SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 26
Descargar para leer sin conexión
CAPITULO I: RECTA
1. Recta
Es la representación geométrica de los números reales.
2. Sistema Coordenado Lineal
A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales
se denomina sistema coordenado lineal.
De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los
números 0; 1; 2 y x respectivamente.
3. Distancia entre dos puntos de una recta
𝑃𝑄
̅̅̅̅ = |𝑥2 − 𝑥1| = |𝑥1 − 𝑥2|
4. Punto medio
𝑥 =
1
2
(𝑥1 + 𝑥2)
5. Sistema de coordenadas rectangulares: Cartesianas o Sistema XY
Es aquel que está formado por dos rectas que se cortan perpendicularmente (una
horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que
contiene infinitos puntos.
Al plano formado por dichos ejes se llama plano cartesiano.
Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados cuadrantes.
𝑥: eje de las abscisas
𝑦: eje de las ordenadas
6. Coordenadas de un punto
EL conjunto de todos los pares ordenados (x, y) se llama plano numérico y se
denota con 𝑅2
, así:
𝑅2
= {(𝑥, 𝑦) ∕ 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅}
𝑥1: es la abscisa del punto P.
𝑦1: es la ordenada del punto P.
7. Distancia entre dos puntos
𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑃2𝑃1
̅̅̅̅̅̅ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
Observación:
Cuando uses la fórmula de la distancia recuerda que:
𝑑(𝑃1; 𝑃2) = 𝑑(𝑃2; 𝑃1) y, por lo tanto, no importa el orden en que se resten las
abscisas y las ordenadas de los puntos.
8. Coordenadas del Punto Medio
Sean: 𝑃(𝑥𝑚; 𝑦𝑚) las coordenadas del punto medio-
𝑥𝑚 =
𝑥1 + 𝑥2
2
𝑦𝑚 =
𝑦1 + 𝑦2
2
9. Pendiente de un Segmento:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
10. Pendiente o Coeficiente Angular de una Recta:
𝑚 = 𝑇𝑔𝛼
𝛼: ∢ 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛
11. Angulo entre dos Rectas:
Donde:
𝑚1: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐿1
𝑚2: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐿2
En el gráfico observamos que el lado final de 𝛼 es 𝐿1 y el lado inicial es 𝐿2.
Entonces:
𝑇𝑔𝛼 =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1𝑚2
Observación:
a) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 > 0 ⇒ 𝛼: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐿2 𝑦 𝐿1
b) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 < 0 ⇒ 𝛼: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐿1 𝑦 𝐿2
c) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 > ±∞ ⇒ 𝛼 = ±90°, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 (𝐿1 ⊥ 𝐿2)
d) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 = 0 ⇒ 𝛼 = 0°, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 (𝐿1 ∥ 𝐿2)
e) La condición necesaria para que dos vectores sean perpendiculares entre sí es
que el producto de sus pendientes sea igual a menos uno (-1)
𝑇𝑔𝛼 =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1𝑚2
𝑇𝑔(90°) =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1𝑚2
⇒ 𝑚1𝑚2 = −1
12. División de un segmento en una razón dada
Si: : 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2;𝑦2) son los extremos de 𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅, las coordenadas del punto
𝑃(𝑥, 𝑦) que divide a este segmento en una razón “r”
𝑟 =
𝑃1𝑃
𝑃𝑃2
; son:
𝑥 =
𝑥1 + 𝑟. 𝑥2
𝑟 + 1
𝑦 =
𝑦1 + 𝑟. 𝑦2
𝑟 + 1
Propiedades:
Si tenemos:
𝑚1 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿1 𝑦
𝑚2 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿2
a) 𝐿1 ∥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1 = 𝑚2
b) 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1. 𝑚2 = −1
13. Ecuación de una recta:
1er CASO:
Datos: Pendiente (m) y un punto de la recta 𝑃1(𝑥1; 𝑦1)
(𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
2do CASO:
Datos: Dos puntos de la recta 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2; 𝑦2)
(𝑦 − 𝑦1) =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
3er CASO:
Datos: Los puntos de intersección con los ejes:
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
Ecuación simetrica de la recta
Donde: 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0
4to CASO:
Datos: Pendiente (m) y la intersección on el eje 𝑦(0, 𝑏)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
14. Ecuación general:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑚 = −
𝐴
𝐵
Observaciones
a) 𝑆𝑖 𝑚 > 0
b) 𝑆𝑖 𝑚 < 0
c) 𝑆𝑖 𝐿 ∥ 𝑥 ⟹ 𝑚 = 0
d) 𝑆𝑖 𝐿 ∥ 𝑦 ⟹ 𝑚 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
15. Forma Normal de la Ecuación de una Recta
𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝑦. 𝑆𝑒𝑛𝜃 − 𝑝 = 0
Donde:
* p: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo9
* 𝑂𝑃1
̅̅̅̅̅ ⊥ 𝐿 (𝑂𝑃1
̅̅̅̅̅: 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙)
* 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°
16. Distancia de un Punto a una Recta
* 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐿: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
* 𝑃1(𝑥1;𝑦1)
Distancia del punto P a L
𝑑 =
|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
* Distancia Dirigida del Punto a una Recta
𝑑 =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
Caso I
Caso II
17. Distancia entre dos rectas paralelas
Dadas las rectas
𝐿1:𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0
𝐿2: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0
𝑑 =
|𝐶1 − 𝐶2|
√𝐴2 + 𝐵2
18. La Bisectriz de un Ángulo
Las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por las rectas que se
intersectan
𝐿1:𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0
𝐿2: 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0
Tiene por ecuaciones
|𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1|
√𝐴1
2
+ 𝐵1
2
=
|𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2|
√𝐴2
2
+ 𝐵2
2
* 𝐿: 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
* 𝐿´: 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
* 𝑃: 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿1 𝑦 𝐿2 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 |𝑑1| = |𝑑2|
* 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐿´: 𝑑1 = 𝑑2
* 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐿: 𝑑1 = −𝑑2
19. Coordenadas del Baricentro de un Triángulo
Si: 𝐺 = (𝑥; 𝑦), es la posición del baricentro de un triángulo ABC, tal que:
𝐴 = (𝑥1; 𝑦1)
𝐵 = (𝑥2; 𝑦2)
𝐶 = (𝑥3; 𝑦3)
Entonces:
Se cumple:
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
3
𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
3
20. Área de una Región Triangular
Si tenemos:
𝐴 = (𝑥1; 𝑦1); 𝐵 = (𝑥2; 𝑦2); 𝐶 = (𝑥3;𝑦3)
Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:
𝑆 =
1
2
|
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
|
Método práctico para determinar el área de una región triangular.
Si tenemos:
Entonces el Área: 𝑆 =
1
2
|𝑀 − 𝑁|
Sabiendo que:
21. Área de una región poligonal
Sean 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑛, un polígono cuyos vértices, nombrados en sentido
antihorario tienen coordenadas:
𝐴1(𝑥1;𝑦1), 𝐴2(𝑥2;𝑦2), 𝐴3(𝑥3;𝑦3), … 𝐴𝑛(𝑥𝑛;𝑦𝑛),
Luego el área del polígono:
: 𝑆 =
1
2
|𝐴 − 𝐵|
CAPÍTULO II
CIRCUNFERENCIA
1. Circunferencia:
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano, que se mueve a una distancia
constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro)
Si tenemos:
Donde:
{
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑟: 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜
𝐴𝐵
̅̅̅̅: 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝑟
𝐸𝐹
̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
𝐿𝑁: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝐿𝑇: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
Formas de la circunferencia
2. Forma Ordinaria
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
3. Forma Canónica (Ecuación cuando el centro está en el origen)
De la definición:
𝒞: {𝑃(𝑥; 𝑦)/𝑑(𝑃, 𝑂) = 𝑟}
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
4. Circunferencia Tangente al eje “X”
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑘2
Donde: 𝑟 = |𝑘|
5. Circunferencia Tangente al eje “Y”
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= ℎ2
Donde: 𝑟 = |ℎ|
6. Forma General
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Completando cuadrados
(𝑥 +
𝐴
2
)
2
+ (𝑥 +
𝐵
2
)
2
=
𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶
4
De aquí se tiene tres casos:
1er Caso:
Si 𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶 > 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐶 = (−
𝐴
2
, −
𝐵
2
) y
𝑟 =
1
2
√𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶
2do Caso:
Si 𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶 = 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐶 = (−
𝐴
2
, −
𝐵
2
)
(Representa un solo punto)
3er Caso:
Si 𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶 < 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
(La ecuación representa a una circunferencia imaginaria)
7. Ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos
𝑃1(𝑥1; 𝑦1), 𝑃2(𝑥2;𝑦2) 𝑦 𝑃3(𝑥3;𝑦3), está dado por e determinante:
|
|
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥 𝑦
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥1 𝑦1
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥2 𝑦2
1
1
1
