matematica

1. CAPITULO I: RECTA
1. Recta
Es la representación geométrica de los números reales.
2. Sistema Coordenado Lineal
A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales
se denomina sistema coordenado lineal.
De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los
números 0; 1; 2 y x respectivamente.
3. Distancia entre dos puntos de una recta
𝑃𝑄
̅̅̅̅ = |𝑥2 − 𝑥1| = |𝑥1 − 𝑥2|
4. Punto medio
𝑥 =
1
2
(𝑥1 + 𝑥2)
5. Sistema de coordenadas rectangulares: Cartesianas o Sistema XY
Es aquel que está formado por dos rectas que se cortan perpendicularmente (una
horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que
contiene infinitos puntos.
Al plano formado por dichos ejes se llama plano cartesiano.
Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados cuadrantes.
𝑥: eje de las abscisas
𝑦: eje de las ordenadas
6. Coordenadas de un punto
EL conjunto de todos los pares ordenados (x, y) se llama plano numérico y se
denota con 𝑅2
, así:
𝑅2
= {(𝑥, 𝑦) ∕ 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅}
𝑥1: es la abscisa del punto P.
𝑦1: es la ordenada del punto P.

2. 7. Distancia entre dos puntos
𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑃2𝑃1
̅̅̅̅̅̅ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
Observación:
Cuando uses la fórmula de la distancia recuerda que:
𝑑(𝑃1; 𝑃2) = 𝑑(𝑃2; 𝑃1) y, por lo tanto, no importa el orden en que se resten las
abscisas y las ordenadas de los puntos.
8. Coordenadas del Punto Medio
Sean: 𝑃(𝑥𝑚; 𝑦𝑚) las coordenadas del punto medio-
𝑥𝑚 =
𝑥1 + 𝑥2
2
𝑦𝑚 =
𝑦1 + 𝑦2
2
9. Pendiente de un Segmento:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
10. Pendiente o Coeficiente Angular de una Recta:
𝑚 = 𝑇𝑔𝛼
𝛼: ∢ 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛
11. Angulo entre dos Rectas:

3. Donde:
𝑚1: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐿1
𝑚2: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐿2
En el gráfico observamos que el lado final de 𝛼 es 𝐿1 y el lado inicial es 𝐿2.
Entonces:
𝑇𝑔𝛼 =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1𝑚2
Observación:
a) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 > 0 ⇒ 𝛼: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐿2 𝑦 𝐿1
b) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 < 0 ⇒ 𝛼: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐿1 𝑦 𝐿2
c) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 > ±∞ ⇒ 𝛼 = ±90°, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 (𝐿1 ⊥ 𝐿2)
d) 𝑆𝑖 𝑇𝑔𝛼 = 0 ⇒ 𝛼 = 0°, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 (𝐿1 ∥ 𝐿2)
e) La condición necesaria para que dos vectores sean perpendiculares entre sí es
que el producto de sus pendientes sea igual a menos uno (-1)
𝑇𝑔𝛼 =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1𝑚2
𝑇𝑔(90°) =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1𝑚2
⇒ 𝑚1𝑚2 = −1
12. División de un segmento en una razón dada
Si: : 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2;𝑦2) son los extremos de 𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅, las coordenadas del punto
𝑃(𝑥, 𝑦) que divide a este segmento en una razón “r”
𝑟 =
𝑃1𝑃
𝑃𝑃2
; son:
𝑥 =
𝑥1 + 𝑟. 𝑥2
𝑟 + 1
𝑦 =
𝑦1 + 𝑟. 𝑦2
𝑟 + 1
Propiedades:
Si tenemos:
𝑚1 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿1 𝑦
𝑚2 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿2
a) 𝐿1 ∥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1 = 𝑚2
b) 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1. 𝑚2 = −1

4. 13. Ecuación de una recta:
1er CASO:
Datos: Pendiente (m) y un punto de la recta 𝑃1(𝑥1; 𝑦1)
(𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
2do CASO:
Datos: Dos puntos de la recta 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2; 𝑦2)
(𝑦 − 𝑦1) =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
3er CASO:
Datos: Los puntos de intersección con los ejes:
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
Ecuación simetrica de la recta
Donde: 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0
4to CASO:
Datos: Pendiente (m) y la intersección on el eje 𝑦(0, 𝑏)

5. 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
14. Ecuación general:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑚 = −
𝐴
𝐵
Observaciones
a) 𝑆𝑖 𝑚 > 0
b) 𝑆𝑖 𝑚 < 0
c) 𝑆𝑖 𝐿 ∥ 𝑥 ⟹ 𝑚 = 0
d) 𝑆𝑖 𝐿 ∥ 𝑦 ⟹ 𝑚 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

6. 15. Forma Normal de la Ecuación de una Recta
𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝑦. 𝑆𝑒𝑛𝜃 − 𝑝 = 0
Donde:
* p: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo9
* 𝑂𝑃1
̅̅̅̅̅ ⊥ 𝐿 (𝑂𝑃1
̅̅̅̅̅: 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙)
* 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°
16. Distancia de un Punto a una Recta
* 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐿: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
* 𝑃1(𝑥1;𝑦1)
Distancia del punto P a L
𝑑 =
|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
* Distancia Dirigida del Punto a una Recta
𝑑 =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
Caso I
Caso II
17. Distancia entre dos rectas paralelas
Dadas las rectas
𝐿1:𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0
𝐿2: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0

7. 𝑑 =
|𝐶1 − 𝐶2|
√𝐴2 + 𝐵2
18. La Bisectriz de un Ángulo
Las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por las rectas que se
intersectan
𝐿1:𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0
𝐿2: 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0
Tiene por ecuaciones
|𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1|
√𝐴1
2
+ 𝐵1
2
=
|𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2|
√𝐴2
2
+ 𝐵2
2
* 𝐿: 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
* 𝐿´: 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
* 𝑃: 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿1 𝑦 𝐿2 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 |𝑑1| = |𝑑2|
* 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐿´: 𝑑1 = 𝑑2
* 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐿: 𝑑1 = −𝑑2
19. Coordenadas del Baricentro de un Triángulo
Si: 𝐺 = (𝑥; 𝑦), es la posición del baricentro de un triángulo ABC, tal que:
𝐴 = (𝑥1; 𝑦1)
𝐵 = (𝑥2; 𝑦2)
𝐶 = (𝑥3; 𝑦3)
Entonces:
Se cumple:
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
3
𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
3
20. Área de una Región Triangular
Si tenemos:
𝐴 = (𝑥1; 𝑦1); 𝐵 = (𝑥2; 𝑦2); 𝐶 = (𝑥3;𝑦3)
Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:
𝑆 =
1
2
|
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
|

8. Método práctico para determinar el área de una región triangular.
Si tenemos:
Entonces el Área: 𝑆 =
1
2
|𝑀 − 𝑁|
Sabiendo que:
21. Área de una región poligonal
Sean 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑛, un polígono cuyos vértices, nombrados en sentido
antihorario tienen coordenadas:
𝐴1(𝑥1;𝑦1), 𝐴2(𝑥2;𝑦2), 𝐴3(𝑥3;𝑦3), … 𝐴𝑛(𝑥𝑛;𝑦𝑛),
Luego el área del polígono:
: 𝑆 =
1
2
|𝐴 − 𝐵|
CAPÍTULO II
CIRCUNFERENCIA
1. Circunferencia:
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano, que se mueve a una distancia
constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro)
Si tenemos:

9. Donde:
{
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑟: 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜
𝐴𝐵
̅̅̅̅: 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝑟
𝐸𝐹
̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
𝐿𝑁: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝐿𝑇: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
Formas de la circunferencia
2. Forma Ordinaria
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
3. Forma Canónica (Ecuación cuando el centro está en el origen)
De la definición:
𝒞: {𝑃(𝑥; 𝑦)/𝑑(𝑃, 𝑂) = 𝑟}
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
4. Circunferencia Tangente al eje “X”
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑘2
Donde: 𝑟 = |𝑘|
5. Circunferencia Tangente al eje “Y”
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= ℎ2
Donde: 𝑟 = |ℎ|

10. 6. Forma General
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Completando cuadrados
(𝑥 +
𝐴
2
)
2
+ (𝑥 +
𝐵
2
)
2
=
𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶
4
De aquí se tiene tres casos:
1er Caso:
Si 𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶 > 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐶 = (−
𝐴
2
, −
𝐵
2
) y
𝑟 =
1
2
√𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶
2do Caso:
Si 𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶 = 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐶 = (−
𝐴
2
, −
𝐵
2
)
(Representa un solo punto)
3er Caso:
Si 𝐴2
+ 𝐵2
− 4𝐶 < 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
(La ecuación representa a una circunferencia imaginaria)
7. Ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos
𝑃1(𝑥1; 𝑦1), 𝑃2(𝑥2;𝑦2) 𝑦 𝑃3(𝑥3;𝑦3), está dado por e determinante:
|
|
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥 𝑦
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥1 𝑦1
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥2 𝑦2
1
1
1
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥3 𝑦3 1
|
| = 0
El cual permite determinar las incógnitas: A, B, C de la ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
8. Familia de Circunferencias que pasan por la Intersección de las
circunferencias
Si tenemos dos circunferencias:
{
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0
Luego la familia de circunferencias que pasan por la intersección de estas dos
circunferencias esta expresado por:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + 𝑘(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2) = 0
Donde 𝑘 ∈ ℝ
También se puede expresar de la forma:
(1 + 𝑘)𝑥2
+ (1 + 𝑘)𝑦2
+ (𝐴1 + 𝑘𝐴2)𝑥 + (𝐵1 + 𝑘𝐵2)𝑦 + 𝐶1 + 𝑘𝐶2 = 0
Si 𝑘 = −1; se obtiene una recta L llamado eje radical

11. 9. Tangente de la circunferencia
* Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada en un
punto dado de contacto se toma la recta.
⟹ 𝐿: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
*Para hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada,
conociendo su pendiente m se toma la recta:
⟹ 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘
En cada caso se aplica la condición de tangencia es decir que al reemplazar la
recta tangente en la ecuación de la circunferencia al despejar x ó y el
discriminante se iguala a cero.
CAPITULO III
PARABOLA
1. Parábola
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano, que se mueve a una distancia
que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (foco) que no
pertenece a la recta fija
Si tenemos:
Donde:
{
𝐹: 𝐹𝑜𝑐𝑜 (𝑃𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜)
𝑉: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑃𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)
𝐿1: 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 (⊥ 𝑎 𝐿)
𝐶𝐷
̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑 𝐹𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐴𝐵
̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜 ⊥ 𝐿1
|𝑉𝐹
̅̅̅̅| = 𝑃: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
|𝑉𝐹
̅̅̅̅| = |𝑉𝐿
̅̅̅̅|
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝑃(𝑉𝐹
̅̅̅̅ = 𝑉𝐿
̅̅̅̅)
Formas de la Parábola
2. Parábola de Vértice en el Origen y Eje Focal en el Eje “x”

12. Cuya ecuación es: 𝑦2
= 4𝑝𝑥
a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha
b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda
Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝|
𝑥 = −𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
3. Parábola de Vértice en el Origen y Eje Focal en el Eje “y”
Cuya ecuación es: 𝑥2
= 4𝑝𝑦
a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba
b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo

13. Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑦 = −𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
4. Parábola de vértice V(h,k) y Eje Focal en el Eje “x”
Cuya ecuación es:
(𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha
b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda
Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑥 = ℎ − 𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
5. Parábola de Vértice V(h,k) y Eje Focal en el Eje “y”
Cuta ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

14. a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba
b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo
Donde:
{
𝐴𝐵 = |4𝑝| 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑥 = 𝑘 − 𝑝 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
6. Ecuación General de la Parábola
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
a) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “x” {𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0} luego la
ecuación será:
𝑦2
+ 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
b) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “y” {𝐴 ≠ 0, 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0} luego la
ecuación será:
𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
7. Ecuación de la Tangente y la Normal a la Parábola
a) Para la Parábola 𝑦2
= 4𝑝𝑥

15. {
𝑚𝐿𝑆
=
4𝑝
𝑦2 + 𝑦1
𝑚𝐿𝑇
=
2𝑝
𝑦1
𝑚𝐿𝑁
= −
𝑦1
2𝑝
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
2𝑝
𝑦1
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
𝑦1
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
b) Para la Parábola
(𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
2𝑝
𝑦1 − 𝑘
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
𝑦1 − 𝑘
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
c) Para la Parábola
𝑥2
= 4𝑝𝑦
{
𝑚𝐿𝑆
=
𝑥2 + 𝑥1
4𝑝
𝑚𝐿𝑇
=
𝑥1
2𝑝
𝑚𝐿𝑁
= −
2𝑝
𝑥1
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
𝑥1
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
2𝑝
𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
d) Para la Parábola
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
{
𝐿𝑇 : 𝑦 − 𝑦1 =
𝑥1 − ℎ
2𝑝
(𝑥 − 𝑥1)
𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦1 = −
2𝑝
𝑥1 − ℎ
(𝑥 − 𝑥1)
8. Teoremas
1ro La recta tangente a la parábola
𝑦2
= 4𝑝𝑥 en cualquier punto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva tiene por ecuación:
𝐿𝑇 : 𝑦1(𝑦 − 𝑦1) = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1)

16. 2do La recta tangente de pendiente “m” a la parábola
𝑦2
= 4𝑝𝑥 tiene por ecuación:
𝐿𝑇 : 𝑦 = 𝑚𝑥 +
𝑝
𝑚
{𝑚 ≠ 0}
CAPITULO IV
ELIPSE
1. Elipse
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en un plano de tal
manera que la suma de sus distancias a dos punto fijos 𝐹1 𝑦 𝐹2 de ese plano, es
una constante.
Donde:
{
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑉1 𝑦 𝑉2: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1 𝑦 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 (𝐹1𝐹2 = 2𝑐)
𝐿: 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝑉1𝑉2 = 2𝑎
𝐿1:𝐸𝑗𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝐵1𝐵2 = 2𝑏
𝐷𝐷 𝑦 𝐷′
𝐷′
:𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑇𝑈
̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑀𝐼
̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
𝑅𝐸
̅̅̅̅: 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑃𝐹1
̅̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝐹2
̅̅̅̅̅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝐹1𝐹2
̅̅̅̅̅̅:𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
2. Relaciones fundamentales
a)
b)
⟹ 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
3. Elipse de Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje “X”
Cuya Ecuación es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1

17. Donde:
* 𝑉1(−𝑎, 0) 𝑦 𝑉2(𝑎, 0): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(0, 𝑏) 𝑦 𝐵2(0, −𝑏): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(−𝑐, 0) 𝑦 𝐹2(𝑐, 0): Son los focos.
* 𝑥 = ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
* e: Excentricidad ⇒ 𝑒 =
𝑐
𝑎
* Lado recto ⇒
2𝑏2
𝑎
4. Elipse de Centro en el Origen y Eje Focal en el Eje “Y”
Cuya Ecuación es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(0, −𝑎) 𝑦 𝑉2(0, 𝑎): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(𝑏, 0) 𝑦 𝐵2(−𝑏, 0): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(0, −𝑐) 𝑦 𝐹2(0, 𝑐): Son los focos.
* 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
* e: excentricidad ⇒ 𝑒 =
𝑐
𝑎
* Lado recto ⇒
2𝑏2
𝑎
5. Elipse de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “X”
Cuya ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉2(ℎ + 𝑎, 𝑘): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) 𝑦 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘): Son los focos.
* 𝑥 = ℎ ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
6. Elipse de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”

18. Cuya ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1
Donde:
* 𝑉1(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉2(ℎ, 𝑘 + 𝑎): Son los vértices de la elipse.
* 𝐵1(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵2(ℎ + 𝑏, 𝑘): Son los extremos del eje menor.
* 𝐹1(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹2(ℎ, 𝑘 + 𝑐): Son los focos.
* 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
: Ecuación de la directriz.
7. Propiedades de la elipse
Si tenemos:
Donde:
𝑑(𝑃, 𝐹1)
𝑑(𝑃, 𝐿1)
= 𝑒 =
𝑑(𝑃, 𝐹2)
𝑑(𝑃, 𝐿2)
𝑒: 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
Propiedades:
* 𝑑(𝐵1, 𝐹1) = 𝑑(𝐵1, 𝐹2) = 𝑎
* 𝑑(𝐵2, 𝐹1) = 𝑑(𝐵2, 𝐹2) = 𝑎
* 𝑑(𝐶, 𝐿1) = 𝑑(𝐶, 𝐿2) =
𝑎
𝑒
* 𝑐 = 𝑎𝑒
* 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
* 0 < 𝑒 < 1 ∨ 𝑒 =
𝑐
𝑎
< 1
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
8. Ecuación General de la Elipse
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Reduciendo a la forma ordinaria
(𝑥 +
𝐶
2𝐴)
2
𝐵𝑇
+
(𝑦 +
𝐷
2𝐵)
2
𝐴𝑇
= 1
Donde:
𝑇 =
𝐵𝐶2
+ 𝐴𝐷2
− 4𝐴𝐵𝐸
4𝐴2𝐵2
9. Tangente a una Elipse

