Este documento trata sobre álgebra de funciones y combinación de funciones. Explica conceptos como funciones polinómicas de grado mayor o igual a dos, funciones racionales, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y gráficas de funciones. También cubre temas como la inversa de una función, raíces racionales de polinomios, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.

1. ALGEBRA DE FUNCIONES Y COMBINACION DE FUNCIONES 2
Funciones de grado mayor o igual a dos
FUNCIONES POLINOMICAS
4
FUNCIONES RACIONALES 7
FUNCIONES EXPONENCIALES 10
FUNCIONES LOGARITMICAS 14
GRAFICAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS 19
LA INVERSA DE UNA FUNCION 20
Funciones inversas 21
LA INVERSA DE UNA FUNCION VISTA GRAFICAMENTE 22
RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS 23
GRAFICA DE FUNCIONES 25
FUNCION CONSTANTE 28
ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES 34
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 39
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c 40
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c 41
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 42
MATRICES 43
DETERMINANTES 44
REGLA DE CRAMER 46
ECUACIONES CUADRATICAS 48

2. ALGEBRA DE FUNCIONES Y COMBINACION DE FUNCIONES
Algebra de funciones
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es
posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división
(cociente) con f(x) y g(x).
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las
funciones definidas por:
(f g )( x ) f ( x) g( x)
( f g )( x ) f ( x ) g ( x )
( f g )( x ) f ( x ) g ( x )
f f ( x)
x , g( x) 0
g g( x)
Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores
de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.
Ejemplos para discusión:
1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las
funciones f y g. Señala el dominio Para cada una de ellas.
2) Sea:
f ( x) 4 x y g( x) 3x
Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio
para cada una de ellas.
Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y
cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?
Composición de funciones
Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:

3. (f g )( x ) f ( g ( x ))
donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:
( g f )( x ) g ( f ( x )).
Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
x2
1) f ( x ) 3x 1 y g( x)
2) f ( x ) x y g( x) 2x 1
x1
3) f ( x ) 2x 1 y g( x)
2
Notas:
1) El dominio f (g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es
subconjunto de recorrido de f.
2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces
también su composición f(g(x) está definida.
Ejercicio de práctica: Halla: f (g(x)), g (f(x)) y el dominio de cada composición si:
1
f ( x) x y g( x) .
x

4. FUNCIONES POLINOMICAS
Funciones de grado mayor o igual a dos
Introducción
Anteriormente estudiamos las siguientes funciones:
f(x) = b, función constante
f(x) = mx + b, función lineal
f(x) = ax2 + bx + c, donde a es diferente de cero, función cuadrática
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, donde a es diferente de cero, función cúbica
Definición: La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 , donde an es diferente de
cero, se conoce como una función polinómica de n ésimo grado. Los números
an, an-1,..., a1,a0 se llaman los coeficientes de la función.
Nota: Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una
función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de
segundo grado. La función P(x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna
ningún grado.
Definición: Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0.
Ejemplo: Considera la función f(x) = x2 - 4 ilustrada gráficamente:

5. 12
10
8
6
4
2
0
-4 -2 -2 0 2 4
-4
Muestra que las intersecciones con el eje x en -2 y en 2 son las raíces o soluciones
de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0 y f(2) = (2)2 - 4 = 0.
Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3
y x = 1 son las soluciones o raíces.
Nota: Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales, entonces las intersecciones
con el eje x de la gráfica de y = P(x) son las raíces reales P(x), y son las soluciones
reales o raíces para la ecuación P(x) = 0.
Division Sintética
Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado
superior que utilizaremos en el próximo tema. Este método requiere que los términos de
la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se
sustituya por cero.
Ejemplos para discusión:
1)(2 x 3 5x 2 4 x 6) ( x 3)
2)(2 x 4 3x 3 x 5) ( x 2)
3)(2 x 4 5x 3 4x2 13) ( x 3)
Ejercicio de práctica:
1)(2 x 2 3x 6) ( x 5)
2)(3x 4 11x 3 18 x 8) ( x 4)
En la página 216 del texto se muestra un recuadro con los pasos claves en el proceso de
la división sintética.
Teorema del residuo: Si R es el residuo después de dividir el polinomio P(x) entre
x - c, entonces P(c) = R.

