPa, =0.3). Sobre su superficie se coloca una roseta rectangular de galgas extensométricas, según la
figura (con =45°):
Si el par torsor aplicado produce en la superficie del cilindro un estado de cortadura puro (representado en
la figura de la derecha), se pide calcular cuál sería la medida en cada una de las galgas.
Resolución:
La deformación específica  en una dirección “” en función de las deformaciones específicas x y y en
las direcciones “x” e “y”; y la distorsión xy en el plano “xy” respectivo, será:
       
     

















2
sin
2
1
sin
cos
ó
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2














xy
y
x
xy
y
x
Por lo tanto, siendo =45°, será:

49. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 48 Estabilidad IIB – 64.12
       
x
c
xy
y
x
b
y
a







































0
2
2
45
90
45
cos
45
cos
45
cos
45
cos
Como el estado tensional es de cortadura pura, resulta:
0
;
0 




 y
x
y
x
E





 y
     
 
5
5
10
6
,
2
10
2
3
,
0
1
2
2
1
2 
















MPa
MPa
E
G
xy
xy
xy




Por lo tanto:
5
10
3
,
1
2
2
2
2
2 







xy
xy
b



Ejercicio X: Las tres galgas de la figura colocadas en un punto de una superficie plana proporcionan
las siguientes mediciones: a = -0,0025; b = 0,001; c = 0,002. Se
pide calcular la longitud deformada de un segmento de 3 cm de
longitud inicial orientado según la bisectriz del ángulo que forman
los ejes X e Y, sabiendo que el estado de deformación es
homogéneo.
Resolución:
Planteamos la ecuación de la deformación específica para cada
una de las galgas:
       
     

















2
sin
2
1
sin
cos
ó
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2














xy
y
x
xy
y
x
Para la galga a, resulta:  = 0°;  = 90°  cos () = 1, cos () = 0
0025
,
0


 x
a 

Para la galga b, resulta:  = 30°;  = 60°  cos () = (3)/2, cos () = 1/2
001
,
0
4
3
4
1
4
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
2





























































 xy
y
x
xy
y
x
b 






Para la galga c resulta:  = 120°;  = -30°  cos () = -1/2, cos () = (3)/2

50. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 49 Curso: Ing. Gabriel Pujol
002
,
0
4
3
4
3
4
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2






























































 xy
y
x
xy
y
x
c 






con lo que podemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

































00346
,
0
0055
,
0
0025
,
0
002
,
0
4
3
4
3
4
1
001
,
0
4
3
4
1
4
3
0025
,
0
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
x










y la deformación para la bisectriz del ángulo que forman los ejes X e Y viene dada por:  = 45°;  = 45°
 cos () = (2)/2, cos () = (2)/2
00323
,
0
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






























































 xy
y
x
xy
y
x
n 






y la longitud deformada será:
       
cm
cm
l
l
l n 0097
,
3
00323
,
0
1
3
1 







 

51. Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 50 Estabilidad IIB – 64.12
Bibliografía Recomendada
 Estabilidad II - E. Fliess
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
 Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced
Mechanics of Materials")
 El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
 Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
 Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
 Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko