1. - 1 -
ESTADÍSTICA
Desde los comienzos de la civilización ya se
utilizaban formas sencillas de estadística con
representaciones gráficas y otros símbolos en
pieles, rocas, palos de madera y paredes de
cuevas. Hacia el 3000AC los babilonios
recopilaban información de su producción
agrícola en tablas de arcilla. Los egipcios
analizaban datos de su población y la renta del
país.
El imperio romano fue el primer gobierno que
recopiló datossobre su población,superficie
territorial y rentas.
Ya en la Edad Media, los reyes carolingios
Pepino el Breve y Carlomagno ordenaron
realizar estudiosminuciosos de las propiedades
de la Iglesia (año 758 aprox.)
En el Perú, los Incas mantenían un control
exhaustivo de su poblacióny territorio
almacenando estos datos en “los quipus” los
cuales solo podíanser descifradospor los
quipucamayoc, una especie de estadistasy
contadoresdel Imperio.
El término estadística se deriva del vocablo
“Estado”, porque la función primordial de los
estadoses y ha sido llevar registros de población,
nacimientos, defunciones, impuestos, egresos,
etc. Hoy en día es importante para realizar el
control de calidad de un producto por ejemplo,
describiendo con exactitud datos económicos,
políticos, sociales, psicológicos, biológicos y
físicos. A todo esto el desarrollo de la Teoría de la
Probabilidad ha aumentado el alcance de las
aplicaciones de la estadística.
ESTADÍSTICA
CONCEPTO Y DEFINICIÓN
La estadística es la ciencia de recolectar,
clasificar, describir e interpretar datos. Puede ser:
 Estadística Descriptiva
Es el conjunto de métodos estadísticos
relacionados con el resumen y la descripción de los
datos, comotablas, gráficas y análisis.
 Estadística Inferencial
Conjunto de métodos con los que se hace la
generalización o la inferencia acerca de una
población, utilizando una muestra. Se precisa de
una medida confiable (la probabilidad)
EJEMPLO 1
 San Juan de Lurigancho tiene una extensión
de 131.25 km2, lo que representa el 4,91% de
Lima.
 Según el último censo, en nuestro distrito
habitan 812 656 habitantes.
 Existen 9 comisarías en el distrito, con unos 1
150 policías.
POBLACIÓN Y MUESTRA
Población es un conjunto de elementos (personas,
puntajes,mediciones, etc.) en los cuales se pueden
presentardeterminadas características observables
y que se pueden medir.
Muestra es un subconjunto de elementos de una
población.
EJEMPLO 2
Identificar la población y muestra tomadas del
colegio San Agustín
La población está conformada por todos los
alumnos del plantel.
La muestra son los alumnos del 3er Año…….
VARIABLES ESTADÍSTICAS
Es la característica que se quiere estudiar
de los elementos de una población.
Pueden ser:
 VARIABLES CUALITATIVAS
Si el valor asignado es un atributo y no son
numerables.
EJEMPLO 3
Respondamos brevemente las posibilidades
La nacionalidad:………………………………..
El sexo:…………………………………… ……..
El estado civil:………………………… ……….
El equipo de fútbol favorito:……………………...
……………………………………………………
 VARIABLES CUANTITATIVAS
Son aquellos que se obtienen como resultados de
conteos y mediciones. Pueden ser:
VARIABLES CUANTITATIVAS
DISCRETAS
Si sus valores son números naturales y se toman
contando. Por ejemplo:
EJEMPLO 4
Obtener la siguiente información
El número de alumnos en el aula: ………………..
El número de alumnos nuevos del aula:………….
La cantidad de alumnas en la clase:……………...
VARIABLES CUANTITATIVAS
CONTÍNUAS
Son valores reales y se obtienen mediante
mediciones. Por ejemplo:
EJEMPLO 5
Obtener la siguiente información
La temperatura en Lima hoy día:…………………
La estatura de un alumno:………………………...
El peso de un alumno: …………………………...

