1. C´lculo Diferencial - 2do semestre 2011
a
Deber 1
Para el 31 de octubre de 2011
NB: Por cada ejercicio se calificar´ el total del puntaje en caso de que el
a
resultado y la demonstraci´n sean correctos, una parte del puntaje en caso
o
de que sola la demonstraci´n sea correcta, y ning´n punto en los casos demas.
o u
1
Ejercicio 1 (1 punto(s)) Calcule ab por a = exp x2 y b = x lnx1/x .
Ejercicio 2 (1 punto(s)) Demuestre si las expresiones siguientes son
verdaderas o falsas:
1. (ab )c = abc
2. ab ac = abc
3. a2b = (ab )2
4. (ab)c = ac/2 bc/2
c)
5. (ab )c = a(b
6. (ab )c = (ac )b
Ejercicio 3 (1 punto(s)) Desarrollar las expresiones siguientes, utilizando
las identidades trigonometricas:
1. cos 3a
1

2. 2. tan(a + b + c)
3. sen(2x + y)
π π
Ejercicio 4 (1 punto(s)) Despues de haber denotado que 8
= 2× 4
π π π
calcule cos( 8 ), sen( 8 ) y tan( 8 ).
Ejercicio 5 (2 punto(s)) Consideramos la divisi´n de un polinomio P ∈
o
R[X] por el polinomio X − a con a ∈ R, es decir:
P (X) = Q(X)(X − a) + R(X) con grad(R) < grad(X − a)
1. Halle el grado de R. Calcule P (a) y deduzca la expresi´n de R.
o
2. Halle directamente (es decir sin proceder a la divisi´n) el resto de la
o
3 2
division: (X + 4X − 5X + 2) ÷ (X − 3).
3. Indique directamente cu´les de estas divisiones son exactas:(X 3 −5X −
a
1) ÷ (X − 3), (X − 1) ÷ (X + 1), (X 4 − 2X 3 + X 2 + X − 1) ÷ (X − 1)
6
y (X 10 − 1024) ÷ (X + 2).
4. Encuentre directamente el valor de k para que al dividir 2X 2 − kX + 2
por X − 2 d´ de resto 4.
e
5. Determine directamente el valor de m para que el polinomio 3X 2 +
mX + 4 admita 1 como una de sus ra´ıces.
Ejercicio 6 (1 punto(s)) Sean P y Q dos polinomios tales que Q2 (X) =
XP 2 (X). ¿Que puede decir de P y Q?
Ejercicio 7 (2 punto(s)) Resolver la ecuaciones siguientes:
1. x2 + 3x − 5 = 0
2. −2x2 + 7x + 4 = 0
2

3. 3. x2 − 3 = 0
4. x3 + 2x2 − x − 2 = 0
5. x4 − 2 = 0
Ejercicio 8 (3 punto(s)) Resolver las siguientes desigualdades:
1. x3 + 2x2 − 9x + 6 < 0
2. x2 − 5x + 7 ≤ 0
√
3. x2 − 3x + 3 ≥ 0
4
√
4. x − 2 > 2 con x ≥ 2
√
5. x − 4 > −2 con x ≥ 4
√ √
6. x − 3 > 7 − x con x ≥ 3 y x ≤ 7
√
7. 2x−1 ≤ 2 (x = 1 )
3x+7
2
x2 +7x−3
8. x2 −x−1
≤ 2 (x2 − x − 1 = 1 )
2
x2 −3
9. x+5
> 4 (x = −5)
x−4 x+2
10. x+3
≤ x−5
(x = −3 y x = 5)
Ejercicio 9 (2 punto(s)) Resolver las ecuaciones y desigualdades siguien-
tes:
1. e2x + 3ex − 4 = 0
2. e3x − ex = 0
3. ex + e−x = 1
4. 4e2x < 3ex + 1
3

4. 2x−1
1
5. e 3x+1 > e2
Ejercicio 10 (2 punto(s)) Se recuerda que una funci´n f es periodica de
o
periodo T si y s´lo si T es el real positivo m´
o ınimo que verifica f (x+T ) = f (x)
por todo x en el dominio de f .
1. Halle el periodo de las funciones siguientes: f1 (x) = cos(x), f2 (x) =
|sen(x)|, f3 (x) = tan(x), f4 (x) = ecos(x) , f5 (x) = sen2 (x), f6 (x) =
cos(x/2), f7 (x) = sen(x/3), f8 (x) = sen(x) + cos(x), f9 (x) = sen(2x) +
cos(x), f10 (x) = tan(x) + cos(x), f11 (x) = sen(x) + cos(x/2).
2. Sea f una funci´n de R en R de periodo T . Halle el periodo de las
o
funciones siguientes: f1 (x) = f (x)2 , f2 (x) = f (x)3 , f3 (x) = f (2x),
f4 (x) = f (nx) n ∈ N, f5 (x) = f (x2 ), f6 (x) = f (x) + f (2x), f7 (x) =
√
f (x) + f (4x), f8 (x) = f (2x) + f (3x), f9 (x) = f ( 2x) + f (x).
3. Halle el periodo de las funciones siguientes y bosquejelas entre −2π y
2π: f (x) = cos2 (x) y g(x) = cos(x)sen(2x).
Ejercicio 11 (3 punto(s)) Se recuerda que una funci´n f es par si y
o
s´lo si f (−x) = f (x) por todo x en el dominio de f , y es impar si y s´lo si
o o
f (−x) = −f (x) por todo x en el dominio de f .
1. Halle si las funciones siguientes son pares o impares (o ninguno de
los dos): f1 (x) = sen(x), f2 (x) = cos x, f3 (x) = tan(x), f4 (x) = x2 ,
f5 (x) = x3 , f6 (x) = x3 −x2 , f7 (x) = −x4 +2x2 , f8 (x) = x5 +x3 −2x+1,
f9 (x) = x5 − 7x, f10 (x) = x4 + 2, f11 (x) = sen2 (x) y f12 (x) = cos2 (x).
2. Sea f una funci´n ordinaria, fp una funci´n par y fi una funci´n impar.
o o o
Halle si la funciones siguientes son pares o impares (o ninguno de los
dos): f1 (x) = f (−x), f2 (x) = f (x2 ), f3 (x) = fp (x2 ), f4 (x) = fi (x2 ),
f5 (x) = fp (x) + fi (x) y f6 (x) = fp (x)fi (x).
3. Sea f una funci´n. Halle una funci´n par f1 y una funci´n impar f2
o o o
tales que f (x) = f1 (x) + f2 (x) por todo x (Calcule f (x) y f (−x) y
resuelva el sistema de ecuaciones con incognitas f1 (x) y f2 (x).
4

5. Ejercicio 12 (1 punto(s)) Realize una tabla de valores para las funciones
siguientes y bosquejelas:
1. f (x) = x2 − 3x + 1
√
2. g(x) = x − 2
3. h(x) = 7x3 − 5x2 + x + 3
4. ∆(x) = 2x − 3
5