19. 1er Caso
Ecuación de la recta tangente a la elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
En cualquier punto
𝑃1(𝑥1, 𝑦1)
𝐿𝑇: 𝑎2
𝑦𝑦1 + 𝑏2
𝑥𝑥1 = 𝑎2
𝑏2
2do Caso
Ecuación de la recta tangente de pendiente “m” a la elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2𝑚2 + 𝑏2
10. Ecuación del Diámetro de una Elipse
1er Caso
Si la elipse es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
P(x,y) un punto del lugar geométrico y 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) los extremos de la
cuerda dado que “P” biseca al 𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅
𝐿: 𝑦 = −
𝑏2
𝑥
𝑎2𝑚
2do Caso
Si la elipse es:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
La ecuación del diámetro es:
𝐿: 𝑦 = −
𝑎2
𝑥
𝑏2𝑚
3er Caso
Si la elipse es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
La ecuación del diámetro es:
𝐿: 𝑦 − 𝑘 = −
𝑏2(𝑥 − ℎ)
𝑎2𝑚
4to Caso
Si la elipse es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1
La ecuación del diámetro es:
𝐿: 𝑦 − 𝑘 = −
𝑎2(𝑥 − ℎ)
𝑏2𝑚
11. Diámetros conjugados
Si tenemos la elipse
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m”, es:
𝐿: 𝑦 = −
𝑏2
𝑥
𝑎2𝑚
Ecuación de su diámetro conjugado
𝐿1: 𝑦 = 𝑚𝑥
Propiedades:
1ro si la elipse es de la forma:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Entonces:
𝑚. 𝑚1 = −
𝑏2
𝑎2
“𝑚” 𝑦 “𝑚1" pendientes de los diámetros conjugados.
2do Si la elipse es de la forma:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
Entonces:

20. 𝑚. 𝑚1 = −
𝑎2
𝑏2
“𝑚” 𝑦 “𝑚1" pendientes de los diámetros conjugados.
12. Cuerda de Contacto
Si tenemos la elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝐿: 𝑎2
𝑦𝑦1 + 𝑏2
𝑥𝑥1 = 𝑎2
𝑏2
CAPITULO V
HIPERBOLA
1. Hipérbola
Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en un plano de tal
manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (𝐹1 𝑦 𝐹2) llamados
focos, es siempre igual una constante positiva “2a”
Elementos:
{
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐹1𝐹2
̅̅̅̅̅̅
𝑉1 𝑦 𝑉2: 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1 𝑦 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 (𝐹1𝐹2 = 2𝑐)
𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 (𝑉1𝑉2 = 2𝑎)
𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 (𝐵1𝐵2 = 2𝑏)
𝐼𝑉
̅̅̅:𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑀𝑇
̅̅̅̅̅: 𝐶𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐹𝑜𝑐𝑎𝑙
𝑃𝐹1
̅̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝐹2
̅̅̅̅̅ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
Excentricidad (e) de la hipérbola
𝑑(𝑃, 𝐹1)
𝑑(𝑃, 𝐿1)
= 𝑒 =
𝑑(𝑃, 𝐹2)
𝑑(𝑃, 𝐿2)
Propiedades:
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
* 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
* 𝑐 = 𝑎𝑒
* 𝑑(𝐶, 𝐿1) = 𝑑(𝐶, 𝐿2) =
𝑎
𝑒
* 𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1
* Si a=b, entonces la hipérbola es equilátera (𝑒 = √2)
* Distancia entre las rectas directrices
𝐿1𝐿2
̅̅̅̅̅̅ =
2𝑎2
𝑐

21. 2. Relaciones fundamentales
3. Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “X”
Cuya ecuación es:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(−𝑎, 0) 𝑦 𝑉2(𝑎, 0)
* 𝐹1(−𝑐, 0) 𝑦 𝐹2(𝑐, 0)
Ecuación de sus directrices
⟹ 𝑥 = ±
𝑎2
𝑐
4. Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “Y”
Cuya ecuación es:
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝑉1(0, −𝑎) 𝑦 𝑉2(0, 𝑎)
* 𝐹1(0, −𝑐) 𝑦 𝐹2(0, 𝑐)
Ecuación de sus directrices
⟹ 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
5. Hipérbola de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal Paralelo al eje “X”