2. - 2 -
CONSTRUYENDO
MIS1. Escribe V (verdadero) o F (falso) según
corresponda, justificando tu respuesta.
 Al concluir que el peso promedio de un niño
peruano de 13 años es 5kg, estamos haciendo
una inferencia estadística……………..( )
 Una población puede llegar a determinar una
muestra………………………………..( )
 Una muestra puede llegar a determinar una
población……………………………...( )
 El color de los ojos de una persona es una
variable cualitativa……………………( )
2. Con la siguiente información (CUADRO Nº1)
Nombre Sexo Lugar
de
nacimiento
Edad
(años)
Estatura
(m)
Nº de
herm.
Joel
Ian
Ana
Katty
Elsa
Rubén
Marcia
M
M
F
F
F
M
F
Ica
Lima
Lima
Piura
Iquitos
Cusco
Lima
13
13
14
13
14
13
13
1,57
1,59
1,65
1,63
1,65
1,60
1,66
2
3
1
2
0
3
4
Identifique las siguientes variables con los datos
obtenidos del cuadro anterior:
VARIABLES ESTADÍSTICAS
 CUALITATIVAS
………………………………………
 CUANTITATIVA DISCRETA
………………………………………
 CUANTITATIVA CONTÍNUA
………………………………………
DATOS ESTADÍSTICOS
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Para tener en cuenta
 La población, según el número de elementos
que la componen, puede ser finita o infinita.
 La muestra debe ser seleccionada de manera
que sea representativa de la población.
3. Obtener la siguiente información con los
alumnos ubicados en tu fila (CUADRO Nº2)
Nombre Sex Lugar de
nacimiento
Edad
(años)
Talla
(m)
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
4. Identifique las siguientes variables con los
datos obtenidos del cuadro anterior:
VARIABLES ESTADÍSTICAS
 CUALITATIVAS
………………………………………
 CUANTITATIVA DISCRETA
………………………………………
 CUANTITATIVA CONTÍNUA
………………………………………
DATOS ESTADÍSTICOS
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
5. ¿Cuáles son las variables que más se
repiten en el cuadro Nº 1?
………………………………………
………………………………………
……………………………………….
6. ¿Cuáles son las variables que más se
repiten en el cuadro Nº 2?
………………………………………
………………………………………
……………………………………….

3. - 3 -
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
6. Clasifica las siguientes variables del censo
de alumnos del colegio:
 Grado que cursa
 Año de ingreso
 Nacionalidad
 Estado civil de los padres
 Número de hermanos
 Ingreso mensual promedio
 Tiempo de residencia en Lima
 Número de cursos desaprobados
7. ¿Cuál de los casos representa una variable
de tipo continuo?
(a) El número del DNI de cada persona
(b) El número de hermanos que tiene cada
alumno del aula de tercer año.
(c) Tiempo de residencia de una persona en
Lima
(d) Ingreso mensual de cada familia
(e) La estatura de los jugadores de un equipo
8. Para hacer un estudio sobre la migración
hacia Lima por parte de los habitantes del
departamento de Piura, se escogieron las
provincias de Paita, Sullana y Piura.
Identifica la población y muestra respectiva.
9. Completa el cuadro
TIPO DE
VARIABLE
NOMBRE DE LA
VARIABLE DATO
Cualitativa
Color de ojos
peruano
Estado civil
Cuantitativa
Discreta
3 hijos
Edad
Cursos aprobados
Cuantitativa
Continua
75,3 kg
Talla
Precio de la
gasolina
1. Identifica cuáles corresponden a variables
discretas y cuáles a variables continuas.
(a) Número unidades de un artículo en
existencia.
(b) Tonelaje total embarcado.
(c) Asistencia a una reunión anual de una
Compañía.
(d) Edades de los alumnos del curso de
aritmética de tercero.
(e) Volumen en milímetros cúbicos de sangre
de una persona.
2. En un estudio sobre el rendimiento de un
alumno de secundaria en el colegio; se
analizan las notas de los cursos de una
sección de tercero de secundaria.
En éste caso
¿Cuál es la población?
¿Cuál es la muestra?
3. En cada caso, establece una población y una
muestra.
(a) Las notas de los alumnos del tercer año.
(b) El precio de la entrada al estadio.
(c) El estado civil de las personas.
(d) la placa de rodaje de un automóvil.
(e) la maraca registrada por un atleta.
4. Señala las diferencias entre una variable
cuantitativa y una variable cualitativa.
Escribe 3 ejemplos de cada uno.
5. Clasifica cada una de las siguientes
variables de una encuesta aplicada a un
grupo de clientes de una compañía .
 Número de teléfono
 Edad
 Estado civil
 Tipo de vivienda.
 Número de hijos
 Grado de instrucción
 Ingresos mensuales
 Lugar de nacimiento
6. En un estudio acerca del uso del consumo
de la electricidad de una urbanización se
tomó una muestra de 80 viviendas,
registrando el consumo mensual de luz por
vivienda, así como el tipo de tarifa
(residencial, industrial o comercial). El
estudio determinó que el consumo
promedio de luz por vivienda es de 580kw.
Identifica la población, muestra, variables y
tipos de variables.

