Este documento presenta una unidad sobre la recta en geometría analítica. Explica conceptos clave como pendiente, perpendicularidad, paralelismo y más. El objetivo es que los estudiantes desarrollen un entendimiento de la recta utilizando una metodología diferente al aula regular. Se justifica que este trabajo mejorará los aspectos más importantes del estudio de la geometría analítica.

1. Institución educativa comercial del

2. PRESENTADO A :
ARIEL PINO
PRESENTADO POR :
RIcARDO fARINANgO
fRANcIScO ANDRADE
DIEgO guRRuTE
SANTIAgO LóPEz
gRADO 10 B

3. INDIcE
• Presentación
• introducción
• índice
• objetivos
• justificación
• Marco teórico
• contenido
• conclusiones
• bibliografía

4. En esta unidad, el alumno desarrollará losEn esta unidad, el alumno desarrollará los
conocimientos sobre la recta, utilizando unaconocimientos sobre la recta, utilizando una
metodología y un entorno de trabajo diferente al delmetodología y un entorno de trabajo diferente al del
aula.aula.
Para llevar a cabo esta unidad, el alumno tiene puesPara llevar a cabo esta unidad, el alumno tiene pues
que haber realizado el estudio teórico de la recta.que haber realizado el estudio teórico de la recta.
Conocerá, por tanto su definición, ecuación,Conocerá, por tanto su definición, ecuación,
elementos, parámetros y propiedades elementaleselementos, parámetros y propiedades elementales

5. ¿ Que es la correlación?
¿ Que es la asíntota ?
¿ Que es perpendicularidad?
¿ Que es paralelismo ?
¿ Que es pendiente ?
¿ Que es la recta ?
La recta en el espacio.
La recta en el plano.
Funciones.
Ecuación general de una recta
Representación de una ecuación lineal con dos incógnitas.

6.  Identificar los diferentes tipos de rectas
 Analizar las situaciones en que es
conveniente utilizar cada una de sus
aplicaciones.
 Conocer las diferentes ecuaciones para la
recta dada al problema expuesto

7. El trabajo que se presentara a continuación
sobre la recta, brindara un gran apoyo tanto a
los alumnos como al docente, permitiendo así
mejorar los aspectos mas revelantes e
importantes que se pueden presentar en
nuestro estudio sobre la Geometría Analítica
Por medio de estos trabajos, queremos
impulsar a los estudiantes a idear nuevos
métodos de estudio, para así facilitar el
aprendizaje

8. La recta, se constituye en el principal tema de la
Geometría Analítica, por esto queremos dar a
conocer las diferentes formas de solución para cada
forma de ellas, ya sea una recta positiva o negativa

9. La recta de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras
geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas
usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se
puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las
distancias del punto a cada uno de los ejes.

10. Perpendicularidad, posición que ocupan dos rectas que, al cortarse, forman cuatro
ángulos iguales. También se habla de perpendicularidad de recta y plano y de
perpendicularidad de planos. Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º
(recto). Dos rectas que se cortan y que no son perpendiculares se llaman oblicuas.

11. 1 PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO
En el espacio, una recta se dice que es perpendicular a un plano cuando lo
corta de modo que es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan
por el punto de corte. El segmento de perpendicular desde un punto a un
plano es menor que cualquier otro segmento trazado desde el punto al plano.
Por eso, a la longitud de ese segmento se le llama distancia del punto al
plano.
2 PERPENDICULARIDAD DE PLANOS
Dos planos son perpendiculares si determinan cuatro diedros iguales. Dos
planos que se cortan y que no son perpendiculares se llaman oblicuos.