22. Cuya ecuación es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝐶(ℎ, 𝑘)
* 𝑥′
= 𝑥 − ℎ 𝑦′
= 𝑦 − 𝑘
* 𝑉1(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉2(ℎ + 𝑎, 𝑘)
* 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘)
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
* 𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1
* 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ)
* 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑦 = 𝑘
* 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜: 𝑥 = ℎ
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
⟹ 𝑥 = ℎ ±
𝑎2
𝑐
6. Hipérbola de Centro el Punto C(h,k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”
Cuya ecuación es:
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
Donde:
* 𝐶(ℎ, 𝑘)
* 𝑥′
= 𝑥 − ℎ 𝑦′
= 𝑦 − 𝑘
* 𝑉1(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉2(ℎ, 𝑘 + 𝑎)
* 𝐹1(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹2(ℎ, 𝑘 + 𝑐)
* 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑎
* 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1
* 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ)
* 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑥 = ℎ
* 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜: 𝑦 = 𝑘
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
⟹ 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
7. Asíntotas de una Hipérbola
1ro Hipérbola Horizontal:

23. 𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
{
𝑃 = (𝑎, 𝑏)
𝑅 = (−𝑎, 𝑏)
𝐿1: 𝑦 =
𝑏𝑥
𝑎
𝐿2: 𝑦 = −
𝑏𝑥
𝑎
2do Hipérbola Vertical:
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
{
𝑃 = (𝑏, 𝑎)
𝑅 = (−𝑏, 𝑎)
𝐿1: 𝑦 =
𝑎𝑥
𝑏
𝐿2: 𝑦 = −
𝑎𝑥
𝑏
Observaciones:
a) Las asíntotas de cualquier hipérbola horizontal o vertical pueden obtenerse
igualando a cero el segundo miembro de la ecuación correspondiente y
despejando 𝑦 = 𝐹(𝑥).
* Hipérbola Horizontal
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0
Despejando:
𝑦2
=
𝑏2
𝑥2
𝑎2
⇒ 𝑦 = ±
𝑏𝑥
𝑎
* Hipérbola Vertical
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 0
Despejando:
𝑦2
=
𝑎2
𝑥2
𝑏2
⇒ 𝑦 = ±
𝑎𝑥
𝑏
b) Las asíntotas de las hipérbolas en su forma canónica son conjugadas. Es decir,
se la ecuación de la hipérbola es:

24. 𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦)(𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) = 0
Luego:
(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) = 0 ∨ (𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) = 0
c) Las asíntotas de una hipérbola sirven como líneas de guía en el gráfico.
8. Hipérbola Rectangular o Equilátera
Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas son
perpendiculares (a=b)
Las cuatro formas son:
* 𝑥2
− 𝑦2
= 𝑎2
* 𝑦2
−𝑥2
= 𝑎2
* (𝑥 − ℎ)2
− (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑎2
* (𝑦 − 𝑘)2
−(𝑥 − ℎ)2
= 𝑎2
Observaciones:
a) La excentricidad de una hipérbola equilátera es constante e igual a √2.
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 + 𝑎2
𝑎
= √2
b) La longitud de cada lado recto de una hipérbola equilátera es igual a la longitud
del eje transverso o conjugado.
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑎2
𝑎
= 2𝑎
También:
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 =
2𝑏2
𝑏
= 2𝑏
c) 𝑆𝑖 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) es un punto cualquiera de la hipérbola: 𝑥2
− 𝑦2
= 𝑎2
y 𝑑1 y 𝑑2
son las distancias del punto 𝑃1 a las asíntotas:
𝐿1:𝑥 − 𝑦 = 0 𝑦 𝐿2: 𝑥 + 𝑦 = 0
Entonces:
𝑑1 =
|𝑥1 − 𝑦1|
√2
𝑦 𝑑2 =
|𝑥1 + 𝑦1|
√2
Donde:
𝑑1. 𝑑2 =
𝑥1
2
− 𝑦1
2
2
=
𝑎2
2
El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a
sus asíntotas, es constante.
9. Casos especiales de la Hipérbola Equiláteras
a) Si la Gráfica de la Hipérbola está en los Cuadrantes I y III
𝑑1. 𝑑2 = |𝑥||𝑦| = 𝑥𝑦 =
𝑎2
2
b) Si la Gráfica de la Hipérbola está en los Cuadrantes II y IV
𝑑1. 𝑑2 = |𝑥||𝑦| = −𝑥𝑦 = −
𝑎2
2
c) Si las asíntotas de la hipérbola equilátera son paralelas a los ejes coordenados,
las ecuaciones son de la forma.
{
(𝑥 − ℎ)(𝑦 − 𝑘) =
𝑎2
2
(𝑥 − ℎ)(𝑦 − 𝑘) = −
𝑎2
2
“a” representa la distancia del centro C(h,k) de la hipérbola a su vértice
10. Hipérbolas conjugadas
Cuando el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra.

