Area bajo la curva




                      UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
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3.- Evaluamos
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2. Calcular el ´rea acotada por las siguientes curvas (ejemplo Item 2)
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Ahora con respecto a y
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3. Encontrar la longitud de arco...
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  1. 1. Area bajo la curva UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA ´ ´ INGENIERIA INFORMATICA Documento creado por : Manuel Cuevas y Sergio G´mez o Gu´ de C´lculo ıa a EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular el ´rea acotada por las siguientes curvas(ejemplo Item 1) a a) y − x − 2 = 0 b) y = 1 c) x = 2 Soluci´n del ´rea en terminos de x: o a 1.- Obtenemos la integral 2 Ax = [(x + 2) − 1]dx −1 2.- Resolvemos la integral x2 Ax = + x|4 1 2 1 Temuco, June 8, 2010
  2. 2. Area bajo la curva 3.- Evaluamos 9 Ax = u2 2 Soluci´n del ´rea en terminos de y: o a 1.- Obtenemos la integral 4 Ay = [2 − (y − 2)]dy 1 2.- Resolvemos la integral y2 Ay = − + 4y|4 1 2 3.- Evaluamos 9 Ay = u2 2 2 Temuco, June 8, 2010
  3. 3. Area bajo la curva 2. Calcular el ´rea acotada por las siguientes curvas (ejemplo Item 2) a a) y = x2 b) y = −x2 + 5 Soluci´n o Primero debemos encontrar las intersecciones, para esto igualamos las funciones: x2 = −x2 + 5 2x2 = 5 5 x=± 2 Ahora procedemos a encontrar el ´rea con respecto a x a 1.- Obtenemos la integral √ 5/2 Ax = √ (−x2 + 5) − (x2 )dx − 5/2 2.- Resolvemos la integral √ 2x3 5/2 Ax = (− ) + 5x| √ 3 − 5/2 3.- Evaluamos Ax = 10.54u2 3 Temuco, June 8, 2010
  4. 4. Area bajo la curva Ahora con respecto a y 5 Se debe expresar mediante dos integrales debido a que en el intervalo [0, ] la funci´n de o √ √ 2 5 la derecha es x y la de la izquierda es − x, en cambio en el intervalo [ 2 , 5] la funci´n o √ √ de la derecha es 5 − y y la funci´n de la izquierda es − 5 − y o Area 1: 1.- Obtenemos la integral 5/2 √ √ A1 = [ y − (− y)]dy 0 2.- Por propiedad de la integral 5/2 √ A1 = 2 ydy 0 2.- Resolvemos la integral 4y 5/2 5/2 A1 = | 3 0 3.- Evaluamos A1 = 5.27u2 4 Temuco, June 8, 2010
  5. 5. Area bajo la curva Area 2: 1.- Obtenemos la integral 5 A2 = [ 5 − y − (− 5 − y)]dy 5/2 2.- Por propiedad de la integral 5 A2 = 2 5 − ydy 5/2 3.- Resolvemos la integral 4(5 − y)5/2 5 A2 = − |5/2 3 4.- Evaluamos A2 = 5.27u2 Por ultimo sumamos ambas ´reas: ´ a A1 + A2 = 10.54u2 5 Temuco, June 8, 2010
  6. 6. Area bajo la curva 3 3. Encontrar la longitud de arco de la curva y = x 2 con x ∈ [0, 5] √ como y = 3 x 2 5 3√ 2 L= 1+( x) dx 0 2 5 9 L= 1 + xdx 0 4 9 9 Sustituyendo u = 1 + x,du = dx 4 4 5√ 4 L= u du 0 9 8 3/2 5 L= u |0 27 8 9 L= (1 + x)3/2 |5 0 27 4 L = 12, 4 6 Temuco, June 8, 2010

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