1. Música Funcional para estudiar

2. Problema
1. Dado el punto 𝑃0 1; 6; −2 , hallar todos los
puntos 𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 tales que 𝑃0 𝑃 sea perpendicular
al vector 𝑛 = 6; 2; 3
2. Dado el punto 𝑃0 1; 6; −2 , hallar todos los
puntos 𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 tales que 𝑃0 𝑃 sea
perpendicular al vector 𝑛 = 6; 2; 0

3. Ecuación del plano que pasa por un punto y es
perpendicular a la dirección de un vector
Datos:
𝑃0 𝑥0; 𝑦0; 𝑧0 ∈ 𝜋
𝑛 = 𝐴; 𝐵; 𝐶 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎 𝜋

n
0P
P
Incógnita: Ecuación General o Implícita de 𝜋
Solución: Sea 𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝜖 𝜋 cualquiera. Entonces:
𝑃0 𝑃 ∙ 𝑛 = Ecuación vectorial del plano
Si en ella reemplazamos los vectores por sus coordenadas y resolvemos el
producto escalar obtenemos la Ecuación Implícita o General del Plano

4. Ecuación del plano en ℝ3
Ecuación lineal de a lo sumo tres variables en ℝ3
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
Ecuación Implícita o General del plano
Si 𝐷 = 0 se trata de una ecuación ⋯ ⋯ ⋯ y por
lo tanto el plano pasa por ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

5. Ecuación del plano en ℝ3
- Ejercicio
Obtener una ecuación del plano que pasa por el
punto 𝐴 2; 3; 1 y es perpendicular al vector
𝑣 = (3; 5; 2)

6. Plano - Ejercicio
Analizar la intersección con los ejes y los planos
coordenados del plano 𝜋: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 .
Graficar.
Si 𝐷 = 0 se trata de una ecuación homogénea
por lo tanto el plano pasa por el origen de
coordenadas.

7. Graficamos el plano 𝜋: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0

8. Actividad
A) Pasa por un punto y es paralelo a dos
vectores no paralelos entre sí.
𝒗
𝑷 𝟎
𝑷
𝒖

9. B) Pasa por tres puntos no alineados

0P 1P
2P

10. Plano - Ejercicios
1) Encontrar una ecuación del plano que pasa
por el punto 𝑃0 3; 7; 6 y es paralelo a los
vectores 𝑎 = 5; 2; 2 y 𝑏 = 2; 1; 0
2) Encontrar una ecuación del plano que pasa
por los puntos 𝑃0 1; 1; 1 , 𝑃1 2; 3; 4 y
𝑃2 5; 2; 6