6. Ejemplos para discusión:
1) Si P(x) = 2x3 - 5x2 + 4x - 6, halla P(3).
2) Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, halla P(-3).
Estos valores también se pueden obtener evaluando directamente en el polinomio.
Ejercicio de práctica: Si P(x) = 3x4 - 16x2 - 3x + 7, halla P (-2).
FUNCIONES RACIONALES
Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:
P( x )
f ( x)
Q( x )
Se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.
Ejemplos:
1 x3
3x 2
f ( x) , g( x) , h( x ) 1
x x1
El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que
el denominador sea diferente de cero.
Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

7. 1
1) f ( x )
x
2
2) g ( x )
x1
2x 3
3)h( x )
x2 4
1
4) f ( x )
2x 1
Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:
P( x )
f ( x)
Q( x )
donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es
diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y
= f(x).
Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes
funciones:
1
1) f ( x )
x
2
2) g ( x )
x1
2x 3
3)h( x )
x2 4
1
4) f ( x )
2x 1
Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,
a m x m ... a1 x a 0
f ( x)
bn x n ... b1 x b0
Entonces:
1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.
2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.
3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.
Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes
funciones:

8. 1
1) f ( x )
x
2
2) g ( x )
x1
2x 3
3)h( x )
3x 1
3x 3
4) f ( x )
x2 1
Gráfica de funciones racionales
Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones
racionales.
Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:
1
1) f ( x)
x
1
2) g ( x)
x1
2x
3)h( x)
x3
3
4) f ( x) 2
x1
3x 6
5) g ( x)
x1
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las
siguientes funciones. Dibuja la gráfica.
3x
1) f ( x )
x2
1
2) f ( x )
x2
Teorema: Si f es una función definida de la forma:
P( x )
f ( x)
Q( x )
Donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x),
entonces se puede expresar de la forma:
r ( x)
f ( x) mx b
Q( x )

9. Donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una
asíntota oblicua para la gráfica de f.
Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
x2 3x 4
f ( x)
x2
Dibuja la gráfica.
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
x2 5
f ( x)
x1
Dibuja la gráfica.
FUNCIONES EXPONENCIALES
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las
2
funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x es una función que tiene una variable
elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada
anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una
variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx ,
donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de
todos los números reales positivos.

10. 1) f(x) = 2x
8
6
4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
1 1x x
2) f ( x ) 2 2
2
8
6
4
2
0
-4 -2 0 2 4
Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.
4)
Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
5)
6) La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son
diferentes de uno y x, y reales:
1) Leyes de los exponentes:

11. a )(a x )(a y ) ax y
ax
ax y
b)
ay
y
c) a x a xy
d )(ab) x a xb x
x
ax
a
e)
bx
b
2) ax = ay si y sólo si x = y
3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes
ecuaciones:
2x = 8
1)
10x = 100
2)
4x-3 = 8
3)
5 2 - x = 125
4)
Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:
1) 2x = 64
2) 27 x + 1 = 9
La función exponencial de base e
Al igual que , e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este
número fue dada por Leonhard Euler (1727).
la ecuación f(x) = ex
Definición: Para un número real x, define a la función
exponencial de base e.
Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
La gráfica de f(x) = ex es:

12. 25
20
15
10
5
0
-4 -2 0 2 4
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números
reales positivos.
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de
f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:
30
25
20
15
10
5
0
-4 -2 0 2 4
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con
base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.
Ejemplos: Simplifica.
4x
1) e 2 x
e3x
2) 3 x 8
e
Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1

13. Práctica:
1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5)
2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x
La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:
25
20
15
10
5
0
-4 -2 0 2 4
FUNCIONES LOGARITMICAS
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la
notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación
para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb
(x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el
“logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base
b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
logb y = x si y sólo si y = bx.
Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

14. Ejemplos:
1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que
52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo
expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52
= 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)
2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales
positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3
está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio
logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.
Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
1) log 3 9 2
1
2) log 49 7
2
1
3) log 2 2
4
Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
1) log 3 27 3
1
2) log 36 6
2
1
3) log 3 2
9
Ejemplo para discusión: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:
1)81 9 2
1 1
2) 3
3
1
3)100 2 10
Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

15. 43
1)64
3
2) 2 8
1 2
3) 4
16
Solución de ecuaciones logarítmicas simples
Ejemplos para discusión:
1) Halla el valor de x si log3 9 = x.
2) Halla el valor de b si logb 8 = 3.
3) Halla el valor de y si log2 y = 7.
Ejercicio de práctica:
1) Halla el valor de y si log3 27 = y.
2) Halla el valor de b si logb 100 = 2.
3) Halla el valor de x si log2 x = -3.
Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b
es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:
1) logb 1 = 0
2) logb b = 1
logb bx = x
3)
4) logb MN = logb M + logb N
M
5) log b log b M log b N
N
6) logb Mp = p logb M
7) logb M = logb N si y sólo si M = N
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para simplificar:
1) log5 1 =
2) log10 10 =
3) log10 0.01 =
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:
1) log10 1 =
2) log5 25 =
3) log10 10 -5 =
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

16. 1) logb 5x =
2) logb x9 =
1
3) log 2
5
xy
4) log 3
5
5) log 2 2 3
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:
1) log b uv
2) log b uv 3
r
3) log b
xy
1
5
u
4) log b
v3
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo
logaritmo:
1) log3 (x) + log 3 (6) =
2) log3 (24) - log3 (4) =
3) log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo
logaritmo:
1) log10 (5) + log10 (3) =
2) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) =
3) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =
Logaritmos comunes y naturales
Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son
los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen
la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.
Notación:
Logaritmo común: log x = log10 x
Logaritmo natural: ln x = loge x
Ejemplo para discusión: Usa la calculadora para hallar:

17. 1) log 2 =
2) ln .0034 =
3) log (-3.24) =
Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:
1) log 3 =
2) ln 28.693 =
3) log(-0.438) =
El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En
particular:
1) ln e 1
2) ln 1 0
3) ln(uv ) ln u ln v
u
4) ln ln u ln v
v
5) ln u n n ln u
Ejemplos:
Usa las propiedades para expandir:
2x 1
1) ln
x2
2) ln 3x 2 y
Simplifica como un solo logaritmo:
3) ln y ln ( x 6)
4) x ln 1.05
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación
log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los
logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.
Ejemplo para discusión: Resuelve las siguientes ecuaciones para x:

18. 1)53 x 29
2) 2 3 x 2 5
3) log( x 3) log( x ) 1
1
4) log 8 3 log 8 25 log 8 x
2
5)(ln x ) 2 ln x 2
Ejercicio de práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones:
1)351 2x
7
2) log 3 ( x ) log 3 ( x 2) 1
3) log( x 15) 2 log( x )
2
(log x ) 2
4) log x
Gráficas de funciones logarítmicas
Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas.
Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y =
bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica
de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.
Ejemplo:
8 3
2
6
1
4
0
-1 0 2 4 6 8
2
-2
0
-4 -2 0 2 4 -3
y = 2x y = log2 x
Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la
gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El
dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números
reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales
mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

19. LA INVERSA DE UNA FUNCION
Antes de definir lo que es la inversa de una función necesitamos conocer qué es una
función uno a uno (función inyectiva).
Definición: Una función es uno a uno (función inyectiva) si ninguno de los pares
ordenados tienen la misma coordenada y, y diferentes coordenadas x.
Ejemplos para discusión: Determina en cada caso si f representa una función, y si es
función uno a uno.
1) g = {(0,3), (0,5), (4,7)}
2) h = {(0,3), (2,3), (7,4)}
3) k = {(0,3), (2,5), (4,8)}
f(x) = x2
4)
Teorema: Funciones uno a uno
1) Si f(a) = f(b) para al menos un par ordenado de valores del dominio a y b, para a
diferente de b , entonces f no es una función uno a uno.
2) Si la suposición f(a) = f(b) implica siempre que el dominio de los valores a y b son
iguales, entonces f es una función uno a uno.
Ejemplos para discusión: Determina si f es uno a uno.
1) f(x) = 2x - 1
2) f(x) = 4 - x2

20. Ejercicio de práctica: Determina si f(x) = 4 - 2x es uno a uno.
Existe un procedimiento gráfico para determinar si una función es uno a uno. Si una recta
horizontal interseca la gráfica de una función en más de un punto, entonces la función no
es uno a uno. Si por el contrario, si cada recta horizontal interseca la gráfica en un punto
o si no lo hace, entonces la función es uno a uno.
Teorema: Prueba de la recta horizontal
Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal interseca la gráfica de la
función en a lo más un punto.
Ejemplos:
1)
20
15
10
5
0
-5 0 5
f(x) = x2 no pasa la prueba de la recta horizontal, f no es uno a uno, pues la recta
horizontal interseca la gráfica en más de un punto.
2)
6
4
2
0
-6 -4 -2 -2 0 2
-4
-6
f(x) = 2x + 4 pasa la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno. La recta horizontal
interseca la gráfica en un punto.
Teorema: Si una función f es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su
dominio, entonces f es una función uno a uno.
Por ejemplo, las funciones lineales son crecientes o decrecientes en los números reales ;
f(x) = x3 es una función creciente en su dominio que es los números reales.

21. Funciones inversas
Definición: Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por f-1, es
la función formada al invertir todos los pares ordenados en f. Por tanto:
f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f}
Si f no es una función uno a uno, entonces f no tiene una inversa y f-1 no existe.
Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observa que f es una función uno a uno.
Por tanto, f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}.
Propiedades de las funciones inversas:
Si f-1 existe, entonces:
1) f-1 es una función uno a uno
2) dominio de f-1 = recorrido de f
3) recorrido de f-1 = dominio de f
En nuestro ejemplo anterior:
1) Dominio de f es {1, 2,3}. Dominio de f es el recorrido de f-1.
2) recorrido de f es {2, 4,9} Recorrido de f es el dominio de f-1.
3) dominio de f-1 es {2, 4,9} Dominio de f-1 es el recorrido de f.
4) Recorrido de f-1 es {1, 2,3}. Recorrido de f-1 es el dominio de f.
Como observarás hallar la inversa de una función definida por un conjunto de pares
ordenados es fácil. Pero, ¿cómo se halla la inversa de una función definida por una
ecuación? Veamos el procedimiento algebraico en los siguientes ejemplos para
discusión.
Ejemplos para discusión: Halla la inversa de:
1) f ( x ) 2x 1
2) f ( x ) x1
1
3) f ( x )
x1
Ejercicio de práctica: Halla la inversa de:
1) f ( x ) 3x 5
2) f ( x ) x2
La inversa de una función vista gráficamente