4. - 4 -
FRECUENCIA ABSOLUTA
ACUMULADA ( F )
Es la suma de las frecuencias absolutas de
los datos inferiores o iguale a dicho dato, es decir
lo que se ha acumulado hasta un momento dado.
EJEMPLO 2
Con los datos obtenidos del ejemplo anterior,
hallaremos ahora la frecuencia absoluta
acumulada.
BAILE
FRECUENCIA
ABSOLUTA
( f )
FRECUENCIA
ABSOLUTA
ACUMULADA
( F )
Marinera
norteña
5 5
Marinera
limeña
2 7
Carnaval
cajamarquino
3 10
Diablada
puneña
4 14
Danza waca
waca
6 20
Carnaval de
Huancapi
3 23
Danza del
chujchu
4 27
El Ticapalla 7 34
N (TOTAL) = 34 alumnos
EJEMPLO 3
¿Cómo se completó la tercera columna?
 Al primer dato de la frecuencia absoluta (5) le
sumamos su segundo dato (2) y así obtuvimos el
segundo resultado de la frecuencia absoluta
acumulada (7). Lo mismo hicimos para calcular
el tercer resultado de la frecuencia absoluta
acumulada (10) que es el resultado de sumar las
frecuencias absolutas primera (5), segunda (2) y
tercera (3).
EJEMPLO 4
¿Qué relación existe entre la frecuencia total N y
el valor de la última fila de la frecuencia
acumulada?
 Al sumar todas las frecuencias absolutas (5+2+3
+4+6+3+4+7), ésta suma corresponde alvalor del
último cuadro de la frecuencia absoluta
acumulada (34) por lo que se deduce que deberán
ser siempre iguales.
FRECUENCIA
Es el número de veces o repeticiones que aparece,
durante el proceso de observación y medición, cada
uno de los datos considerados en una variable.
FRECUENCIA ABSOLUTA ( f )
De lo anterior podemos deducir que Frecuencia
Absoluta (f) es el número de veces que se repite cada
valor.
EJEMPLO 1
En el colegio se está organizando un festival de
danza folklórica, para lo cuál se hará una
presentación de bailes, comidas y artesanía
peruana. A la clase del profesor A. Huiman le
correspondió hacer la presentación de los bailes
típicos, donde todos los alumnos del curso
deberán participar.
Para la organización de los bailes, decidieron
preguntar a los 34 alumnos del curso ¿Qué baile
les gustaría realizar? Se anotaron los siguientes
resultados en la tabla.
BAILE CONTEO
FRECUENCIA
ABSOLUTA
( f )
Marinera norteña IIIII 5
Marinera limeña II 2
Carnaval
cajamarquino
III 3
Diablada puneña IIII 4
Danza waca waca IIIIII 6
Carnaval de
Huancapi
III 3
Danza del chujchu IIII 4
El Ticapalla IIIIIII 7
 la segunda columna (conteo) representa un
alumno del curso.
 Entonces la tercera columna representa la
cantidad total de alumnos en cada tipo de baile,
es decir la frecuencia Absoluta (f).
FRECUENCIA RELATIVA ( h )
Se llama Frecuencia relativa para un dato
cualquiera de la variable, al cociente entre la
frecuencia absoluta (f) y el número de
observaciones realizadas (N).
TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
No hay cosa que los hombres
traten de conservar tanto ni de
administrar tan mal, como su
propia vida
La Bruyere
FRECUENCIAS

5. - 5 -
EJEMPLO 5
Veamos a continuación las tablas respectivas de las frecuencias Relativa y Relativa Acumulada,
Tomando como referencias los datos obtenidos en los ejemplos anteriores.
EJEMPLO 6
¿Cómo interpretamos ahora, la quinta fila?
 Hubieron 6 personas que optaron por la Danza Waca Waca.
 20 personas optaron porlas opciones de marinera norteña, marinera limeña, carnaval cajamarquino,
diablada puneña y la danza waca waca.
 El 0,18 ó 6/34 de las personas que fueron encuestados,eligieron la danza waca Waca.
 El 0,60 de los encuestadosescogieron entre las opciones de marinera norteña, marinera limeña,
carnaval cajamarquino, diablada puneña y la danza waca waca.
BAILE FRECUENCIA
ABSOLUTA
(f)
FRECUENCIA
ABSOLUTA
ACUMULADA
(F)
FRECUENCIA
RELATIVA
(h)
FRECUENCIA
RELATIVA
ACUMULADA
(H)
Marinera
norteña
5 5 5 = 0,15
34
0,15
Marinera limeña 2 7 2 = 0,06
34
0,21
Carnaval
cajamarquino 3 10 3 = 0,09
34
0,30
Diablada
puneña
4 14 4 = 0,12
34
0,42
Danza waca
waca
6 20 6 = 0,18
34
0,60
Carnaval de
Huancapi
3 23 3 = 0,09
34
0,69
Danza del
chujchu
4 27 4 = 0,12
34
0,81
El Ticapalla 7 34 7 = 0,21
34
1,02
N (TOTAL) = 34 alumnos 1,00 APROX. 1,00
FRECUENCIA RELATIVA
ACUMULADA ( H )
Se llama Frecuencia Relativa Acumulada
de un dato cualquiera de la variable, a la suma de las
frecuencias relativas de los datos inferiores o iguales
a dicho dato.