25. Si la ecuación de la hipérbola es:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Entonces la hipérbola conjugada es:
𝑦2
𝑏2
−
𝑥2
𝑎2
= 1
11. Ecuación Genera de la Hipérbola
𝐴𝑥2
− 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Reduciendo a la forma ordinaria
(𝑥 +
𝐶
2𝐴
)
2
𝑡
𝐴
−
(𝑦 −
𝐷
2𝐵
)
2
𝑡
𝐵
= 1
Donde:
𝑡 = 𝐴 (𝑥 +
𝐶
2𝐴
)
2
− 𝐵 (𝑦 −
𝐷
2𝐵
)
2
Observación:
* Si: t>0, la ecuación representa una hipérbola con eje real o transverso
coincidente o paralelo al eje “X”
* Si: t=0, la ecuación representa dos rectas concurrentes
* Si: t<0, la ecuación representa una hipérbola con eje real coincidente o paralelo
al eje “Y”
12. Tangentes a una Hipérbola
1er Caso
Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:
𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
, en un punto cualquier 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva es:
𝐿𝑇: 𝑏2
𝑥𝑥1 − 𝑎2
𝑦𝑦1 = 𝑎2
𝑏2
2do Caso
Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:
𝑏2
𝑦2
− 𝑎2
𝑥2
= 𝑎2
𝑏2
, en un punto cualquier 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) de la curva es:
𝐿𝑇: 𝑏2
𝑦𝑦1 − 𝑎2
𝑥𝑥1 = 𝑎2
𝑏2
3er Caso
Las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:
𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
, de pendiente “m” son:
𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2𝑚2 − 𝑏2 |𝑚| >
𝑏
𝑎
4to Caso
Las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:
𝑏2
𝑦2
− 𝑎2
𝑥2
= 𝑎2
𝑏2
, de pendiente “m” son:
𝐿𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 − 𝑏2𝑚2 |𝑚| <
𝑏
𝑎
13. Cuerda de Contacto
Si la Hipérbola es:
𝐻: 𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
La ecuación de la cuerda de contacto 𝑀𝑁
̅̅̅̅̅ es:
𝐿: 𝑏2
𝑥𝑥1 − 𝑎2
𝑦𝑦1 = 𝑎2
𝑏2
14. Ecuación del Diámetro de una Hipérbola
1er Caso:
Consideramos la Hipérbola:
𝐻: 𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
“P” biseca a 𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅

26. Luego: 𝐿: 𝑦 =
𝑏2𝑥
𝑎2𝑚
Donde “m” pendiente de las cuerdas paralelas
2do Caso:
Consideramos la Hipérbola:
𝐻: 𝑏2
𝑦2
− 𝑎2
𝑥2
= 𝑎2
𝑏2
La ecuación de un diámetro será:
Luego: 𝐿: 𝑦 =
𝑎2𝑥
𝑏2𝑚
15. Diámetros conjugados
En la Hipérbola:
𝐻: 𝑏2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
* La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:
𝐿1: 𝑦 =
𝑏2
𝑥
𝑎2𝑚
* La ecuación de su conjugada es:
𝑦 = 𝑚𝑥
Pendiente de 𝐿1:
𝑚1 =
𝑏2
𝑎2𝑚
⟹ 𝑚. 𝑚1 =
𝑏2
𝑎2
* Para que los diámetros sean conjugados se debe cumplir:
𝑚. 𝑚1 =
𝑎2
𝑏2