Teoría

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La recta
Función lineal
En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es
decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir
como: 𝑓( 𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Línea recta:
En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo
tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir
como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.
Forma estándar de la recta
Viene dada en la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Forma Punto-Pendiente
Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las
coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como
( 𝑦 − 𝑦0) = 𝑚( 𝑥 − 𝑥0) .
En ésta ecuación, 𝑚 es la pendiente y ( 𝑥 − 𝑥0) son las coordenadas del punto.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Se denota con la letra m.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

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Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de
abscisas.
La pendiente viene dada por:
a) Dado dos puntos:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
b) Dado el ángulo:
𝑚 = tan 𝛼
c) Dada la ecuación de la recta
𝑚 = −
𝐴
𝐵
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente 𝑚, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, 𝑏), podemos deducir,
partiendo de la ecuación general de la recta, ( 𝑦 − 𝑦0) = 𝑚( 𝑥 − 𝑥0)
( 𝑦 − 𝑏) = 𝑚( 𝑥 − 0)
𝑦 − 𝑏 = 𝑚𝑥
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Esta es otra forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen,
que llamaremos b.

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Ecuación de una función: se llama ecuación de una función a la relación que indica las operaciones que hay que
hacer con la variable independiente x (dominio) para obtener la variable dependiente y (recorrido)
Pasos para graficar una recta
Como por dos puntos pasa una y solo una recta, entonces simplemente damos 2 valores a la variable x para así
obtener 2 valores de la variable y (también se le puede dar más valores). A este proceso sencillo se le llama
tabulación.
x y
Una opción, muy común, es darle el valor 0 a x para así obtener un valor de y, y luego darle el valor 0 a y para
así obtener un valor de x.
x y
0
0
En este caso estamos obteniendo los puntos donde la recta interseca a los ejes cartesianos
El par de coordenadas obtenido se representa en el plano cartesiano y luego se unen.
Tipos de rectas
Según su dirección una recta puede ser horizontal, vertical o inclinada.
Según su posición relativa, dos rectas pueden ser paralelas si no se cortan o secantes si se cortan. Un caso
especial de las rectas secantes son las rectas perpendiculares que se cortan formando ángulos de 90º.
Ecuaciones de rectas horizontales y verticales solamente tienen una variable
La recta horizontal es una recta paralela al plano horizontal y se caracteriza por que su pendiente es cero.
Las rectas horizontales que pasan por el punto (𝑎, 𝑏) es 𝑦 = 𝑏; tienen pendiente igual a cero.
La pendiente de una recta vertical no está definida, o se dice que es infinita.
Las rectas verticales que pasan por el punto (𝑎, 𝑏) es 𝑥 = 𝑎; tienen pendiente indefinida

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Distancia entre un punto y una recta
La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de la l recta
Sea 𝑃( 𝑥0,𝑦0) el punto y 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 la recta en forma general.
𝑑( 𝑃, 𝑟) =
| 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
Se debe tener en cuenta que para aplicar esta fórmula es necesario que la ecuación de la recta esté en su forma
general, por lo que si no es así, el paso previo a aplicar la fórmula es convertir la ecuación de la recta a su forma
general.
Distancia entre dos rectas paralelas
Como consecuencia del cálculo de un punto a una recta, podemos calcular la distancia entre dos rectas paralelas.
Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, sólo tenemos que tomar un punto cualquiera de una de las
rectas y calcular la distancia a la otra recta.

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Para calcular la distancia entre estas dos rectas, vamos a obtener un punto de la primera recta (recta r) y después
calcularemos la distancia de ese punto a la otra recta (recta s), o también al contrario
Rectas paralelas
Son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan
ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus
prolongaciones.
Rectas perpendiculares
Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la
otra.
Función lineal
Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es del tipo 𝑦 = 𝑚𝑥, siendo m un número cualquiera
distinto de 0.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0).
El número 𝑚 se llama pendiente.
La función es creciente si 𝑚 > 0 y decreciente si 𝑚 < 0.
Función afín
Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, siendo 𝑚 𝑦 𝑛 números
distintos de 0.
Su gráfica es una línea recta.
El número 𝑚 es la pendiente.
El número 𝑛 es la ordenada en el origen. La recta corta al eje 𝑌 en el punto (0, 𝑛).
𝑚 𝑠. 𝑚 𝑟 = −1 𝑜 𝑚 𝑠 = −
1
𝑚 𝑟