6. - 6 -
1. Coloca en los espacios libres de cada
enunciado alguno de los términos dados a
continuación:
Frecuencia acumulada - marca de clase-
rango de variación de datos - numero de
intervalos - distribución de frecuencias-
ojiva - histograma.
a.- La grafica de frecuencias acumuladas para
datos continuos se llama____________
b.- Utilizando la regla de Sturges podemos
hallar el___________________________
c.- La ________________________de x; se
obtiene de la suma de frecuencias absolutas
menores o iguales a x;
d.- La grafica de barras para datos continuos
se denomina___________________
c.- La ____________________es útil para
construir el polígono de frecuencias.
2. Completa la tabla correspondiente a las
edades de 32 jóvenes excursionistas.
EDAD fi Hi % Fi Hi %
9 12,5
10 16
12 0,75
13 2
15 4
16
Total
3. Del cuadro anterior, responda:
(a) ¿Cuántos jóvenes menores de 13 años
fueron a la excursión?
………………………………………………
………………………………………………
(b) ¿Qué porcentaje de jóvenes son
mayores de 13 años?
………………………………………………
………………………………………………
4. Al finalizar la inauguración de un centro
se consulto a los primeros en retirarse si es
su opinión la organización había sido
buena (B), regular (R) o mala (M),
obteniéndose los siguientes resultados:
B,B,M,R.B.R,R,B,B,R,M,B
Elabora una tabla de frecuencias.
5. Para realizar un estudio sobre el costo de
alquiler se seleccionaron 100 viviendas y se
clasificaron según el valor de alquiler
mensual, en 6 intervalos. A continuación se
muestran las marcas de clase y las
frecuencias absolutas de cada intervalo.
Alquiler ($) Viviendas
225 9
275 14
325 19
375 26
425 15
475 17
Construye la tabla de frecuencia
CONSTRUYENDO
MIS

7. - 7 -
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
6. De un estudio socioeconómico se han
obtenido los siguientes ingresos familiares
(en dólares).
450 360 310 210 100 620 530 260 325
370 420 550 640 795 230 340 380 350
280 430 575 680 240 345 390 450 585
160 460 290
 Construye una tabla de frecuencias de 7
intervalos de amplitudes iguales.
 Calcula el porcentaje de familias cuyos
ingresos sean menores a $ 500.
En una prueba de actitud, 40 personas
obtuvieron las siguientes calificaciones.
71 32 65 48 44 83
68 45 90 38 58 58
51 63 73 66 51 50
60 51 36 56 67 41
44 20 53 76 45 66
1. Construye una tabla de frecuencia de 7
intervalos.
2. Con los datos obtenidos en la pregunta
anterior ¿Qué porcentaje de personas tienen
calificaciones mayores o iguales a 60?
3. La siguiente es la distribución de los pasos
reales de mercancía entregada de una
muestra de estudio.
Completa la distribución de frecuencias
Peso de
Mercancías
(en Kilos)
Frecuencias
Absolutas
Frecuencias
absolutas
acumuladas
 88;89  7
89;90  31
90;91  15
 91;92  3
92;93] 50
4. Se registró el tiempo (en minutos) que
utilizan 30alumnos para ejecutar una
tarea; los resultados fueron:
7:0 9:5 8:5 13:5 12:5 11:2 9:1 11:4 8:4
15:5 14:0 10:5 9:2 13:1 10:2 13:0 11:0
10:1 9:0 16:0 10:4 17:0 12:4 9:1 9:4 7:2
11:2 12:0 14:5 8:3
 Construye una distribución de frecuencias de
6 intervalos de igual amplitud.
 ¿Qué porcentaje de alumnos utiliza menos de
12 minutos para terminar la tarea?
5. En una prueba de actitud, 40 personas
obtuvieron las siguientes calificaciones.
71 32 65 48 44 83
68 45 90 38 58 58
51 63 73 66 51 50
60 51 36 56 67 41
44 20 53 76 45 66
 Construye una tabla de frecuencia de 7
intervalos.
 ¿Qué porcentaje de personas tienen
calificaciones mayores o iguales a 60?
Una empresa mayorista distribuidora de aparatos
eléctricos desea estudiar sus cuantas por cobrar
para dos meses sucesivos. Se seleccionan dos
muestras independientes para 50 cuentas en cada
uno de los meses. Los resultados se resumen en la

8. - 8 -REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DISTRIBUCIONES
RENÉ DESCARTES
Los cobardes mueren
muchas veces, los
valientes solo una
SHAKESPEARE