22. Existe una relación importante entre la gráfica de una función y su inversa, esto es, en un
sistema de coordenadas, los puntos (x, y) y (y, x) son simétricos con respecto a la recta
y = x.
Ejemplos para discusión:
1) Dibuja la gráfica de f(x) = x - 5 usando tablas de valores, asigna a x los valores: -3, -
2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Luego dibuja en el mismo plano la gráfica de y = x. Intercambia
las coordenadas de los pares ordenados de f(x) y construye la nueva gráfica, que es la
inversa de f(x). Observa que los puntos de f(x) y los puntos de f-1(x) son simétricos con
respecto a la recta y = x.
2) Halla la inversa de f ( x ) x. Dibuja en el mismo plano la gráfica de ambas
funciones en el mismo plano.
3) Halla la inversa de f ( x ) x 1 . Dibuja en el mismo plano la gráfica de ambas
funciones en el mismo plano.
RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS
En esta ocasión pasaremos a encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con
coeficientes racionales.
Teorema del factor (factorización): Si r es una raíz del polinomio P(x), entonces x - r es
un factor de P(x). Por el contrario, si x - r es un factor de P(x), entonces r es una raíz de
P(x).
Ejemplos para discusión:
1) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = x2 - x - 6?
2) Demuestra que x + 1 es un factor de x25 + 1.
3) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 3(x - 5)(x + 2)(x - 3)?
4) ¿Cuáles son las raíces de x4 - 1?
5) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje de x de la gráfica de P(x) = x2 - x - 6?
Ejercicio de práctica:
1) Usa el teorema del factor para demostrar que x + 4 es un factor del polinomio
P(x) = x3 - 13x + 12.
2) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 2(x + 3)(x + 7)(x - 8)(x + 1)?
3) ¿Cuáles son las raíces de x2 + 4 = 0?
4) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de P(x) = x2 - 9?
Teorema fundamental del álgebra: Cada polinomio P(x) de grado n>0 tiene al menos
una raíz.

23. Definición: Si un factor x - r ocurre k veces en la factorización completa de un polinomio
P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0 con multiplicidad k.
Ejemplos:
1) 1) En el polinomio P(x) = x2 - 10x + 25 es un polinomio con raíz 5 de
Observa que, x2 - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2.
multiplicidad 2.
2) 2) Un polinomio P(x) de menor grado, con coeficiente principal 1 que tiene las
siguientes raíces:-7 de multiplicidad 3 y 5 de multiplicidad 2 queda
expresado de la forma factorizada como: P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2.
Teorema de las n raíces: Cada polinomio P(x) de grado n>0 se puede expresar como el
producto de n factores lineales. De aquí que, P(x) tenga exactamente n raíces (no
necesariamente distintas).
Ejemplo: El polinomio P(x) = 6(x - 5)3(x + 1)2(x - i) (x + i) es de grado siete y tiene siete
raíces, no todas diferentes. Observa que 5 es una raíz de multiplicidad 3; -1 es una
raíz de multiplicidad 2; i y -i es de multiplicidad 1. Así que este polinomio de grado
siete tiene exactamente siete raíces tomando en cuenta al 5 y al -1 con sus respectivas
multiplicidades.
Teorema de raíces imaginarias: Las raíces imaginarias de polinomios con coeficientes
reales, si existe, ocurren en pares conjugados.
Ejemplo: Al hallar las raíces del polinomio P(x) = x2 - 6x + 13 por la fórmula cuadrática
encontramos que las raíces son 3 + 2i y 3 - 2i, que son números conjugados
imaginarios.
Teorema de las raíces racionales: Si P(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1x + a0 es
una función polinómica con coeficientes enteros (donde an es diferente de cero y a0 es
diferente de cero) y b/c (de forma simplificada) es un cero racional de P(x), entonces b es
un factor del término constante a0 y c es un factor del coeficiente de an.
Ejemplos para discusión: Halla todas las raíces racionales para:
1) P(x) = 2x3 - 9x2 + 7x + 6
2) P(x) = 2x3 - 7x2 + 4x + 3
Ejercicio de práctica: Halla todas las raíces para P(x) = 2x3 + x2 - 11x - 10.