12. Paralelismo, posición de dos líneas rectas que, aun estando en el mismo plano, no
tienen ningún punto en común
En el plano, dos rectas distintas pueden cortarse en un punto (se llaman secantes)
o ser paralelas, si no tienen ningún punto común.
2 PARALELISMO EN EL ESPACIO
Dos rectas en el espacio que no se cortan, es decir, que no tienen ningún punto
común, pueden cruzarse o ser paralelas. Es decir, dos rectas distintas en el
espacio pueden estar en una de las siguientes posiciones:
• Se cortan, si tienen un punto común (en tal caso hay un plano que las contiene a
las dos).
• Son paralelas, si están sobre un mismo plano pero no tienen ningún punto
común.
• Se cruzan, si no hay ningún plano que contenga a ambas.

13. Una recta y un plano en el espacio pueden ocupar una de
estas tres posiciones relativas:
• La recta está contenida en el plano (todos los puntos de
la recta están en el plano).
• La recta corta al plano en un único punto.
• La recta es paralela al plano (no tienen ningún punto
común).
Dos planos distintos en el espacio pueden ocupar una de
estas posiciones:
• Se cortan, si tienen una recta común.
• Son paralelos, si no tienen ningún punto común.
Dos planos paralelos se mantienen siempre a la misma
distancia.

14. Correlación,relación entre las dos variables de una distribución
bidimensional. Se mide mediante el coeficiente de correlación,
r
.
El valor del coeficiente de correlación oscila entre –1 y 1 (-1 ≤
r ≤ 1). En cada caso concreto, el valor de r indica el tipo de
relación entre las variables x e y.
Cuando |r|es próximo a 1, la correlación es fuerte, lo que
significa que las variaciones de una de las variables
repercuten fuertemente en la otra. Mientras que si |r|es
próximo a 0, la correlación es muy débil y las variables están
muy poco relacionadas.

15. AsíntotA,
línea recta asociada con una curva, que tiene la propiedad de
que si un punto se mueve a lo largo de la curva hacia infinito,
la distancia del punto a la recta tiende hacia cero.
Las asíntotas pueden ser definidas formalmente usando el
concepto de límite. Se dice que la recta y = L es una asíntota
horizontal a la curva de la función y = f(x) si el límite de f(x)
cuando x tiende a infinito o menos infinito es igual a L. Se dice
que la recta x = L es una asíntota vertical si el límite de f(x)
cuando x tiende hacia L (sea por la derecha o por la izquierda
de L) es igual a infinito o menos infinito

16. Superficie cónica, la que se genera al girar una recta
alrededor de otra a la cual corta. Si se tienen dos rectas,
e y g, que se cortan en un punto V (figura 1) y hacemos
girar la recta g alrededor de e, se obtiene una figura
formada por dos conos infinitos opuestos por el vértice
(figura 2).

17. En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m
corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de
posición.
La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una
recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en
que la recta interceptará al eje de las ordenadas.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de
posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1
,y1
) y (x2
,y2
), la
pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia
de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las
abscisas de los mismos puntos, o sea
Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.
En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de
posición quedan determinados por:

18. Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una
ecuación principal. Ax + By + C = 0
Ax + By = -C
By = -Ax - C
y =
y =
donde se demuestran los valores de m y n antes dado.
RECTA
punto - pendiente
Si se elige un punto cualquiera del plano y una determinada
inclinación (pendiente) sólo hay una recta que satisface esas
condiciones
Al conjunto de rectas que pasan por un mismo punto se le
denomina haz de rectas concurrentes.
Al conjunto de rectas paralelas, con la misma pendiente se le
denomina haz de rectas paralelas.

19.
II Vectores de dirección de la recta definida por un punto y su
pendiente
Los vectores de dirección de la recta estarán determinados por el
punto P y un punto cualquiera de la recta (x,y) . Se puede
considerar al punto P como origen del vector y al punto (x,y) como
extremo.
4.- Observa el vector de dirección en distintos casos. Fijado el punto
P y la pendiente, queda determinada una recta. Al cambiar el valor
de la abscisa se van obteniendo los distintos puntos de la recta.
III Relación entre las coordenadas del vector director y las coordenadas de los
puntos P y (x,y)
Las coordenadas del vector director son los números que hay que sumar a las
coordenadas del origen para obtener las del extremo.
5.- Comprueba que las coordenadas del extremo menos las del origen dan las
coordenadas del vector director, sean cuales sean los puntos y la pendiente que
elijas.