9. - 9 -
Las tablas de frecuencias de los datos estadísticos
muestran una información ordenada del hecho que
se analiza y estudia. También se pueden
representarlos gráficamente para obtener una
apreciación global, rápida y visual de la
información señalada.
DIAGRAMA DE BARRAS
SEPARADAS
Es aquella representación gráfica que se
usa cuando se tienen muchos datos, pero pocos
valores distintos de la variable.
Se elaboran colocando en el eje de las
abscisas los distintos valores de la variable y sobre
cada una de ellas se levanta una línea perpendicular
(barra), cuya altura es la frecuencia (absoluta o
relativa) de dicho valor.
EJEMPLO 1
El siguiente gráfico representa la información
obtenida en una empresa al preguntarle a 60
empleados el número de hijos de cada uno.
Nº de empleados
33
12
9
6
1 2 3 4 Nº de hijos
Para tener en cuenta:
 Este diagrama no tiene uso si la variable es
continua.
DIAGRAMA CIRCULAR
Empleado para fines comparativos,
cuando se quiere mostrar diversos componentes de
una serie de valores de la variable comparada con
el total.
EJEMPLO 2
El siguiente gráfico representa la información
obtenida en una empresa al preguntarle a 60
empleados el número de hijos de cada uno,
agrupado en porcentajes.
HISTOGRAMA
Es aquella representación gráfica de una
distribución de frecuencias agrupadas en intervalos
de clase, mediante rectángulos contiguos con base
en el eje x, con centros en las marcas de clase y de
longitud igual al tamaño de los intervalos de clase,
las alturas son proporcionales a la frecuencia
(absoluta o relativa) en el eje y.
EJEMPLO 3
El siguiente gráfico representa la información
obtenida en una empresa al preguntarle a 60
empleados su peso en kilogramos.
Nº de empleados
30
15
9
6
Peso de los 60
empleados (kg)
50 60 70 80 90
Para tener en cuenta:
 Este diagrama no tiene uso si la variable es
discreta.
1 hijo
10%
2 hijos 4 hijos
55% 20%
3 hijos
15%
Para tener en cuenta:
 Este diagrama no tiene uso si la variable es
continua.

10. - 10 -
CONSTRUYENDO
MIS
POLIGONOS DE FRECUENCIAS
Resulta al unir los puntos medios de las
bases superiores de cada región en el histograma.
EJEMPLO 4
El siguiente gráfico representa la información
obtenida en una empresa al preguntarle a 60
empleados su peso en kilogramos.
Nº de empleados
30
15
9
6 Peso de
6 los 60
empleados (kg)
50 60 70 80 90
Para tener en cuenta:
 Tanto en el Histograma y en el polígono de
frecuencias es posible obtener la tabla
estadística a la que pertenecen los datos
señalados.
DIAGRAMA ESCALONADO.
Son diagramas de barras o rectángulos,
similares al histograma, cuyas bases representan
los intervalos de clase y las alturas son
proporcionales a las frecuencias absolutas o
relativas acumuladas.
EJEMPLO 5
El siguiente gráfico representa la información
obtenida en una empresa al preguntarle a 60
empleados su peso en kilogramos.
Nº de empleados acumulados
60
45
39
9 Peso de
empleados (kg)
50 60 70 80 90
4. Completa la tabla correspondiente a las
edades de 32 jóvenes excursionistas.
EDAD fi Hi % Fi Hi %
9 12,5
10 16
12 0,75
13 2
15 4
16
Total
Construye una grafica de barras para los datos
obtenidos.
5. Al finalizar la inauguración de un centro
se consulto a los primeros en retirarse si es
su opinión la organización había sido
buena (B), regular (R) o mala (M),
obteniéndose los siguientes resultados:
B,B,M,R.B.R,R,B,B,R,M,B
 Elabora un DIAGRAMA CIRCULAR con los
datos obtenidos en la respectiva tabla de
distribución de frecuencias.

11. - 11 -
Para realizar un estudio sobre el costo de
alquiler se seleccionaron 100 viviendas y se
clasificaron según el valor de alquiler mensual,
en 6 intervalos. A continuación se muestran las
marcas de clase y las frecuencias absolutas de
cada intervalo.
Alquiler ($) Viviendas
225 9
275 14
325 19
375 26
425 15
475 17
3. Con la tabla de distribución de frecuencias
construida en el capítulo anterior dibuja el
HISTOGRAMA .
4. Dibuja el POLÍGONO DE
FRECUENCIAS respectivo.
De un estudio socioeconómico se han
obtenido los siguientes ingresos familiares
(en dólares).
450 360 310 210 100 620 530 260 325
370 420 550 640 795 230 340 380 350
280 430 575 680 240 345 390 450 585
160 460 290
5. Con la tabla de frecuencias de 7 intervalos
de amplitudes iguales construido en el
capítulo anterior, grafica el polígono de
frecuencias.
6. Interpreta la gráfica dibujada en la
pregunta 5
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………...