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥3 𝑦3 1
|
| = 0
El cual permite determinar las incógnitas: A, B, C de la ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
8. Familia de Circunferencias que pasan por la Intersección de las
circunferencias
Si tenemos dos circunferencias:
{
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0
Luego la familia de circunferencias que pasan por la intersección de estas dos
circunferencias esta expresado por:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + 𝑘(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2) = 0
Donde 𝑘 ∈ ℝ
También se puede expresar de la forma:
(1 + 𝑘)𝑥2
+ (1 + 𝑘)𝑦2
+ (𝐴1 + 𝑘𝐴2)𝑥 + (𝐵1 + 𝑘𝐵2)𝑦 + 𝐶1 + 𝑘𝐶2 = 0
Si 𝑘 = −1; se obtiene una recta L llamado eje radical
9. Tangente de la circunferencia
* Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada en un
punto dado de contacto se toma la recta.
⟹ 𝐿: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
*Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada,
conociendo su pendiente m se toma la recta:
⟹ 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘
En cada caso se aplica la condición de tangencia es decir que al reemplazar la
recta tangente en la ecuación de la circunferencia al despejar x ó y el
discriminante se iguala a cero.
CAPITULO III
PARABOLA
1. Parábola
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano, que se mueve a una distancia
que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (foco) que no
pertenece a la recta fija
Si tenemos:
Donde:
{
𝐹: 𝐹𝑜𝑐𝑜 (𝑃𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜)
𝑉: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑃𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)
𝐿1: 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 (⊥ 𝑎 𝐿)
𝐶𝐷
̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑 𝐹𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐴𝐵
̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜 ⊥ 𝐿1
|𝑉𝐹
̅̅̅̅| = 𝑃: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
|𝑉𝐹
̅̅̅̅| = |𝑉𝐿
̅̅̅̅|
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝑃(𝑉𝐹
̅̅̅̅ = 𝑉𝐿
̅̅̅̅)
Formas de la Parábola
2. Parábola de Vértice en el Origen y Eje Focal en el Eje “x”
Cuya ecuación es: 𝑦2
= 4𝑝𝑥
a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha
b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda
Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝|
𝑥 = −𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
3. Parábola de Vértice en el Origen y Eje Focal en el Eje “y”
Cuya ecuación es: 𝑥2
= 4𝑝𝑦
a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba
b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo
Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑦 = −𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
4. Parábola de vértice V(h,k) y Eje Focal en el Eje “x”
Cuya ecuación es:
(𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha
b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda
Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑥 = ℎ − 𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
5. Parábola de Vértice V(h,k) y Eje Focal en el Eje “y”
Cuta ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba
b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo
Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑥 = 𝑘 − 𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
6. Ecuación General de la Parábola
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
a) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “x” {𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0} luego la
ecuación será:
𝑦2
+ 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
b) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “y” {𝐴 ≠ 0, 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0} luego la
ecuación será:
𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
7. Ecuación de la Tangente y la Normal a la Parábola
a) Para la Parábola 𝑦2
= 4𝑝𝑥
{
𝑚𝐿𝑆
=
4𝑝
𝑦2 + 𝑦1
𝑚𝐿𝑇
=
2𝑝
𝑦1
𝑚𝐿𝑁
= −
𝑦1
2𝑝
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
2𝑝
𝑦1
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
𝑦1
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
b) Para la Parábola
(𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
2𝑝
𝑦1 − 𝑘
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
𝑦1 − 𝑘
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
c) Para la Parábola
𝑥2
= 4𝑝𝑦
{
𝑚𝐿𝑆
=
𝑥2 + 𝑥1
4𝑝
𝑚𝐿𝑇
=
𝑥1
2𝑝
𝑚𝐿𝑁
= −
2𝑝
𝑥1
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
𝑥1
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
2𝑝
𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
d) Para la Parábola
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
𝑥1 − ℎ
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
2𝑝
𝑥1 − ℎ
(𝑥 − 𝑥1)
8. Teoremas
1ro La recta tangente a la parábola
𝑦2
= 4𝑝𝑥 en cualquier punto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva tiene por ecuación:
𝐿𝑇 : 𝑦1(𝑦 − 𝑦1) = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1)
2do La recta tangente de pendiente “m” a la parábola
𝑦2
= 4𝑝𝑥 tiene por ecuación:
𝐿𝑇 : 𝑦 = 𝑚𝑥 +
𝑝
𝑚
{𝑚 ≠ 0}
CAPITULO IV
ELIPSE
1. Elipse
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en un plano de tal
manera que la suma de sus distancias a dos punto fijos 𝐹1 𝑦 𝐹2 de ese plano, es
una constante.
Donde:
{
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑉1 𝑦 𝑉2: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1 𝑦 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 (𝐹1𝐹2 = 2𝑐)
𝐿: 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝑉1𝑉2 = 2𝑎
𝐿1:𝐸𝑗𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝐵1𝐵2 = 2𝑏
𝐷𝐷 𝑦 𝐷′
𝐷′
:𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑇𝑈
̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑀𝐼
̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
𝑅𝐸
̅̅̅̅: 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑃𝐹1
̅̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝐹2
̅̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝐹1𝐹2
̅̅̅̅̅̅:𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
2. Relaciones fundamentales
a)
b)
⟹ 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
3. Elipse de Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje “X”
Cuya Ecuación es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(−𝑎, 0) 𝑦 𝑉2(𝑎, 0): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(0, 𝑏) 𝑦 𝐵2(0, −𝑏): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(−𝑐, 0) 𝑦 𝐹2(𝑐, 0): Son los focos.
* 𝑥 = ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
* e: Excentricidad ⇒ 𝑒 =
𝑐
𝑎
* Lado recto ⇒
2𝑏2
𝑎
4. Elipse de Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje “Y”
Cuya Ecuación es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(0, −𝑎) 𝑦 𝑉2(0, 𝑎): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(𝑏, 0) 𝑦 𝐵2(−𝑏, 0): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(0, −𝑐) 𝑦 𝐹2(0, 𝑐): Son los focos.
* 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
* e: excentricidad ⇒ 𝑒 =
𝑐
𝑎
* Lado recto ⇒
2𝑏2
𝑎
5. Elipse de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “X”
Cuya ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉2(ℎ + 𝑎, 𝑘): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) 𝑦 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘): Son los focos.
* 𝑥 = ℎ ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
6. Elipse de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”
Cuya ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1
Donde:
* 𝑉1(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉2(ℎ, 𝑘 + 𝑎): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵2(ℎ + 𝑏, 𝑘): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹2(ℎ, 𝑘 + 𝑐): Son los focos.
* 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
7. Propiedades de la elipse
Si tenemos:
Donde:
𝑑(𝑃, 𝐹1)
𝑑(𝑃, 𝐿1)
= 𝑒 =
𝑑(𝑃, 𝐹2)
𝑑(𝑃, 𝐿2)
𝑒: 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
Propiedades:
* 𝑑(𝐵1, 𝐹1) = 𝑑(𝐵1, 𝐹2) = 𝑎
* 𝑑(𝐵2, 𝐹1) = 𝑑(𝐵2, 𝐹2) = 𝑎
* 𝑑(𝐶, 𝐿1) = 𝑑(𝐶, 𝐿2) =
𝑎
𝑒
* 𝑐 = 𝑎𝑒
* 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
* 0 < 𝑒 < 1 ∨ 𝑒 =
𝑐
𝑎
< 1
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
8. Ecuación General de la Elipse
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Reduciendo a la forma ordinaria
(𝑥 +
𝐶
2𝐴)
2
𝐵𝑇
+
(𝑦 +
𝐷
2𝐵)
2
𝐴𝑇
= 1
Donde:
𝑇 =
𝐵𝐶2
+ 𝐴𝐷2
− 4𝐴𝐵𝐸
4𝐴2𝐵2
9. Tangente a una Elipse
1er Caso
Ecuación de la recta tangente a la elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
En cualquier punto
𝑃1(𝑥1, 𝑦1)
𝐿𝑇: 𝑎2
𝑦𝑦1 + 𝑏2
𝑥𝑥1 = 𝑎2
𝑏2
2do Caso
Ecuación de la recta tangente de pendiente “m” a la elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2𝑚2 + 𝑏2
10. Ecuación del Diámetro de una Elipse
1er Caso
Si la elipse es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
P(x,y) un punto del lugar geométrico y 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) los extremos de la
cuerda dado que “P” biseca al 𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅
𝐿: 𝑦 = −
𝑏2
𝑥
𝑎2𝑚
2do Caso
Si la elipse es:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
La ecuación del diámetro es:
𝐿: 𝑦 = −
𝑎2
𝑥
𝑏2𝑚
3er Caso
Si la elipse es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
La ecuación del diámetro es:
𝐿: 𝑦 − 𝑘 = −
𝑏2(𝑥 − ℎ)
𝑎2𝑚
4to Caso
Si la elipse es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1
La ecuación del diámetro es:
𝐿: 𝑦 − 𝑘 = −
𝑎2(𝑥 − ℎ)
𝑏2𝑚
11. Diámetros conjugados
Si tenemos la elipse
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m”, es:
𝐿: 𝑦 = −
𝑏2
𝑥
𝑎2𝑚
Ecuación de su diámetro conjugado
𝐿1: 𝑦 = 𝑚𝑥
Propiedades:
1ro si la elipse es de la forma:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Entonces:
𝑚. 𝑚1 = −
𝑏2
𝑎2
“𝑚” 𝑦 “𝑚1" pendientes de los diámetros conjugados.
2do Si la elipse es de la forma:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
Entonces:
𝑚. 𝑚1 = −
𝑎2
𝑏2
“𝑚” 𝑦 “𝑚1" pendientes de los diámetros conjugados.
12. Cuerda de Contacto
Si tenemos la elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝐿: 𝑎2
𝑦𝑦1 + 𝑏2
𝑥𝑥1 = 𝑎2
𝑏2
CAPITULO V
HIPERBOLA
1. Hipérbola
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en un plano de tal
manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (𝐹1 𝑦 𝐹2) llamados
focos, es siempre igual una constante positiva “2a”
Elementos:
{
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐹1𝐹2
̅̅̅̅̅̅
𝑉1 𝑦 𝑉2: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1 𝑦 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 (𝐹1𝐹2 = 2𝑐)
𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 (𝑉1𝑉2 = 2𝑎)
𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 (𝐵1𝐵2 = 2𝑏)
𝐼𝑉
̅̅̅:𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑀𝑇
̅̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐹𝑜𝑐𝑎𝑙
𝑃𝐹1
̅̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝐹2
̅̅̅̅̅ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
Excentricidad (e) de la hipérbola
𝑑(𝑃, 𝐹1)
𝑑(𝑃, 𝐿1)
= 𝑒 =
𝑑(𝑃, 𝐹2)
𝑑(𝑃, 𝐿2)
Propiedades:
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
* 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
* 𝑐 = 𝑎𝑒
* 𝑑(𝐶, 𝐿1) = 𝑑(𝐶, 𝐿2) =
𝑎
𝑒
* 𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1
* Si a=b, entonces la hipérbola es equilátera (𝑒 = √2)
* Distancia entre las rectas directrices
𝐿1𝐿2
̅̅̅̅̅̅ =
2𝑎2
𝑐
2. Relaciones fundamentales
3. Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “X”
Cuya ecuación es:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(−𝑎, 0) 𝑦 𝑉2(𝑎, 0)
* 𝐹1(−𝑐, 0) 𝑦 𝐹2(𝑐, 0)
Ecuación de sus directrices
⟹ 𝑥 = ±
𝑎2
𝑐
4. Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “Y”
Cuya ecuación es:
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(0, −𝑎) 𝑦 𝑉2(0, 𝑎)
* 𝐹1(0, −𝑐) 𝑦 𝐹2(0, 𝑐)
Ecuación de sus directrices
⟹ 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
5. Hipérbola de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal Paralelo al eje “X”
Cuya ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝐶(ℎ, 𝑘)
* 𝑥′
= 𝑥 − ℎ 𝑦′
= 𝑦 − 𝑘
* 𝑉1(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉2(ℎ + 𝑎, 𝑘)
* 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘)
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
* 𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1
* 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ)
* 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑦 = 𝑘
* 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜: 𝑥 = ℎ
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
⟹ 𝑥 = ℎ ±
𝑎2
𝑐
6. Hipérbola de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”
Cuya ecuación es:
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝐶(ℎ, 𝑘)
* 𝑥′
= 𝑥 − ℎ 𝑦′
= 𝑦 − 𝑘
* 𝑉1(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉2(ℎ, 𝑘 + 𝑎)
* 𝐹1(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹2(ℎ, 𝑘 + 𝑐)
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
* 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1
* 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ)
* 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑥 = ℎ
* 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜: 𝑦 = 𝑘
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
⟹ 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
7. Asíntotas de una Hipérbola
1ro Hipérbola Horizontal:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
{
𝑃 = (𝑎, 𝑏)
𝑅 = (−𝑎, 𝑏)
𝐿1: 𝑦 =
𝑏𝑥
𝑎
𝐿2: 𝑦 = −
𝑏𝑥
𝑎
2do Hipérbola Vertical:
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
{
𝑃 = (𝑏, 𝑎)
𝑅 = (−𝑏, 𝑎)
𝐿1: 𝑦 =
𝑎𝑥
𝑏
𝐿2: 𝑦 = −
𝑎𝑥
𝑏
Observaciones:
a) Las asíntotas de cualquier hipérbola horizontal o vertical pueden obtenerse
igualando a cero el segundo miembro de la ecuación correspondiente y
despejando 𝑦 = 𝐹(𝑥).
* Hipérbola Horizontal
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0
Despejando:
𝑦2
=
𝑏2
𝑥2
𝑎2
⇒ 𝑦 = ±
𝑏𝑥
𝑎
* Hipérbola Vertical
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 0
Despejando:
𝑦2
=
𝑎2
𝑥2
𝑏2
⇒ 𝑦 = ±
𝑎𝑥
𝑏
b) Las asíntotas de las hipérbolas en su forma canónica son conjugadas. Es decir,
se la ecuación de la hipérbola es:
𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦)(𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) = 0
Luego:
(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) = 0 ∨ (𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) = 0
c) Las asíntotas de una hipérbola sirven como líneas de guía en el gráfico.
8. Hipérbola Rectangular o Equilátera
Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas son
perpendiculares (a=b)
Las cuatro formas son:
* 𝑥2
− 𝑦2
= 𝑎2
* 𝑦2
−𝑥2
= 𝑎2
* (𝑥 − ℎ)2
− (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑎2
* (𝑦 − 𝑘)2
−(𝑥 − ℎ)2
= 𝑎2
Observaciones:
a) La excentricidad de una hipérbola equilátera es constante e igual a √2.
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 + 𝑎2
𝑎
= √2
b) La longitud de cada lado recto de una hipérbola equilátera es igual a la longitud
del eje transverso o conjugado.
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑎2
𝑎
= 2𝑎
También:
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑏
= 2𝑏
c) 𝑆𝑖 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) es un punto cualquiera de la hipérbola: 𝑥2
− 𝑦2
= 𝑎2
y 𝑑1 y 𝑑2
son las distancias del punto 𝑃1 a las asíntotas:
𝐿1:𝑥 − 𝑦 = 0 𝑦 𝐿2: 𝑥 + 𝑦 = 0
Entonces:
𝑑1 =
|𝑥1 − 𝑦1|
√2
𝑦 𝑑2 =
|𝑥1 + 𝑦1|
√2
Donde:
𝑑1. 𝑑2 =
𝑥1
2
− 𝑦1
2
2
=
𝑎2
2
El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a
sus asíntotas, es constante.
9. Casos especiales de la Hipérbola Equiláteras
a) Si la Gráfica de la Hipérbola está en los Cuadrantes I y III
𝑑1. 𝑑2 = |𝑥||𝑦| = 𝑥𝑦 =
𝑎2
2
b) Si la Gráfica de la Hipérbola está en los Cuadrantes II y IV
𝑑1. 𝑑2 = |𝑥||𝑦| = −𝑥𝑦 = −
𝑎2
2
c) Si las asíntotas de la hipérbola equilátera son paralelas a los ejes coordenados,
las ecuaciones son de la forma.
{
(𝑥 − ℎ)(𝑦 − 𝑘) =
𝑎2
2
(𝑥 − ℎ)(𝑦 − 𝑘) = −
𝑎2
2
“a” representa la distancia del centro C(h,k) de la hipérbola a su vértice
10. Hipérbolas conjugadas
Cuando el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra.
Si la ecuación de la hipérbola es:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Entonces la hipérbola conjugada es:
𝑦2
𝑏2
−
𝑥2
𝑎2
= 1
11. Ecuación Genera de la Hipérbola
𝐴𝑥2
− 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Reduciendo a la forma ordinaria
(𝑥 +
𝐶
2𝐴
)
2
𝑡
𝐴
−
(𝑦 −
𝐷
2𝐵
)
2
𝑡
𝐵
= 1
Donde:
𝑡 = 𝐴 (𝑥 +
𝐶
2𝐴
)
2
− 𝐵 (𝑦 −
𝐷
2𝐵
)
2
Observación:
* Si: t>0, la ecuación representa una hipérbola con eje real o transverso
coincidente o paralelo al eje “X”
* Si: t=0, la ecuación representa dos rectas concurrentes
* Si: t<0, la ecuación representa una hipérbola con eje real coincidente o paralelo
al eje “Y”
12. Tangentes a una Hipérbola
1er Caso
Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:
𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
, en un punto cualquier 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva es:
𝐿𝑇: 𝑏2
𝑥𝑥1 − 𝑎2
𝑦𝑦1 = 𝑎2
𝑏2
2do Caso
Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:
𝑏2
𝑦2
− 𝑎2
𝑥2
= 𝑎2
𝑏2
, en un punto cualquier 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva es:
𝐿𝑇: 𝑏2
𝑦𝑦1 − 𝑎2
𝑥𝑥1 = 𝑎2
𝑏2
3er Caso
Las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:
𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
, de pendiente “m” son:
𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2𝑚2 − 𝑏2 |𝑚| >
𝑏
𝑎
4to Caso
Las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:
𝑏2
𝑦2
− 𝑎2
𝑥2
= 𝑎2
𝑏2
, de pendiente “m” son:
𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 − 𝑏2𝑚2 |𝑚| <
𝑏
𝑎
13. Cuerda de Contacto
Si la Hipérbola es:
𝐻: 𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
La ecuación de la cuerda de contacto 𝑀𝑁
̅̅̅̅̅ es:
𝐿: 𝑏2
𝑥𝑥1 − 𝑎2
𝑦𝑦1 = 𝑎2
𝑏2
14. Ecuación del Diámetro de una Hipérbola
1er Caso:
Consideramos la Hipérbola:
𝐻: 𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
“P” biseca a 𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅
Luego: 𝐿: 𝑦 =
𝑏2𝑥
𝑎2𝑚
Donde “m” pendiente de las cuerdas paralelas
2do Caso:
Consideramos la Hipérbola:
𝐻: 𝑏2
𝑦2
− 𝑎2
𝑥2
= 𝑎2
𝑏2
La ecuación de un diámetro será:
Luego: 𝐿: 𝑦 =
𝑎2𝑥
𝑏2𝑚
15. Diámetros conjugados
En la Hipérbola:
𝐻: 𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
* La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:
𝐿1: 𝑦 =
𝑏2
𝑥
𝑎2𝑚
* La ecuación de su conjugada es:
𝑦 = 𝑚𝑥
Pendiente de 𝐿1:
𝑚1 =
𝑏2
𝑎2𝑚
⟹ 𝑚. 𝑚1 =
𝑏2
𝑎2
* Para que los diámetros sean conjugados se debe cumplir:
𝑚. 𝑚1 =
𝑎2
𝑏2

