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Introducción a la GEOMETRIA ANALITICA Shirley Bromberg Raquel Valdés Versión Preliminar

Geometría Euclidiana Geometría Cartesiana Geometría Sintética Geometría Analítica

[object Object],[object Object],[object Object],Los seis primeros contienen una sistematización del conocimiento de Geometría Plana básica de su época. Se convierten en el paradigma de exposición científica. Autor de trece volúmenes de ELEMENTOS.

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Creador, junto con Fermat, del METODO DE LAS COORDENADAS que transforma problemas geométricos en problemas algebraicos

Plano Euclidiano Plano Cartesiano Lugares geométricos Ecuaciones

[object Object],P O eje de abscisas eje de ordenadas origen de coordenadas x (x,y) y x y (0,0)

Geometría Sintética Geometría Analítica Ecuación de la recta Dos puntos determinan una recta.

[object Object],O P Q P´ Q´ (x,y) (x 1 ,y 1 ) El punto Q es un punto arbitrario sobre la recta, con coordenadas (x,y) Consideremos la recta que une el origen con el punto P. P Las coordenadas de P son (x 1 ,y 1 ) Al trazar las proyecciones, obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes: OPP´ y OQQ´. El teorema de Thales implica

[object Object],[object Object],tiene sentido siempre cuando Notemos que la expresión es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto

es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto significa que los puntos de esa recta son precisamente aquellos que tienen la forma Decir que

PREGUNTA ¿ Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto cuando ? ¿Cuál es esta recta?

[object Object],P´ Q´ R(x,y) P(x 1 ,y 1 ) Q(x 2 ,y 2 ) De nuevo, En coordenadas, Consideremos la recta l que pasa por los puntos P(x 1 ,y 1 ) y Q(x 2 ,y 2 ).

tiene sentido siempre cuando Como en el caso de las rectas que pasan por el origen, la expresión

Despejamos para obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos y Si , llamamos como antes pendiente de la recta a

[object Object],P(x 1 ,y 1 ) Q(x 2 ,y 2 ) Observemos que es también el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas. Por lo tanto, Por las definiciones, y también, La pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje de las abscisas con la recta (en esta dirección).

Geometría Sintética Geometría Analítica Rectas secantes. Condiciones sobre la pendiente. Geometría Analítica: Rectas secantes. l 1 l 2 P(x 0 ,y 0 ) Si Si P(x 0 ,y 0 ) está sobre la recta l 1 de ecuación y sobre la recta l 2 de ecuación Entonces es solución del sistema

Geometría Analítica: Rectas secantes. Resolvamos el sistema Cuando remplazamos el valor de y de la segunda ecuación en la primera obtenemos Operamos y agrupamos

Geometría Analítica: Rectas secantes. La ecuación tiene solución siempre que CONSECUENCIA Dos rectas con pendientes distintas siempre se intersectan. POR CONSIGUIENTE…

Geometría Sintética Geometría Analítica Rectas Paralelas son aquellas que no se intersectan. Tienen la misma pendiente.

Geometría Sintética Geometría Analítica Teorema de Pitágoras Distancia entre dos puntos

[object Object],P Q (x 1 ,y 1 ) (x 2 ,y 2 ) |y 2 -y 1 | |x 2 -x 1 | Por el Teorema de Pit ágoras

El triángulo POQ es rectángulo. Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras afirma Condiciones sobre la pendiente. Como P(x 1 ,y 1 ) está sobre la recta l 1 de ecuación Geometría Sintética Geometría Analítica Rectas Perpendiculares. Geometría Analítica: Rectas Perpendiculares. l 1 l 2 Q(x 2 ,y 2 ) y como Q(x 2 ,y 2 ) está sobre la recta l 2 de ecuación P(x 1 ,y 1 ) O Las rectas l 1 y l 2 son perpendiculares |OP| 2 +|OQ| 2 =|PQ| 2 entonces entonces

Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. obtenemos Como y

Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. obtenemos De y cuando simplificamos

Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. Hemos mostrado que dos rectas de pendientes son perpendiculares , cuando y sólo cuando

Geometría Analítica: Algunos ejercicios . Hallar los puntos sobre el eje de las abscisas que distan 5 del punto P(2,-3) Dados P(2,2) y Q(5,-2), hallar los puntos R sobre el eje de las abscisas tales que el ángulo es recto.

Geometría Sintética Geometría Analítica Circunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto dado Ecuación de la circunferencia

[object Object],C Q (x 1 ,y 1 ) (x,y) r

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