12. - 12 -
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
En una prueba de actitud, 40 personas
obtuvieron las siguientes calificaciones.
71 32 65 48 44 83
68 45 90 38 58 58
51 63 73 66 51 50
60 51 36 56 67 41
44 20 53 76 45 66
1. Grafica el histograma (toma los datos de la
tabla de la distribución de frecuencias de la
tarea anterior)
2. Grafica la representación por barras de
frecuencias (toma los datos de la tabla de la
distribución de frecuencias de la tarea
anterior)
3. La siguiente es la distribución de los pasos
reales de mercancía entregada de una muestra
de estudio.
Grafica la ojiva de porcentajes (toma los datos de
la tabla de la distribución de frecuencias de la
tarea anterior)
Peso de
Mercancías
(en Kilos)
Frecuencias
Absolutas
Frecuencias
absolutas
acumuladas
 88;89  7
89;90  31
90;91  15
 91;92  3
92;93] 50
4. Se registró el tiempo (en minutos) que
utilizan 30alumnos para ejecutar una tarea; los
resultados fueron:
7:0 9:5 8:5 13:5 12:5 11:2 9:1 11:4 8:4 15:5
14:0 10:5 9:2 13:1 10:2 13:0 11:0 10:1 9:0
16:0 10:4 17:0 12:4 9:1 9:4 7:2 11:2 12:0
14:5 8:3
Grafica el polígono de frecuencias (toma los
datos de la tabla de la distribución de
frecuencias de la tarea anterior)
5. En una prueba de actitud, 40 personas
obtuvieron las siguientes calificaciones.
71 32 65 48 44 83
68 45 90 38 58 58
51 63 73 66 51 50
60 51 36 56 67 41
44 20 53 76 45 66
Grafica el histograma (toma los datos de la tabla
de la distribución de frecuencias de la tarea
anterior)
Una empresa mayorista distribuidora de
aparatos eléctricos desea estudiar sus cuantas
por cobrar para dos meses sucesivos. Se
seleccionan dos muestras independientes para
50 cuentas en cada uno de los meses. Los
resultados se resumen en la siguiente tabla:
Monto de las
cuentas en
soles
Cuentas
por cobrar
en marzo
Cuentas
por cobrar
en abril
 1 000 ; 2 000  6 10
 2 000; 3 000  13 14
 3 000; 4 000  17 13
 4 000; 5 000  10 9
 5 000; 6 000  3 1
 6 000; 7 000 ] 1 3
6. Grafica la ojiva de porcentajes (toma los datos
de la tabla de la distribución de frecuencias de
la tarea anterior)
7. Grafica mediante barras de frecuencias
absolutas acumuladas (toma los datos de la tabla
de la distribución de frecuencias de la tarea
anterior)
Los consumos de Agua (en metros cúbicos) de
30 viviendas en el mes de marzo fueron:
4,3 7,8 6,1 15,7 12,8 17,2 3,5 16,1 12,4
6,9 18,0 11,5 13,4 6,5 14,3 8,7 13,0 9,2
12,8 3,0 4,2 11,2 16,2 7,0 4,5 7,8 15,9
16,5 8,4 5,9
8. Grafica el histograma (toma los datos de la
tabla de la distribución de frecuencias de la
tarea anterior)
9. Grafica el polígono de frecuencias (toma los
datos de la tabla de la distribución de
frecuencias de la tarea anterior)
10. Se tienen pocos datos sobre las notas de 100
alumnos en el curso de lenguaje.
Intervalo mi fi Fi hi Hi
0,10
6 0,25
0,45
14 0,90
100
Grafica el histograma de frecuencias relativas, el
polígono de frecuencias y la ojiva (toma los datos
de la tabla de la distribución de frecuencias de
la tarea anterior)