Más contenido relacionado

Similar a Geometría analítica: conceptos básicos de rectas y circunferencias

toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...ANGELDAVIDSOTOOSORNI
 
Geometría analítica 4 ESO.pptx
Geometría analítica 4 ESO.pptxGeometría analítica 4 ESO.pptx
Geometría analítica 4 ESO.pptxBartoluco
 
Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1T
Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1TSolución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1T
Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1TAngel Guale
 
Plano numérico / Segunda Unidad de Matemáticas
Plano numérico / Segunda Unidad de MatemáticasPlano numérico / Segunda Unidad de Matemáticas
Plano numérico / Segunda Unidad de MatemáticasAriadnaGuidotti1
 
CÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdf
CÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdfCÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdf
CÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdfEduardo Rocabado
 
Unidad 8. La recta y la parábola.
Unidad 8. La recta y la parábola.Unidad 8. La recta y la parábola.
Unidad 8. La recta y la parábola.atajuelo1
 
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfPLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfyannetthha
 
Sistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesianoSistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesianoecruzo
 
Actividad obligatoria4 B(corregido)
Actividad obligatoria4 B(corregido)Actividad obligatoria4 B(corregido)
Actividad obligatoria4 B(corregido)Fernando Sosa
 
PASO 4_profundizar y conceptualizar.pptx
PASO  4_profundizar y conceptualizar.pptxPASO  4_profundizar y conceptualizar.pptx
PASO 4_profundizar y conceptualizar.pptxDannyJulianaVc
 
Ht 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionarioHt 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionarioAléxandér Castillo
 
La recta en el plano
La recta en el planoLa recta en el plano
La recta en el planoSergio Junio
 

Similar a Geometría analítica: conceptos básicos de rectas y circunferencias (20)

toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
 
Guia int de_linea_teo_de_green_01_15
Guia int de_linea_teo_de_green_01_15Guia int de_linea_teo_de_green_01_15
Guia int de_linea_teo_de_green_01_15
 
Guia int de_linea_teo_de_green_02_15
Guia int de_linea_teo_de_green_02_15Guia int de_linea_teo_de_green_02_15
Guia int de_linea_teo_de_green_02_15
 
Geometría analítica 4 ESO.pptx
Geometría analítica 4 ESO.pptxGeometría analítica 4 ESO.pptx
Geometría analítica 4 ESO.pptx
 
Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1T
Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1TSolución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1T
Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1T
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
 
FB-SUPERF (1).pptx
FB-SUPERF (1).pptxFB-SUPERF (1).pptx
FB-SUPERF (1).pptx
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
 
Plano numérico / Segunda Unidad de Matemáticas
Plano numérico / Segunda Unidad de MatemáticasPlano numérico / Segunda Unidad de Matemáticas
Plano numérico / Segunda Unidad de Matemáticas
 
CÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdf
CÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdfCÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdf
CÁLCULO II vectores y geometria completo_6081ac90d6b137a11260c4ca81ad47c0.pdf
 
Unidad 8. La recta y la parábola.
Unidad 8. La recta y la parábola.Unidad 8. La recta y la parábola.
Unidad 8. La recta y la parábola.
 