24. GRAFICA DE FUNCIONES
Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la
gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y.
Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los
valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
Ejemplo para discusión:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

25. 4
3
2
1
0
-4 -2 0 2 4 6
-1
-2
-3
-4
-5
Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:
4
3
2
1
0
-4 -2 -1 0 2 4 6
-2
-3
-4
Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

26. 2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplos:
6
4
2
0
-6 -4 -2 -2 0 2
-4
-6
1)
La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.
8
6
4
2
0
-5 -2 0 5
-4
-6
-8
2)
La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

27. 2
1.5
1
0.5
0
-4 -2 0 2 4
3)
La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.
20
15
10
5
0
-5 0 5
4)
La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y
creciente en el intervalo de cero a infinito.
Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta
horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.
Ejemplo:

28. 2
1.5
1
0.5
0
-4 -2 0 2 4
En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}.
La pendiente (m) es cero.
Función identidad
La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el
conjunto de los números reales.
2
1
0
-4 -2 -1 0 2
-2
-3
Función lineal
Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de
cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica

29. no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el
recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales
y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El
intercepto en y es (0, b).
Ejemplo:
6
4
2
0
-6 -4 -2 -2 0 2
-4
-6
En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los
números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El
intercepto en y es (0,4).
Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de
f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica.
Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto
en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.

30. Función cuadrática
Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de
cero, donde a, b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una
parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola
abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números
reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula:
b b
,f .
2a 2a
20
15
10
5
0
-5 0 5
f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba,
pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el
recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x)
= x2 es cóncava hacia arriba.
0
-5 -5 0 5
-10
-15
-20
f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo,
pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el

31. recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una
función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo.
Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola,
paralelo al eje de y.
Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio,
recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente.
Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:
1) f(x) = x2 - 2x - 3
2) g(x) = -x2 - 2x + 3
Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto
en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente.
Dibuja la gráfica.
Función valor absoluto
La función f ( x ) x es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los
números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es:
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4 -2 0 2 4

32. Función dominio partido
Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes
ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo:
x 1 si x 0
f ( x)
x 1 si x 0
La gráfica de esta función es:
El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma
de intervalo es (- , 0) (0, ). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto
-1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (- , -1) (1, ). Los puntos abiertos en
(0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación
de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.
Función radical
La función f ( x ) x es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:

33. 5
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20 25
ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en
cursos tomados anteriormente. De manera que el propósito será un repaso de las
mismas.
Definición: Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a
diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal
en dos variables de forma general.

34. Ejemplos: 2x + y = 4; 3x - 4y = 9.
Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no
están expresadas de la forma general. Lo podemos lograr cambiando de lugar los
términos correspondientes. De manera que:
y = -3x + 5 en la forma general es 3x + y = 5
y = -2x en la forma general es 2x + y = 0
El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares
que hace la ecuación cierta. Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1)
y (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12? La respuesta a esta pregunta la
podemos hallar sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada.
Veamos:
1) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 = 10. Por tanto, el par ordenado (5, 1) no
es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
2) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12. Por tanto, el par ordenado (8, 3) es
solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables
Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas. Una forma de construir gráfica
de líneas recta es a través de interceptos.
La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se
llama intercepto en x. Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero. El intercepto en x
se expresa de la forma (x, 0).
La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se
llama intercepto en y. Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero. El intercepto en y
se expresa de la forma (0, y).
Ejemplos para discusión en clase: Construye la gráfica de cada una de las siguientes
ecuaciones usando interceptos.
1) x - y = 3
2) 2x + 3y = 6
Ejercicio de práctica: Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones
usando interceptos:
1) 3x + 5y = 15
2) 3x - 4y = 12
Pendiente de una recta
Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al
cambio en x.

35. Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m)
está dada por:
y2 y1
m , donde x1 x2 .
x2 x1
Esto es,
cambio vertical ( elevacion)
m .
cambio horizontal ( desplazamiento)
Ejemplo para discusión en clase: Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la
pendiente para cada caso.
1) (-3,4) y (6, -2)
2) (-3, -4) y (3, 2)
3) (-4, 2) y ( 3, 2)
4) (2, 4) y (2, -3)
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la
pendiente de una recta:
Pendiente Tipo de recta
positiva recta ascendente
negativa recta descendente
cero recta horizontal
no definida recta vertical
Ejercicio de práctica: Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
1) (-3 , -3) y (2, -3)
2) (0, 4) y (2, -4)
3) (-2, -1) y (1, 2)
4) (-3, 2) y (-3, -1)
Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en
y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.
Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto
donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5).
La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto. Pero lo
podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2. Donde la pendiente
(m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).
Nota: Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.
Por ejemplo, y = 3x representa la ecuación de una recta ascendente que pasa por el
origen.
Ejemplos para discusión en clase:

36. 1) La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). ¿Cuál es la ecuación de la recta
de la forma pendiente-intercepto?
2) Determina la pendiente y el intercepto en y de la recta cuya ecuación es 2x + y = 1.
Dibuja la gráfica.
Ejercicio de práctica: Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con
pendiente 2 y el intercepto en y en (0, 5).
Ecuaciones de la forma punto-pendiente
Una ecuación de una recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m es:
y - y1 = m(x - x1).
Conocida por la ecuación punto-pendiente.
Esta forma de ecuación nos permite hallar la ecuación de la recta cuando se tiene:
a) el valor de la pendiente y las coordenadas de un punto en la recta, o,
b) dos puntos de la recta. Para este caso, se halla primero la pendiente y luego se utiliza
la forma punto-pendiente con cualquiera de los puntos dados.
Ejemplos para discusión en clase:
1) Halla la ecuación de la recta con pendiente -2 y pasa por el punto (1, 4). Expresa la
ecuación de la forma general.
2) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, -3) y (3, 7). Expresa la
ecuación de la forma pendiente-intercepto.
Ejercicio de práctica:
1) ¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente 1/2 y pasa por el punto (8, 5)? Expresa
la ecuación de la forma general.
2) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (4, -7) Expresa la
ecuación de la forma pendiente-intercepto.
Rectas verticales y horizontales
La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una
constante. Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.
La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una
constante. La pendiente de una recta horizontal es cero.
Nota: En la página 124 del texto aparece un resumen en la Tabla 2 sobre las diferentes
formas de ecuaciones.
Ejercicio de práctica: Construye la gráfica de cada ecuación:

37. 1) x = -2
2) y = 5
Rectas paralelas y perpendiculares
¿Recuerdas las rectas paralelas y perpendiculares estudiadas en geometría? Las rectas
paralelas son aquellas que están en un mismo plano y nunca se intersecan. Las rectas
perpendiculares son dos rectas que se intersecan formando cuatro ángulos de 90 grados.
Dadas dos rectas no verticales L1 y L2 con pendientes m1 y m2, respectivamente,
entonces:
L1 / / L2 si y solo si m1 m2
1
L1 L2 si y solo si m1
m2
Ejemplo para discusión en clase:
Dada la ecuación de la recta 3x - 2y = 5 y el punto (-3, 5). Halla la ecuación de una recta
que pase por el punto (-3, 5) que sea paralela a la ecuación dada y otra ecuación de una
recta que sea perpendicular .
Ejercicio de práctica:
Dada la ecuación de la recta 4x + 2y = 3 y el punto (2, -3) halla la ecuación de la recta que
pasa por el punto dado y que sea:
1) paralela a 4x + 2y = 3
2) perpendicular a 4x + 2y = 3
Distancia entre dos puntos
Sean (x1, y1) y (x2, y2) dos puntos. La distancia entre esos dos puntos está dada por:
x1 ) 2 y1 ) 2
( x2 ( y2
Ejemplos: Halla la distancia entre los puntos:
1) (3, 1) y (-5, 6)
2) (-5, 0) y (-4,-5)
Ejercicio de prática: Halla la distancia entre los puntos (-4,-5) y (4,-1).

38. Su dominio es [0, ) y el recorrido es [0, ).
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la
distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.
Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por
ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la
ecuación │x│= 3 es -3 y 3.
Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c
es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax
+ b = -c.

39. Ejemplos Para discusión:
1) │3x - 4│ = 5
1
2) x1 5
2
3) │3x - 1│+ 2 = 5
4) │x + 2│ = │x - 7│
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1) │3x - 4│= 23
2) │2x + 1│ + 3 = 8
2
3) x4 2
3
4) │x - 6│ = │5x + 8│
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c
¿Qué significa │x│< 2 ? Significa que x es un número menor que 2 unidades
desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la
situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica.
Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están entre -2 y 2.
Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2.
Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x < a.
Ejemplos para discusión:

40. 1) │x│< 3
2) │x + 5│ ≤ 10
3) │3x - 2│≤ 8
4) │2(x – 1) + 4│ < 8
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones:
1) │x│≤ 5
2) │x - 6│ < 15
3) │2 + 3(x – 1)│< 20
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c
¿Qué significa │x│> 2? Significa que x es un número mayor que 2 unidades
desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2
en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la
derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta
numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo.
De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2.
Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a.