13. - 13 -
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Son aquellos valores a los cuales convergen los
demás valores de la variable. Estudiaremos la
media, la mediana y la moda.
MEDIA ARITMÉTICA ( X )
Está dada por los suma de todos los datos
de la población dividida entre el número total de
ellos.
EJEMPLO 1
Citaremos algunos ejemplos de medias o
promedios aritméticos.
(a) El salario promedio de un obrero.
(b) El precio medio o promedio de un pantalón.
(c) El rendimiento promedio de un trabajador.
(d) la temperatura media promedio durante la
semana.
(e) El promedio de goles por partido de un
delantero de fútbol.
(f) la nota final anual obtenida en el curso de
aritmética por un alumno.
La media aritmética se usa para datos no tabulados
y datos tabulados.
 PARA DATOS NO TABULADOS
Dado un conjunto N de números
EJEMPLO 2
Un estudiante gasta diariamente en movilidad
3; 2; 5; 4; 6 y 3 nuevos soles. Su promedio de
gastos en movilidad será.
__ _
X = 3 + 2 + 5 + 4 + 6 + 3 = 23 = 3,83
6 6
 PARA DATOS TABULADOS O
AGRUPADOS
Sean x1; x2; x3;...; xk las marcas de clase de los k
intervalos de una distribución respectivamente y
además f1; f2; f3;...; fk son las frecuencias absolutas
de los N intervalos respectivamente. Tenemos:
EJEMPLO 3
En la siguiente tabla correspondiente al ingreso
mensual promedio (en soles) de cierto número de
familias.
Ii xi fi hi
 300; 500>
 500; 700>
 700; 900>
 900; 1100>
400
600
800
1000
40
36
14
10
40%
36%
14%
10%
n = 100
_
X = 400x40 + 600x36 + 800x14 + 1000x10
100
_
X = 4(40) + 6(36) + 8(14) + 10(10)
_
X = 160 + 216 + 112 + 100
_
X = 588
 Para tener en cuenta:
La media también llamada media aritmética o
promedio aritmético, es el más usado por todos
nosotros y el más fácil de calcular
MEDIANA ( Me )
Es el valor que divide al totalde observaciones
(n) debidamente ordenadas o tabuladas en 2 partes de
igual tamaño. La mediana dependerá de la cantidad de
datos mas no de los valores de estos.
 PARA DATOS NO TABULADOS
Cuando se obtengan datos obtenidos de una muestra se
tendrán 2 casos.
En primer lugar, tendremos que ordenarlos en forma
ascendente o descendente.
Tenemos los siguientes casos:
1. Cuando se tiene un número impar de datos.
La mediana será igual al valor del término central.
EJEMPLO 3
Si se tiene el número de hijos de 7 familias las cuales
son 5; 1; 6; 1; 2; 1 y 4
Ordenando: 1; 1; 1; ; 4, 5; 6
Notamos que el dato central es 2, por lo que diremos
que el cuarto dato es la llamada mediana, entonces Me
= 2
2
21+25

14. - 14 -
CONSTRUYENDO
MIS
2. Cuando se tiene un número par de datos
La mediana es igual a la semisuma de los dos
términos centrales.
EJEMPLO 4
Se tiene la cantidad de alumnos que asistieron a
un aula de clases en los últimos 6 días: 26; 20;
21; 30; 25 y 21.
Ordenando: 20; 21; ; 29, 30
Entonces: Me = 21 + 25 = 23
2
 PARA DATOS TABULADOS O
AGRUPADOS
Cuando se tengan datos, los cuales están
clasificados por una cantidad de intervalos,
tendremos que hallar el dato que hace dividir en
dos partes de igual tamaño a la muestra.
Luego se utiliza la siguiente fórmula:
n _ Fi - 1
Me = Li + 2 . A
fi
Donde:
 n : Número de datos.
 Li : Límite del intervalo de la mediana
 Fi – 1 : Frecuencia acumulada absoluta del
intervalo inmediatamente anterior al
intervalo de la mediana.
 fi : Frecuencia absoluta del intervalo de la
mediana.
 A : Amplitud del intervalo de la mediana.
EJEMPLO 5
En la siguiente tabla correspondiente al ingreso
mensual promedio (en soles) de cierto número
de familias.
Ii fi Fi hi
 300; 500> 40 40 40%
 500; 700> 36 76 36%
 700; 900>
 900; 1100>
14
10
90
100
14%
10%
n = 100
 Como: n = 100 / 2 = 50
 Por lo tanto I2 es el intervalo que contiene a la
mediana.
 Identificando valores:
L2 = 500
F1 = 40
f2 = 36
A = 500 – 700 = 200
 En la fórmula
Me = 500 + 50 - 40 .200
36
Me = 500 + 55,6
Me = 555,6
 Entonces la mediana es 555,6
MODA ( Mo )
Es el valor o clase que tiene la mayor
frecuencia en un conjunto de datos.
 PARA DATOS NO TABULADOS
La moda será el dato que se repite más (con mayor
frecuencia)
EJEMPLO 6
Se tienen las edades de 9 personas: 17; 18: 16;
15; 18; 16; 18; 15 y 17. ¿Cuál será su moda?
 La edad que más se repite es 18,
entonces: Mo = 18
EJEMPLO 7
Se tienen las notas del curso de aritmética, de 10
alumnos de un cierto colegio, las cuales son 17;
11; 12; 12; 16; 12; 13 16; 15 y 16. ¿Cuál será su
moda?
 Las notas que más se repiten son 12 (con una
frecuencia igual a 3) y 16 (con una frecuencia
igual a 3).
 En este caso la distribución es bimodal, porque
existen dos modas que son 12 y 16.