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfPLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
 
Elipse y parabola copia
Elipse y parabola   copiaElipse y parabola   copia
Elipse y parabola copia
 
Sistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesianoSistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesiano
 
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA.pptx
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA.pptxCIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA.pptx
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA.pptx
 
Actividad obligatoria4 B(corregido)
Actividad obligatoria4 B(corregido)Actividad obligatoria4 B(corregido)
Actividad obligatoria4 B(corregido)
 
Unidad 8
Unidad 8Unidad 8
Unidad 8
 
PASO 4_profundizar y conceptualizar.pptx
PASO  4_profundizar y conceptualizar.pptxPASO  4_profundizar y conceptualizar.pptx
PASO 4_profundizar y conceptualizar.pptx
 
Ht 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionarioHt 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionario
 
La recta en el plano
La recta en el planoLa recta en el plano
La recta en el plano
 

Último

La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptxLa-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptxMAURICIO329243
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdflizcortes48
 
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOSCALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOSdarlingreserved
 
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.karlazoegarciagarcia
 
Explicación del Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentos
Explicación del  Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentosExplicación del  Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentos
Explicación del Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentosINESDVERA
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Gonella
 
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfJosé Hecht
 
Buenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria FarmaceuticaBuenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria FarmaceuticaMarco Camacho
 
4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdf
4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdf4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdf
4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdfMagalyDacostaPea
 
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.Edith Liccioni
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3Gonella
 
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entornoSalvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entornoday561sol
 
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejorLOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejormrcrmnrojasgarcia
 

Último (20)

La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptxLa-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
 
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
 
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOSCALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
 
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
 
Explicación del Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentos
Explicación del  Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentosExplicación del  Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentos
Explicación del Modelo de Stephen Toulmin para elaborar argumentos
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
 
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
 
Buenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria FarmaceuticaBuenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
 
4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdf
4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdf4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdf
4to-Primaria-prueba-Comunicación-Cuadernillo 2.pdf
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
 
Unidad 1 | Metodología de la Investigación
Unidad 1 | Metodología de la InvestigaciónUnidad 1 | Metodología de la Investigación
Unidad 1 | Metodología de la Investigación
 
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
 
Sesión ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión
Sesión  ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestiónSesión  ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión
Sesión ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
 
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...
 
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entornoSalvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
 
El Bullying.
El Bullying.El Bullying.
El Bullying.
 
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejorLOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
 