20. IV Relación entre cualquier vector director de una recta y su pendiente (m)
El cociente de la ordenada entre la abscisa de cualquier vector director de una
recta concreta siempre da el mismo resultado.
6.- Observa las coordenadas del vector de dirección e intenta encontrar una
relación entre esas coordenadas y la pendiente de la recta.
V Ecuación de la recta que pasa por P y tiene de pendiente m
En la actividad anterior habrás obtenido que el cociente de la ordenada entre la
abscisa de cualquier vector director es precisamente la pendiente de esa recta.
Por lo tanto si (p1,p2) son las coordenadas de P, (x,y) es un punto cualquiera de
la recta y m su pendiente se verifica que:
VI Relación entre el ángulo de una recta y su pendiente
Se llama ángulo de una recta al que forma esa recta y el semieje OX positivo.

21. . Pendiente es la medida de la inclinación de una recta dada en un
sistema de ejes cartesianos
La pendiente de una recta es el aumento de la ordenada, y, cuando
abscisa, x, aumenta una unidad. Si (x0,y0), (x1,y1) son dos puntos
de la recta, la pendiente se obtiene del siguiente modo:
m = (y1 – y0)/(x1 – x0)
Por ejemplo, si una recta pasa por los puntos (0,4) y (5,7) su
pendiente es
m = (7 – 4)/(5 – 0) = 3/5
Por tanto, su ecuación será:
y = 4 + (3/5)x
y = 4 + (3/5)x

22. Recta, en geometría, una línea infinita que describe de
forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de
rayo de luz
La recta, al igual que el punto o el plano, es un
concepto primitivo, que no pueden definir recurriendo a
otros conceptos que, a su vez, para ser definidos
requieren de la recta.
Una recta es ilimitada ,o sea ,puede prolongarse
indefinidamente en cualquiera de sus dos sentidos y,por
lo tanto ,no tiene ni origen ni final.

23. Los restantes números reales (racionales o irracionales) se
sitúan sobre la recta bien valiéndose de construcciones
geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales
que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener
en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este
modo se establece una correspondencia biunívoca entre
números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le
corresponde un número real y viceversa). El número real que
corresponde a un cierto punto de la recta es su abscisa. La
recta real es la base de las coordenadas cartesianas y,
representación gráfica de las funciones por tanto, de la
geometría analítica y de la representación grafica de las
funciones.

24. RECTAS DE REGRESIÓN
Se llama recta de regresión a una recta que marca la tendencia de la nube
de puntos. Si la correlación es fuerte (tanto positiva como negativa) y, por
tanto, los puntos de la nube están próximos a una recta, ésta es la recta de
regresión. Matemáticamente hay dos rectas de regresión, la recta de
regresión de Y sobre X y la de X sobre Y. La recta de regresión de Y sobre
X es aquella y = ax + b para la cual la suma de los cuadrados de las
desviaciones en el sentido de las ordenadas de cada punto a ella es
mínima.
Recta de regresión de Y sobre X, cuya ecuación es
Recta de regresión de X sobre Y, de ecuación
Si la correlación es fuerte (|r| próximo a 1), ambas rectas casi se confunden. Si la
correlación es débil (|r| próximo a 0), las dos rectas forman un ángulo muy abierto.
Ambas rectas de regresión pasan por el punto (x, y), que se llama centro de
gravedad de la distribución.

25. 3.1 Recta en el espacio
La ecuación de una recta que pasa por el punto (x0
, y0
, z0
) y es
paralela a la dirección dada por el vector a1
i + a2
j + a3
k es
Esta ecuación se puede descomponer en:
a2
(x - x0
) = a1
(y - y0
)
a3
(y - y0
) = a2
(z - z0
)
a3
(x - x0
) = a1
(z - z0
)
Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de un plano.
Podemos definir una recta como la intersección de dos
(cualesquiera) de estos planos.
Los cósenos directores de la recta son:
Posición relativa de dos rectas
Dos rectas pueden:
1 Cortarse en un punto.
Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo
tenemos que resolver el sistema de ecuaciones formado por las
ecuaciones de las dos rectas.