15. - 15 -
 PARA DATOS TABULADOS O
AGRUPADOS
Cuando se tengan datos clasificados en una cierta
cantidad de intervalos, para poder hallar la moda será
necesario construir un Histograma de la distribución
e identificar la clase modal (aquella clase con mayor
altura). Tenga en cuenta que la distribución puede ser
multimodal.
Luego se utilizará la siguiente fórmula:
d1
Mo = Li + . A
d1 + d2
Donde:
 Li es el límite inferior del intervalo modal
 d1 = fi - fi - 1
 d2 = fi - fi + 1
 A es la amplitud del intervalo modal
EJEMPLO 8
En la siguiente tabla correspondiente al ingreso
mensual promedio (en soles) de cierto número de
familias. Hallar la moda.
Ii xi fi hi
 300; 500>
 500; 700>
 700; 900>
 900; 1100>
400
600
800
1000
40
36
14
10
40%
36%
14%
10%
n = 100
 Construyamos el Histograma de fi de la tabla
fi (cantidad de familias)
40
36
14
10 ingreso en S/.
300 500 700 900 1100
 Para nuestro problema:
 d1 = 40 - 0 = 40
 d2 = 40 - 36 = 4
40
 Mo = 300 + . 200 = 481, 82
40 + 4
En estudio de edades de estudiantes de derecho
se obtuvieron los siguientes datos:
16; 17; 18; 20; 16; 17; 18: 17; 17; 19; 17;
18: 17; 19; 17; 18; 16; 19; 16; 20; 17; 18;
16; 17; 19; 17;
Determina:
1. El promedio aritmético de los valores
observados.
2. La media ponderada de las edades.

16. - 16 -
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
3. La mediana
4. La moda correspondientes a los datos.
Se clasificaron los sueldos de los obreros de dos
empresas, obteniéndose los siguientes
resultados:
Empresa A
Sueldos ( s/.)
Nº Obreros
fi Fi
 140; 160  20 20
 160; 180  30 50
 180; 200  20 70
 200; 220 ] 10 80
Empresa B
Sueldos ( s/.)
Nº Obreros
fi Fi
 135; 145  20 20
 145; 155  30 50
 155; 165  20 70
 165; 185 ] 10 80
Si los obreros de la empresa A reciben
posteriormente un aumento del 20 % ,más una
bonificación de 18 soles sobre sus haberes, y los
obreros de la empresa B un aumento del 30 %,
más una bonificación de 22 soles sobre sus
sueldos, responde:
5. ¿En cuál empresa los obreros están mejor
considerados, desde el punto de vista de sus
salarios?
6. Calcula la mediana de los sueldos de los
obreros de las dos empresas

17. - 17 -
Una empresa paga sueldos que varían de $ 300
a $ 800 mensuales a sus 100 trabajadores,
distribuidos en cinco intervalos de igual
amplitud con frecuencias relativas de 0,10;0,15;
0,30; 0,25; y 0,20 respectivamente
1. ¿Cuánto vale la media de los sueldos?
2. ¿Cuánto vale la mediana de los sueldos?
3. ¿Cuánto vale la moda de los sueldos?
4. ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen sueldos
de al menos 600 soles?
Los siguientes datos proporcionan las
remuneraciones mensuales (en dólares) de 50
obreros:
73 47 67 82 67 70 60 67 61 80
65 70 57 85 59 70 57 79 77 58
69 58 76 67 52 68 69 66 72 86
76 79 77 88 94 67 77 54 93 56
73 64 70 46 68 63 72 84 63 74
5. Construye un cuadro de distribución de
frecuencias.
6. Calcula la media aritmética
7. Calcula la mediana
8. Calcula la moda.
9. El gerente de una empresa de confecciones
toma una muestra de 5 sueldos de sus
trabajadores y afirma que el promedio de sus
trabajadores es de S/ 1 500 soles mensuales, que
la mediana es de S/ 1 200 soles y que la moda es
de S/ 2 000 soles.¿ Es posible que la afirmación
del gerente sea verdadera? justifica tu respuesta
10. En un informe (que se supone correcto)
sobre sueldos en todo el país, el INEI publica la
siguiente tabla
Clase A Clase B
% Población 20 % 30%
Media de
sueldos
S/ 2 500 S/ 1 500
Y concluye diciendo que “el sueldo promedio en
todo el país es S/ 1500”.
 ¿Qué comentario te merece el informe? si fuese
cierto la conclusión
 ¿Qué datos faltarían en el informe para una
clase C adicional?
El promedio anual de peleas
ganadas por un boxeador es de 12
en el 2004, 10 en el 2005, 14 en el
2006.
¿Cuánto es su promedio en los
últimos 3 años?
Nunca olvides que el
sendero de la virtud es
difícil de seguir, pero
una vez vencido
honrosamente, tiene
por meta la
inmortalidad.
NAPOLEÓN

18. - 18 -

19. - 19 -

20. - 20 -