Geometría analítica: conceptos básicos de rectas y circunferencias

  • 1. CAPITULO I: RECTA 1. Recta Es la representación geométrica de los números reales. 2. Sistema Coordenado Lineal A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales se denomina sistema coordenado lineal. De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los números 0; 1; 2 y x respectivamente. 3. Distancia entre dos puntos de una recta 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ = |𝑥2 − 𝑥1| = |𝑥1 − 𝑥2| 4. Punto medio 𝑥 = 1 2 (𝑥1 + 𝑥2) 5. Sistema de coordenadas rectangulares: Cartesianas o Sistema XY Es aquel que está formado por dos rectas que se cortan perpendicularmente (una horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que contiene infinitos puntos. Al plano formado por dichos ejes se llama plano cartesiano. Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados cuadrantes. 𝑥: eje de las abscisas 𝑦: eje de las ordenadas 6. Coordenadas de un punto EL conjunto de todos los pares ordenados (x, y) se llama plano numérico y se denota con 𝑅2 , así: 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∕ 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅} 𝑥1: es la abscisa del punto P. 𝑦1: es la ordenada del punto P.
  • 2. 7. Distancia entre dos puntos 𝑃1𝑃2 ̅̅̅̅̅̅ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 𝑃2𝑃1 ̅̅̅̅̅̅ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2 Observación: Cuando uses la fórmula de la distancia recuerda que: 𝑑(𝑃1; 𝑃2) = 𝑑(𝑃2; 𝑃1) y, por lo tanto, no importa el orden en que se resten las abscisas y las ordenadas de los puntos. 8. Coordenadas del Punto Medio Sean: 𝑃(𝑥𝑚; 𝑦𝑚) las coordenadas del punto medio- 𝑥𝑚 = 𝑥1 + 𝑥2 2 𝑦𝑚 = 𝑦1 + 𝑦2 2 9. Pendiente de un Segmento: 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 10. Pendiente o Coeficiente Angular de una Recta: 𝑚 = 𝑇𝑔𝛼 𝛼: ∢ 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 11. Angulo entre dos Rectas:
  • 3. Donde: 𝑚1: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐿1 𝑚2: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐿2 En el gráfico observamos que el lado final de 𝛼 es 𝐿1 y el lado inicial es 𝐿2. Entonces: 𝑇𝑔𝛼 = 𝑚1 − 𝑚2 1 + 𝑚1𝑚2 Observación: a) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 > 0 ⇒ 𝛼: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐿2 𝑦 𝐿1 b) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 < 0 ⇒ 𝛼: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐿1 𝑦 𝐿2 c) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 > ±∞ ⇒ 𝛼 = ±90°, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 (𝐿1 ⊥ 𝐿2) d) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 = 0 ⇒ 𝛼 = 0°, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 (𝐿1 ∥ 𝐿2) e) La condición necesaria para que dos vectores sean perpendiculares entre sí es que el producto de sus pendientes sea igual a menos uno (-1) 𝑇𝑔𝛼 = 𝑚1 − 𝑚2 1 + 𝑚1𝑚2 𝑇𝑔(90°) = 𝑚1 − 𝑚2 1 + 𝑚1𝑚2 ⇒ 𝑚1𝑚2 = −1 12. División de un segmento en una razón dada Si: : 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2;𝑦2) son los extremos de 𝑃1𝑃2 ̅̅̅̅̅̅, las coordenadas del punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide a este segmento en una razón “r” 𝑟 = 𝑃1𝑃 𝑃𝑃2 ; son: 𝑥 = 𝑥1 + 𝑟. 𝑥2 𝑟 + 1 𝑦 = 𝑦1 + 𝑟. 𝑦2 𝑟 + 1 Propiedades: Si tenemos: 𝑚1 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿1 𝑦 𝑚2 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿2 a) 𝐿1 ∥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1 = 𝑚2 b) 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1. 𝑚2 = −1
  • 4. 13. Ecuación de una recta: 1er CASO: Datos: Pendiente (m) y un punto de la recta 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 2do CASO: Datos: Dos puntos de la recta 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2; 𝑦2) (𝑦 − 𝑦1) = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 (𝑥 − 𝑥1) 3er CASO: Datos: Los puntos de intersección con los ejes: 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1 Ecuación simetrica de la recta Donde: 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0 4to CASO: Datos: Pendiente (m) y la intersección on el eje 𝑦(0, 𝑏)
  • 5. 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 14. Ecuación general: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑚 = − 𝐴 𝐵 Observaciones a) 𝑆𝑖 𝑚 > 0 b) 𝑆𝑖 𝑚 < 0 c) 𝑆𝑖 𝐿 ∥ 𝑥 ⟹ 𝑚 = 0 d) 𝑆𝑖 𝐿 ∥ 𝑦 ⟹ 𝑚 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
  • 6. 15. Forma Normal de la Ecuación de una Recta 𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝑦. 𝑆𝑒𝑛𝜃 − 𝑝 = 0 Donde: * p: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo9 * 𝑂𝑃1 ̅̅̅̅̅ ⊥ 𝐿 (𝑂𝑃1 ̅̅̅̅̅: 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙) * 0° ≤ 𝜃 ≤ 360° 16. Distancia de un Punto a una Recta * 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐿: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 * 𝑃1(𝑥1;𝑦1) Distancia del punto P a L 𝑑 = |𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶| √𝐴2 + 𝐵2 * Distancia Dirigida del Punto a una Recta 𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 Caso I Caso II 17. Distancia entre dos rectas paralelas Dadas las rectas 𝐿1:𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0 𝐿2: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0
  • 7. 𝑑 = |𝐶1 − 𝐶2| √𝐴2 + 𝐵2 18. La Bisectriz de un Ángulo Las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por las rectas que se intersectan 𝐿1:𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 𝐿2: 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 Tiene por ecuaciones |𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1| √𝐴1 2 + 𝐵1 2 = |𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2| √𝐴2 2 + 𝐵2 2 * 𝐿: 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 * 𝐿´: 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 * 𝑃: 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿1 𝑦 𝐿2 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 |𝑑1| = |𝑑2| * 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐿´: 𝑑1 = 𝑑2 * 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐿: 𝑑1 = −𝑑2 19. Coordenadas del Baricentro de un Triángulo Si: 𝐺 = (𝑥; 𝑦), es la posición del baricentro de un triángulo ABC, tal que: 𝐴 = (𝑥1; 𝑦1) 𝐵 = (𝑥2; 𝑦2) 𝐶 = (𝑥3; 𝑦3) Entonces: Se cumple: 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 3 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 3 20. Área de una Región Triangular Si tenemos: 𝐴 = (𝑥1; 𝑦1); 𝐵 = (𝑥2; 𝑦2); 𝐶 = (𝑥3;𝑦3) Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de: 𝑆 = 1 2 | 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥3 𝑦3 1 |
  • 8. Método práctico para determinar el área de una región triangular. Si tenemos: Entonces el Área: 𝑆 = 1 2 |𝑀 − 𝑁| Sabiendo que: 21. Área de una región poligonal Sean 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑛, un polígono cuyos vértices, nombrados en sentido antihorario tienen coordenadas: 𝐴1(𝑥1;𝑦1), 𝐴2(𝑥2;𝑦2), 𝐴3(𝑥3;𝑦3), … 𝐴𝑛(𝑥𝑛;𝑦𝑛), Luego el área del polígono: : 𝑆 = 1 2 |𝐴 − 𝐵| CAPÍTULO II CIRCUNFERENCIA 1. Circunferencia: Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano, que se mueve a una distancia constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro) Si tenemos:
  • 9. Donde: { 𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟: 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝐴𝐵 ̅̅̅̅: 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝑟 𝐸𝐹 ̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐿𝑁: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝐿𝑇: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 Formas de la circunferencia 2. Forma Ordinaria (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 3. Forma Canónica (Ecuación cuando el centro está en el origen) De la definición: 𝒞: {𝑃(𝑥; 𝑦)/𝑑(𝑃, 𝑂) = 𝑟} 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 4. Circunferencia Tangente al eje “X” (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑘2 Donde: 𝑟 = |𝑘| 5. Circunferencia Tangente al eje “Y” (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = ℎ2 Donde: 𝑟 = |ℎ|
  • 10. 6. Forma General 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Completando cuadrados (𝑥 + 𝐴 2 ) 2 + (𝑥 + 𝐵 2 ) 2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 4 De aquí se tiene tres casos: 1er Caso: Si 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 > 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐶 = (− 𝐴 2 , − 𝐵 2 ) y 𝑟 = 1 2 √𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 2do Caso: Si 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 = 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐶 = (− 𝐴 2 , − 𝐵 2 ) (Representa un solo punto) 3er Caso: Si 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 < 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: (La ecuación representa a una circunferencia imaginaria) 7. Ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos 𝑃1(𝑥1; 𝑦1), 𝑃2(𝑥2;𝑦2) 𝑦 𝑃3(𝑥3;𝑦3), está dado por e determinante: | | 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 𝑦 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥1 𝑦1 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥2 𝑦2 1 1 1 𝑥3 2 + 𝑦3 2 𝑥3 𝑦3 1 | | = 0 El cual permite determinar las incógnitas: A, B, C de la ecuación: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 8. Familia de Circunferencias que pasan por la Intersección de las circunferencias Si tenemos dos circunferencias: { 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 Luego la familia de circunferencias que pasan por la intersección de estas dos circunferencias esta expresado por: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + 𝑘(𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2) = 0 Donde 𝑘 ∈ ℝ También se puede expresar de la forma: (1 + 𝑘)𝑥2 + (1 + 𝑘)𝑦2 + (𝐴1 + 𝑘𝐴2)𝑥 + (𝐵1 + 𝑘𝐵2)𝑦 + 𝐶1 + 𝑘𝐶2 = 0 Si 𝑘 = −1; se obtiene una recta L llamado eje radical