41. Ejemplos para discusión:
1) │x│≥ 3
2) │x - 4│> 5
3) │2x - 3│> 5
2
4) 3 x 5
3
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones.
1) │x│> 5
2) │x + 6│> 2
3) │-5x - 2│>13
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición: Un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste
de dos tipos de ecuaciones de la forma:
2 x 3y 9
3x y 8
donde a,b,c,d,h y k son constantes. La solución del sistema dado es el conjunto de
todos los pares ordenados (x,y) que satisfacen ambas ecuaciones.
Ejemplos:

42. 1) Determina si el par ordenado (3,1) es una solución del sistema:
2x 3y 9
3x y 8
2) ¿Es (2,0) una solución al sistema que aparece a continuación?
5x 2y 10
?
3x 2y 6
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales se obtiene una de las siguientes
posibilidades:
1) Una solución única, esto es, que las rectas se intersecan en un punto. El sistema es
consistente.
2) Ninguna solución, esto es, que las rectas son paralelas. El sistema es inconsistente.
3) Infinito números de soluciones, esto es, que las rectas coinciden. El sistema es
dependiente.
Ejemplos para discusión en clase por el método gráfico y el método de eliminación de una
variable.
xy3
1
)
xy3
x2 2
y
2)
x2 4
y
Ejercicio de práctica: Halla la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el
método gráfico y por el método de eliminación de una variable.
x y 3
1)
x y 3
x 2y 2
2)
x 2y 4
MATRICES

43. Definición: Una matriz es un arreglo de números reales distribuidos en filas y columnas, el
cual están encerrados en paréntesis o corchetes. Las matrices generalmente se denotan
con letras mayúsculas.
Ejemplos:
4
2
C
3
2 37 1 3
A B
1
1 04 4 5 D 1, 2, 3, 5
Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces se dice que la matriz es de
dimensión m x n. Por ejemplo, la matriz A es de dimensión 2 x 3, ya que la matriz A
tiene dos filas (m) y tres columnas (n). B es de dimensión ________, C es de dimensión
_______ y D es de dimensión __________.
Observa que una matriz de dimensión 1 x n tiene una fila y n columnas; mientras que una
matriz de dimensión m x 1 tiene m filas y una columna. Una matriz que consiste de una
columna se llama matriz columna. Una matriz que consiste de una fila se llama matriz
fila. En los ejemplos anteriores, C es una matriz columna y D es una matriz fila.
Si todos los elementos ( o componentes) de una matriz son ceros llamamos a la matriz
una matriz cero y se denota por 0. Por Ejemplo, la matriz cero de dimension 2 x 3 es:
000
0
000
Una matriz con el mismo número de filas que de columnas se llama una matriz
cuadrada.
Ejemplos:
1 6 2
1 3
A C 3 1 4
4 5
2 0 5
Dimensión 2 x 2 dimensión 3 x 3
Nota: Los números 1, -1 y 5 en la matriz C de dimensión 3 x 3 se conocen como los
elementos de la diagonal principal. La diagonal principal la hallamos en las matrices
cuadradas. Así también los números 1 y 5 en la matriz A de dimensión 2 x 2 son
elementos de la diagonal principal.

44. DETERMINANTES
Definición: Sea
a11 a12
A
a 21 a 22
una matriz de orden 2 x 2. El determinante de A denotado por det A = a11 a22 - a12 a21.
También el determinante se representa por:
det A A.
Ejemplo para discusión: Halla el determinante de la matriz:
1 2
A
3 4
Ejercicio de práctica: Halla el determinante de:
3 5
B
4 2
Definición: Sea
a11 a12 a13
A a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
una matriz de orden 3 x 3, entonces:
a11 a12 a13 a11 a12
det A a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
= (a11)(a22)(a33)+(a12)(a23)(a31)+(a13)(a21)(a32)-(a31)(a22)(a13)-(a32)(a23)(a11)-(a33)(a21)(a12)
Nota: Este método sólo aplica a matrices de orden 3 x 3.

45. Ejemplo para discusión: Halla el determinante de la matriz :
3 52
A 4 23
124
Ejercicio de práctica: Halla el determinante de la matriz:
2 1 1
B 2 3 0
1 2 1
REGLA DE CRAMER
Teorema: Regla de Cramer para sistemas de dos ecuaciones y dos variables
Dado el sistema:
a11 x a12 y k1 a11 a12
, con D 0
a 21 x a 22 y k2 a 21 a 22
Entonces:

46. k1 a12 a11 k1
k 2 a 22 a 21 k2
x y y .
D D
Nota: El determinante D es el determinante de la matriz coeficiente. Si D es diferente de
cero, entonces el sistema tiene exactamente una solución. Por otro lado, si D = 0,
entonces el sistema tiene infinito número de soluciones o ninguna solución.
Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:
3x 5 y 2
4 x 3y 1
Nota: La regla de Cramer no se puede usar para resolver sistemas donde el número de
variables no sea igual al número de ecuaciones.
Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:
2x y 0
xy1
Teorema: Regla de Cramer para sistemas de tres ecuaciones y tres variables
Dado el sistema:
a11 x a12 y a13 z k1 a11 a12 a13
a 21 x a 22 y a 23 z k 2 , con D a 21 a 22 a 23 0
a 31 x a 32 y a 33 z k3 a 31 a 32 a 33
Entonces:
k1 a12 a13 a11 k1 a13 a11 a12 k1
k2 a 22 a 23 a 21 k2 a 23 a 21 a 22 k2
k3 a 32 a 33 a 31 k3 a 33 a 31 a 32 k3
x y z
D D D .

47. Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:
x y 2
3y z 4
x z 3
Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:
x yz4
x y 2z 8
2x y z 3
ECUACIONES CUADRATICAS
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son
ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de
grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0
donde a, b, y, c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

48. La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista
el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones
cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo
de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes
métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego
expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente
se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:
1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque
este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros
métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es
equivalente a :
x k.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de
raíz cuadrada:
1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8
Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto
cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio
cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del
medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

49. x2 + bx es :
2
b
x2 bx .
2
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio
cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que
completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de
completar el cuadrado:
1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la
fórmula cuadrática:
b2
b 4ac
x .
2a
La expresión:
b2 4ac
Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a
continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de
acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
b2 4ac
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones imaginarias
Ejemplos para discusión: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la
fórmula cuadrática:
1) x2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
3) 5x2 - 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.
Práctica: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

50. x2 - x - 20 = 0
1) (por factorización)
x2 - 8 = 0
2) (por raíz cuadrada)
x2 - 4x + 5 = 0
3) (completando el cuadrado)
9x2 + 6x = 1
4) (formula cuadrática)
NUMEROS COMPLEJOS
Introducción
¿Qué da origen a nuestro sistema de números? Las distintas necesidades permiteron su
desarrollo.. Los números naturales para contar, los números racionales para expresar
partes fraccionarias y razones. Los números negativos para expresar pérdidas, débitos y
temperaturas bajo cero. Cuando se observó que no se podia expresar un tamaño exacto
con un número racional aparecieron los números irracionales. Luego el conjunto de los
números racionales en unión a los números irracionales formaron el conjunto de números
reales. Más tarde surgió la necesidad de expandir el sistema de números reales con el
conjunto de los números complejos.
Anteriormente trabajamos con la solución de una ecuación lineal (de grado uno). En esa
ocasión vimos que las ecuaciones lineales tienen soluciones reales. Más adelante
estudiaremos las ecuaciones cuadráticas (de grado dos). Por ejemplo, x2 = 9 es una
ecuación cuadrática que tiene dos soluciones reales, estas son: -3 y 3. Pues (-
3)2 = 9 y (3) 2 = 9. Sin embargo, la ecuación cuadrática x2 = -1 no tiene solución real.
Pues no existe un número real que al multiplicarse por si mismo se obtenga el valor de
-1.
Los números imaginarios están basados en la solución de la ecuación x2 = -1. Como
ningún número real es la solución de esta ecuación, se define a un número imaginario i
para ser la solución de esta ecuación.
Definiciones
Un número imaginario i se define como:
i2
i 1 y 1.

51. El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma
a + bi, donde a y b son números reales.
Ejemplos: 2 + 3i y 5 - 2i
En el número complejo a + bi, a se llama parte real y b se llama la parte imaginaria. A
la forma a + bi, se le llama la forma general del número complejo. Pero para facilitar la
notación usamos algunas variaciones de esa forma general. Si a = 0 entonces se omite
la parte real y sólo se escribe la parte imaginaria. Si b = 0 entonces sólo se escribe la
parte real y el número a es un número real. Si b contiene un radical entonces se escribe i
antes de b para evitar confusión, es decir, que i esté dentro del radical.
Ejemplos:
1)4 5i
2)3i 0 3i
3)7 7 0i
4)0 0 0i
5)2 i 5
Operaciones con los números complejos
Para sumar números complejos sumamos las partes reales y las partes imaginarias. La
sustracción se hace similarmente. En la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva.
Ejemplos para discusión en clase:
1) (4 + 5i) + (1 - 7i) =
2) (9 - 2i) - (6 + 5i) =
3) 2(5 + 3i) =
4) 3i(1 + 4i) =
5) (3 - 2i)(1 + 5i) =
Definición: Los números complejos a + bi y a - bi se llaman conjugados complejos
uno del otro. Por ejemplo: el conjugado de 5 + 3i es 5 - 3i. El conjugado de 3 - 2i es 3
+ 2i.
Teorema: Si a y b son números reales, entonces el producto de a + bi y su conjugado a -
bi, es el número real a2 + b2. Esto es: (a +bi)(a - bi) = a2 + b2.
Usamos el teorema sobre conjugados complejos para dividir números imaginarios.
Ejemplos para discusión en clase:

52. 8 i
1)
2 i
1 i
2)
5 4i
Ejercicio de práctica: Efectúa las siguientes operaciones con números imaginarios.
1)( 3 2i ) (5 6i )
2)(6 7i ) (3 4i )
3)(3 i )(5 2i )
4)(4 3i )(4 3i )
1 i
5)
3 2i
4 2i
6)
2 3i