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Ejercicios
1. Determine cada ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados:
𝑎) 𝑃(3,2) 𝑦 𝑄(2,4) 𝑏) 𝑃(−3,4) 𝑦 𝑄(5. −8) 𝑐) 𝑃(−1,4) 𝑦 𝑄(−3,5)
2. Identifique la pendiente y el punto de corte con la ordenada en cada recta dada:
𝑎) 3𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0 𝑏) − 6𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0 𝑐) 5𝑥 − 8𝑦 + 20 = 0
3. En cada caso encuentre la ecuación de una recta paralela a la dada y que pase por el punto indicado:
𝑎) 4𝑥 + 2𝑦 − 20 = 0 𝑃(3,2)
𝑏) − 5𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 𝑃(−4,5)
𝑐) 10𝑥 + 5𝑦 − 30 = 0 𝑃(2,7)
𝑑) 𝑥 + 3𝑦 = 1 𝑃 (−
3
4
, −
1
2
)
𝑒) − 10𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 𝑃(−1,2)
𝑓) 2𝑥 + 3𝑦 = 5 𝑃(4,−3)
𝑔) − 6𝑥 − 2𝑦 + 19 = 0 𝑃(3,−2)
4) Sean f y g funciones lineales paralelas; 𝑠𝑖 𝑓(2) = −7 , 𝑓(5) = −1 𝑦 𝑔(3) = 13, Hallar la ecuación que
define a la función 𝑔.
5) Sean f y g funciones lineales paralelas con 𝑓(3) = −1 , 𝑓(−1) = 3 𝑦 𝑔(1) = 5, Hallar la ecuación que
define a la función 𝑔.
6) Si las funciones 𝑓(𝑥) = (7 − 2𝑘)𝑥 + 𝑘𝑥 + 5 𝑦 𝑔(𝑥) = 3 − (4𝑘 − 1)𝑥, representan rectas paralelas.
Hallar el valor de 𝑘.
7) Si las funciones 𝑓(𝑥) = (4 − 𝑘)𝑥 + 3 𝑦 𝑔(𝑥) = (2𝑘 + 1)𝑥 + 5 representan rectas paralelas, entonces
encuentre el valor de 𝑘.
8) Si la función 𝑓( 𝑥) = (𝑘 −
2
3
) 𝑥 + 2 es paralela con la función 𝑔( 𝑥) = (
1
3
+ 2𝑘) 𝑥 − 1 . Encontrar el valor
de 𝑘.
9) Hallar el valor de 𝑘 para que el par de ecuaciones representen rectas paralelas.
𝑎) 6𝑥 − 𝑘𝑦 − 1 = 0 ; 3𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
𝑏) 2𝑥 − ( 𝑘 − 1) 𝑦 − 1 = 0 ; 5𝑥 + (1 − 𝑘)𝑦 + 2 = 0
𝑐) (1 − 𝑘) 𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0 ; (𝑘 − 2)𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

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d) (2 − 𝑘) 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ; (1 − 2𝑘)𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
10) Hallar el criterio de las funciones lineales paralelas f,g y h representadas en las siguientes graficas.
11) De acuerdo a la figura adjunta hallar el criterio de la función en cada caso:

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12. En cada caso encuentre la ecuación de una recta perpendicular a la dada y que pase por el punto indicado:
𝑎) 6𝑥 + 3𝑦 − 180 = 0 𝑃(−4.2)
𝑏) − 3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 𝑃(5,−2)
𝑐) 12𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0 𝑃(4,3)
𝑑) − 4𝑥 + 7𝑦 − 3 = 0 𝑃 (−
2
5
,
3
7
)
13) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1, −2) y que es perpendicular a la recta que pasa por
(−3, −1) 𝑦 (2,−3).
14) Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto (-3,-5) y la ecuación de una de ellas es
𝑦 = −
2
3
𝑥 + 5. Hallar la ecuación de la otra recta.
15) Sean 𝐿1 y 𝐿2 rectas perpendiculares cuyas ecuaciones son 𝐿1 ∶ y = kx – 2x + 1,
L2 ∶ y = kx + 7. Determinar el valor de k.
16) Las ecuaciones de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son: 𝐿1 ∶ y = kx + x – 1 y 𝐿2 ∶ y = 3x – 5.
Si 𝐿1 ⊥ 𝐿2,hallar el valor de k.
17) Determine el valor de k para que las rectas 𝐿1 𝑦 𝐿2 sean perpendiculares, 𝐿1 : 𝑦 = 𝑥 – 5 𝑦
𝐿2: 𝑦 = 2𝑘𝑥 + 5𝑥 + √2.
18) Encontrar el valor de k para que el par de ecuaciones representen rectas perpendiculares.
𝑎) 2𝑥 − (1 − 𝑘) 𝑦 − 3 = 0; 3𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0
𝑏) 5𝑥 − 𝑦 + 3 = 0; 𝑥 + (2𝑘 − 3)𝑦 + 10 = 0
𝑐) (1 − 3𝑘) 𝑦 + 𝑥 − 7 = 0; 7𝑥 − (3 + 𝑘)𝑦 − 3 = 0
19. Hallar el criterio de las funciones lineales perpendiculares 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ representadas en las siguientes gráficas.

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