  • 11. 9. Tangente de la circunferencia * Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada en un punto dado de contacto se toma la recta. ⟹ 𝐿: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) *Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada, conociendo su pendiente m se toma la recta: ⟹ 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘 En cada caso se aplica la condición de tangencia es decir que al reemplazar la recta tangente en la ecuación de la circunferencia al despejar x ó y el discriminante se iguala a cero. CAPITULO III PARABOLA 1. Parábola Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano, que se mueve a una distancia que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (foco) que no pertenece a la recta fija Si tenemos: Donde: { 𝐹: 𝐹𝑜𝑐𝑜 (𝑃𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜) 𝑉: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑃𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜) 𝐿1: 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 (⊥ 𝑎 𝐿) 𝐶𝐷 ̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑 𝐹𝑜𝑐𝑎𝑙 𝐴𝐵 ̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜 ⊥ 𝐿1 |𝑉𝐹 ̅̅̅̅| = 𝑃: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 |𝑉𝐹 ̅̅̅̅| = |𝑉𝐿 ̅̅̅̅| 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝑃(𝑉𝐹 ̅̅̅̅ = 𝑉𝐿 ̅̅̅̅) Formas de la Parábola 2. Parábola de Vértice en el Origen y Eje Focal en el Eje “x”
  • 12. Cuya ecuación es: 𝑦2 = 4𝑝𝑥 a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda Donde: { 𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑥 = −𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 3. Parábola de Vértice en el Origen y Eje Focal en el Eje “y” Cuya ecuación es: 𝑥2 = 4𝑝𝑦 a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo
  • 13. Donde: { 𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑦 = −𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 4. Parábola de vértice V(h,k) y Eje Focal en el Eje “x” Cuya ecuación es: (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda Donde: { 𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑥 = ℎ − 𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 5. Parábola de Vértice V(h,k) y Eje Focal en el Eje “y” Cuta ecuación es: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
  • 14. a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo Donde: { 𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑥 = 𝑘 − 𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 6. Ecuación General de la Parábola 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 a) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “x” {𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0} luego la ecuación será: 𝑦2 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 b) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “y” {𝐴 ≠ 0, 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0} luego la ecuación será: 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 7. Ecuación de la Tangente y la Normal a la Parábola a) Para la Parábola 𝑦2 = 4𝑝𝑥
  • 15. { 𝑚𝐿𝑆 = 4𝑝 𝑦2 + 𝑦1 𝑚𝐿𝑇 = 2𝑝 𝑦1 𝑚𝐿𝑁 = − 𝑦1 2𝑝 { 𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 = 2𝑝 𝑦1 (𝑥 − 𝑥1) 𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = − 𝑦1 2𝑝 (𝑥 − 𝑥1) b) Para la Parábola (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) { 𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 = 2𝑝 𝑦1 − 𝑘 (𝑥 − 𝑥1) 𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = − 𝑦1 − 𝑘 2𝑝 (𝑥 − 𝑥1) c) Para la Parábola 𝑥2 = 4𝑝𝑦 { 𝑚𝐿𝑆 = 𝑥2 + 𝑥1 4𝑝 𝑚𝐿𝑇 = 𝑥1 2𝑝 𝑚𝐿𝑁 = − 2𝑝 𝑥1 { 𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥1 2𝑝 (𝑥 − 𝑥1) 𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = − 2𝑝 𝑥1 (𝑥 − 𝑥1) d) Para la Parábola (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) { 𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥1 − ℎ 2𝑝 (𝑥 − 𝑥1) 𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = − 2𝑝 𝑥1 − ℎ (𝑥 − 𝑥1) 8. Teoremas 1ro La recta tangente a la parábola 𝑦2 = 4𝑝𝑥 en cualquier punto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva tiene por ecuación: 𝐿𝑇 : 𝑦1(𝑦 − 𝑦1) = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1)
  • 16. 2do La recta tangente de pendiente “m” a la parábola 𝑦2 = 4𝑝𝑥 tiene por ecuación: 𝐿𝑇 : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 𝑚 {𝑚 ≠ 0} CAPITULO IV ELIPSE 1. Elipse Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos punto fijos 𝐹1 𝑦 𝐹2 de ese plano, es una constante. Donde: { 𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑉1 𝑦 𝑉2: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝐹1 𝑦 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 (𝐹1𝐹2 = 2𝑐) 𝐿: 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝑉1𝑉2 = 2𝑎 𝐿1:𝐸𝑗𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝐵1𝐵2 = 2𝑏 𝐷𝐷 𝑦 𝐷′ 𝐷′ :𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑇𝑈 ̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑀𝐼 ̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑅𝐸 ̅̅̅̅: 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝐹2 ̅̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐹1𝐹2 ̅̅̅̅̅̅:𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 2. Relaciones fundamentales a) b) ⟹ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 3. Elipse de Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje “X” Cuya Ecuación es: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1
  • 17. Donde: * 𝑉1(−𝑎, 0) 𝑦 𝑉2(𝑎, 0): Son los vértices de la elipse. * 𝐵1(0, 𝑏) 𝑦 𝐵2(0, −𝑏): Son los extremos del eje menor. * 𝐹1(−𝑐, 0) 𝑦 𝐹2(𝑐, 0): Son los focos. * 𝑥 = ± 𝑎2 𝑐 : Ecuación de la directriz. * e: Excentricidad ⇒ 𝑒 = 𝑐 𝑎 * Lado recto ⇒ 2𝑏2 𝑎 4. Elipse de Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje “Y” Cuya Ecuación es: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 Donde: * 𝑉1(0, −𝑎) 𝑦 𝑉2(0, 𝑎): Son los vértices de la elipse. * 𝐵1(𝑏, 0) 𝑦 𝐵2(−𝑏, 0): Son los extremos del eje menor. * 𝐹1(0, −𝑐) 𝑦 𝐹2(0, 𝑐): Son los focos. * 𝑦 = ± 𝑎2 𝑐 : Ecuación de la directriz. * e: excentricidad ⇒ 𝑒 = 𝑐 𝑎 * Lado recto ⇒ 2𝑏2 𝑎 5. Elipse de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “X” Cuya ecuación es: (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 Donde: * 𝑉1(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉2(ℎ + 𝑎, 𝑘): Son los vértices de la elipse. * 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) 𝑦 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏): Son los extremos del eje menor. * 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘): Son los focos. * 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 : Ecuación de la directriz. 6. Elipse de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”
  • 18. Cuya ecuación es: (𝑥 − ℎ)2 𝑏2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 = 1 Donde: * 𝑉1(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉2(ℎ, 𝑘 + 𝑎): Son los vértices de la elipse. * 𝐵1(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵2(ℎ + 𝑏, 𝑘): Son los extremos del eje menor. * 𝐹1(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹2(ℎ, 𝑘 + 𝑐): Son los focos. * 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎2 𝑐 : Ecuación de la directriz. 7. Propiedades de la elipse Si tenemos: Donde: 𝑑(𝑃, 𝐹1) 𝑑(𝑃, 𝐿1) = 𝑒 = 𝑑(𝑃, 𝐹2) 𝑑(𝑃, 𝐿2) 𝑒: 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 Propiedades: * 𝑑(𝐵1, 𝐹1) = 𝑑(𝐵1, 𝐹2) = 𝑎 * 𝑑(𝐵2, 𝐹1) = 𝑑(𝐵2, 𝐹2) = 𝑎 * 𝑑(𝐶, 𝐿1) = 𝑑(𝐶, 𝐿2) = 𝑎 𝑒 * 𝑐 = 𝑎𝑒 * 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 * 0 < 𝑒 < 1 ∨ 𝑒 = 𝑐 𝑎 < 1 * 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑏2 𝑎 8. Ecuación General de la Elipse 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 Reduciendo a la forma ordinaria (𝑥 + 𝐶 2𝐴) 2 𝐵𝑇 + (𝑦 + 𝐷 2𝐵) 2 𝐴𝑇 = 1 Donde: 𝑇 = 𝐵𝐶2 + 𝐴𝐷2 − 4𝐴𝐵𝐸 4𝐴2𝐵2 9. Tangente a una Elipse
  • 19. 1er Caso Ecuación de la recta tangente a la elipse: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 En cualquier punto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝐿𝑇: 𝑎2 𝑦𝑦1 + 𝑏2 𝑥𝑥1 = 𝑎2 𝑏2 2do Caso Ecuación de la recta tangente de pendiente “m” a la elipse: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2𝑚2 + 𝑏2 10. Ecuación del Diámetro de una Elipse 1er Caso Si la elipse es: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 P(x,y) un punto del lugar geométrico y 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) los extremos de la cuerda dado que “P” biseca al 𝑃1𝑃2 ̅̅̅̅̅̅ 𝐿: 𝑦 = − 𝑏2 𝑥 𝑎2𝑚 2do Caso Si la elipse es: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 La ecuación del diámetro es: 𝐿: 𝑦 = − 𝑎2 𝑥 𝑏2𝑚 3er Caso Si la elipse es: (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 La ecuación del diámetro es: 𝐿: 𝑦 − 𝑘 = − 𝑏2(𝑥 − ℎ) 𝑎2𝑚 4to Caso Si la elipse es: (𝑥 − ℎ)2 𝑏2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 = 1 La ecuación del diámetro es: 𝐿: 𝑦 − 𝑘 = − 𝑎2(𝑥 − ℎ) 𝑏2𝑚 11. Diámetros conjugados Si tenemos la elipse 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m”, es: 𝐿: 𝑦 = − 𝑏2 𝑥 𝑎2𝑚 Ecuación de su diámetro conjugado 𝐿1: 𝑦 = 𝑚𝑥 Propiedades: 1ro si la elipse es de la forma: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 Entonces: 𝑚. 𝑚1 = − 𝑏2 𝑎2 “𝑚” 𝑦 “𝑚1" pendientes de los diámetros conjugados. 2do Si la elipse es de la forma: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 Entonces:
  • 20. 𝑚. 𝑚1 = − 𝑎2 𝑏2 “𝑚” 𝑦 “𝑚1" pendientes de los diámetros conjugados. 12. Cuerda de Contacto Si tenemos la elipse: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 𝐿: 𝑎2 𝑦𝑦1 + 𝑏2 𝑥𝑥1 = 𝑎2 𝑏2 CAPITULO V HIPERBOLA 1. Hipérbola Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (𝐹1 𝑦 𝐹2) llamados focos, es siempre igual una constante positiva “2a” Elementos: { 𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐹1𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ 𝑉1 𝑦 𝑉2: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝐹1 𝑦 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 (𝐹1𝐹2 = 2𝑐) 𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 (𝑉1𝑉2 = 2𝑎) 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 (𝐵1𝐵2 = 2𝑏) 𝐼𝑉 ̅̅̅:𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑀𝑇 ̅̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐹𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝐹2 ̅̅̅̅̅ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 Excentricidad (e) de la hipérbola 𝑑(𝑃, 𝐹1) 𝑑(𝑃, 𝐿1) = 𝑒 = 𝑑(𝑃, 𝐹2) 𝑑(𝑃, 𝐿2) Propiedades: * 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑏2 𝑎 * 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 * 𝑐 = 𝑎𝑒 * 𝑑(𝐶, 𝐿1) = 𝑑(𝐶, 𝐿2) = 𝑎 𝑒 * 𝑒 = 𝑐 𝑎 > 1 * Si a=b, entonces la hipérbola es equilátera (𝑒 = √2) * Distancia entre las rectas directrices 𝐿1𝐿2 ̅̅̅̅̅̅ = 2𝑎2 𝑐
  • 21. 2. Relaciones fundamentales 3. Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “X” Cuya ecuación es: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 Donde: * 𝑉1(−𝑎, 0) 𝑦 𝑉2(𝑎, 0) * 𝐹1(−𝑐, 0) 𝑦 𝐹2(𝑐, 0) Ecuación de sus directrices ⟹ 𝑥 = ± 𝑎2 𝑐 4. Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “Y” Cuya ecuación es: 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 Donde: * 𝑉1(0, −𝑎) 𝑦 𝑉2(0, 𝑎) * 𝐹1(0, −𝑐) 𝑦 𝐹2(0, 𝑐) Ecuación de sus directrices ⟹ 𝑦 = ± 𝑎2 𝑐 5. Hipérbola de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal Paralelo al eje “X”
  • 22. Cuya ecuación es: (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 − (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 Donde: * 𝐶(ℎ, 𝑘) * 𝑥′ = 𝑥 − ℎ 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘 * 𝑉1(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉2(ℎ + 𝑎, 𝑘) * 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘) * 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑏2 𝑎 * 𝑒 = 𝑐 𝑎 > 1 * 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 − 𝑘 = ± 𝑏 𝑎 (𝑥 − ℎ) * 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑦 = 𝑘 * 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜: 𝑥 = ℎ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 ⟹ 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 6. Hipérbola de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y” Cuya ecuación es: (𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 − (𝑥 − ℎ)2 𝑏2 = 1 Donde: * 𝐶(ℎ, 𝑘) * 𝑥′ = 𝑥 − ℎ 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘 * 𝑉1(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉2(ℎ, 𝑘 + 𝑎) * 𝐹1(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹2(ℎ, 𝑘 + 𝑐) * 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑏2 𝑎 * 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒 = 𝑐 𝑎 > 1 * 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 − 𝑘 = ± 𝑎 𝑏 (𝑥 − ℎ) * 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑥 = ℎ * 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜: 𝑦 = 𝑘 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 ⟹ 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎2 𝑐 7. Asíntotas de una Hipérbola 1ro Hipérbola Horizontal:
  • 23. 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 { 𝑃 = (𝑎, 𝑏) 𝑅 = (−𝑎, 𝑏) 𝐿1: 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑎 𝐿2: 𝑦 = − 𝑏𝑥 𝑎 2do Hipérbola Vertical: 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 { 𝑃 = (𝑏, 𝑎) 𝑅 = (−𝑏, 𝑎) 𝐿1: 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑏 𝐿2: 𝑦 = − 𝑎𝑥 𝑏 Observaciones: a) Las asíntotas de cualquier hipérbola horizontal o vertical pueden obtenerse igualando a cero el segundo miembro de la ecuación correspondiente y despejando 𝑦 = 𝐹(𝑥). * Hipérbola Horizontal 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 0 Despejando: 𝑦2 = 𝑏2 𝑥2 𝑎2 ⇒ 𝑦 = ± 𝑏𝑥 𝑎 * Hipérbola Vertical 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 0 Despejando: 𝑦2 = 𝑎2 𝑥2 𝑏2 ⇒ 𝑦 = ± 𝑎𝑥 𝑏 b) Las asíntotas de las hipérbolas en su forma canónica son conjugadas. Es decir, se la ecuación de la hipérbola es:
  • 24. 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 (𝑏𝑥 + 𝑎𝑦)(𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) = 0 Luego: (𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) = 0 ∨ (𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) = 0 c) Las asíntotas de una hipérbola sirven como líneas de guía en el gráfico. 8. Hipérbola Rectangular o Equilátera Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas son perpendiculares (a=b) Las cuatro formas son: * 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎2 * 𝑦2 −𝑥2 = 𝑎2 * (𝑥 − ℎ)2 − (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2 * (𝑦 − 𝑘)2 −(𝑥 − ℎ)2 = 𝑎2 Observaciones: a) La excentricidad de una hipérbola equilátera es constante e igual a √2. 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 + 𝑎2 𝑎 = √2 b) La longitud de cada lado recto de una hipérbola equilátera es igual a la longitud del eje transverso o conjugado. 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑎2 𝑎 = 2𝑎 También: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑏2 𝑏 = 2𝑏 c) 𝑆𝑖 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) es un punto cualquiera de la hipérbola: 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎2 y 𝑑1 y 𝑑2 son las distancias del punto 𝑃1 a las asíntotas: 𝐿1:𝑥 − 𝑦 = 0 𝑦 𝐿2: 𝑥 + 𝑦 = 0 Entonces: 𝑑1 = |𝑥1 − 𝑦1| √2 𝑦 𝑑2 = |𝑥1 + 𝑦1| √2 Donde: 𝑑1. 𝑑2 = 𝑥1 2 − 𝑦1 2 2 = 𝑎2 2 El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a sus asíntotas, es constante. 9. Casos especiales de la Hipérbola Equiláteras a) Si la Gráfica de la Hipérbola está en los Cuadrantes I y III 𝑑1. 𝑑2 = |𝑥||𝑦| = 𝑥𝑦 = 𝑎2 2 b) Si la Gráfica de la Hipérbola está en los Cuadrantes II y IV 𝑑1. 𝑑2 = |𝑥||𝑦| = −𝑥𝑦 = − 𝑎2 2 c) Si las asíntotas de la hipérbola equilátera son paralelas a los ejes coordenados, las ecuaciones son de la forma. { (𝑥 − ℎ)(𝑦 − 𝑘) = 𝑎2 2 (𝑥 − ℎ)(𝑦 − 𝑘) = − 𝑎2 2 “a” representa la distancia del centro C(h,k) de la hipérbola a su vértice 10. Hipérbolas conjugadas Cuando el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra.
  • 25. Si la ecuación de la hipérbola es: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 Entonces la hipérbola conjugada es: 𝑦2 𝑏2 − 𝑥2 𝑎2 = 1 11. Ecuación Genera de la Hipérbola 𝐴𝑥2 − 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 Reduciendo a la forma ordinaria (𝑥 + 𝐶 2𝐴 ) 2 𝑡 𝐴 − (𝑦 − 𝐷 2𝐵 ) 2 𝑡 𝐵 = 1 Donde: 𝑡 = 𝐴 (𝑥 + 𝐶 2𝐴 ) 2 − 𝐵 (𝑦 − 𝐷 2𝐵 ) 2 Observación: * Si: t>0, la ecuación representa una hipérbola con eje real o transverso coincidente o paralelo al eje “X” * Si: t=0, la ecuación representa dos rectas concurrentes * Si: t<0, la ecuación representa una hipérbola con eje real coincidente o paralelo al eje “Y” 12. Tangentes a una Hipérbola 1er Caso Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola: 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 , en un punto cualquier 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva es: 𝐿𝑇: 𝑏2 𝑥𝑥1 − 𝑎2 𝑦𝑦1 = 𝑎2 𝑏2 2do Caso Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola: 𝑏2 𝑦2 − 𝑎2 𝑥2 = 𝑎2 𝑏2 , en un punto cualquier 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva es: 𝐿𝑇: 𝑏2 𝑦𝑦1 − 𝑎2 𝑥𝑥1 = 𝑎2 𝑏2 3er Caso Las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola: 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 , de pendiente “m” son: 𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2𝑚2 − 𝑏2 |𝑚| > 𝑏 𝑎 4to Caso Las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola: 𝑏2 𝑦2 − 𝑎2 𝑥2 = 𝑎2 𝑏2 , de pendiente “m” son: 𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 − 𝑏2𝑚2 |𝑚| < 𝑏 𝑎 13. Cuerda de Contacto Si la Hipérbola es: 𝐻: 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 La ecuación de la cuerda de contacto 𝑀𝑁 ̅̅̅̅̅ es: 𝐿: 𝑏2 𝑥𝑥1 − 𝑎2 𝑦𝑦1 = 𝑎2 𝑏2 14. Ecuación del Diámetro de una Hipérbola 1er Caso: Consideramos la Hipérbola: 𝐻: 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 “P” biseca a 𝑃1𝑃2 ̅̅̅̅̅̅
  • 26. Luego: 𝐿: 𝑦 = 𝑏2𝑥 𝑎2𝑚 Donde “m” pendiente de las cuerdas paralelas 2do Caso: Consideramos la Hipérbola: 𝐻: 𝑏2 𝑦2 − 𝑎2 𝑥2 = 𝑎2 𝑏2 La ecuación de un diámetro será: Luego: 𝐿: 𝑦 = 𝑎2𝑥 𝑏2𝑚 15. Diámetros conjugados En la Hipérbola: 𝐻: 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2 * La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es: 𝐿1: 𝑦 = 𝑏2 𝑥 𝑎2𝑚 * La ecuación de su conjugada es: 𝑦 = 𝑚𝑥 Pendiente de 𝐿1: 𝑚1 = 𝑏2 𝑎2𝑚 ⟹ 𝑚. 𝑚1 = 𝑏2 𝑎2 * Para que los diámetros sean conjugados se debe cumplir: 𝑚. 𝑚1 = 𝑎2 𝑏2