26. Sean las rectas y = 2x e y = x - 5. Para calcular el punto donde se
cortan esas rectas, resolvemos el sistema. Sustituyendo en la
segunda ecuación el valor de y de la primera tenemos: 2x = x - 5.
Luego x = - 5 e y = -10.
Lo que hemos hecho al resolver el sistema de ecuaciones es buscar
unos valores de x e y que satisfagan las dos ecuaciones
simultáneamente, que es la condición que tiene el punto de corte:
pertenece a las dos rectas.
2 Ser paralelas.
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
3 Cruzarse.
Dos rectas sólo se pueden cruzar si no están en el mismo plano. Si
estén en el mimos plano, solo pueden cortarse o ser paralelas.
4 Ser coincidentes.
Esto significa que la recta es la misma. Ocurre que a veces, nos
dan la ecuación de la recta en distinta forma, pero en realidad se
refieren a la misma recta.

27. Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en: y = mx + n, m
representa la pendiente de la recta (la pendiente es el cociente
entre lo que sube o baja entre dos puntos de la recta y la
distancia horizontal entre ellos, dicho matemáticamente es la
tangente del ángulo que forma la recta con otra recta horizontal)
y n es el punto del eje y por donde pasa la recta.
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la
recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de
2 y que pasa por el punto (1,3), sólo tenemos que sustituir estos
valores en la ecuación general y nos quedaría: 3 = 2·1 + n, y
despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuación de esa recta
será: y = 2x + 1
3.2Recta en el plano
Si en una ecuación de esta forma: ax + by + c = 0, damos
valores a x e y que cumplan la ecuación, y representamos
estos puntos en una gráfica, veremos que la gráfica es una
recta.
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,3) y (2,5), sólo
tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y
obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 = m·1 + n
5 = m·2 + n

28. Las funciones que se representan mediante rectas son las líneas. Su
expresión general es:
y = mx + n
Donde m es la pendiente de la recta; es decir, un valor que indica la
variación de la y por cada unidad que aumenta la x.
También se representan mediante rectas las funciones constantes, y =
k, son funciones lineales con pendiente cero.(Fig.3)

29. La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números
reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce
como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las
variables x e y.
La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos
puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas
ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las
rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la
ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación
general de la línea recta, como lo afirma el siguiente
teorema:
TEOREMA:
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A,
B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan
una línea recta.
Demostración
Se puede Considerar varios casos:
A = 0, B diferente de 0.
En este caso, la ecuación (1) se transforma en
By + C = 0, 0de donde 0

30. La ecuación (2) representa
una línea recta paralela al
eje x y cuyo intercepto con
el eje y es: _ C
B
(fig. 4.11)
A _ 0, B _ 0 En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de
donde
La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo
intercepto con el eje x es: _ C
A

31. Ecuación implícita
Eliminando los denominadores en la ecuación continua se obtiene
Ax + By + C = 0
Ecuación explícita
Si despejamos de la ecuación implícita obtenemos:
y = mx + n
Ecuación canónica
Si r es la recta que pasa por los puntos (a, 0) y (0,b), la ecuación
la podemos escribir:

32. Representación de un ecuación lineal con dos incógnitas
ax + by = c, se representa mediante una recta. La
representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas consiste en un par de rectas. Si éstas se
cortan, el sistema es compatible determinado y las
coordenadas del punto de corte son la solución del sistema.
Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las
rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es
compatible indeterminado: sus soluciones son los puntos de
la recta. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:
3X + 4Y = 10}
2X + 4Y = 5 }

33. El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del
sistema: x = 2, y = 1. Una ecuación lineal con tres incógnitas,
ax + by + cz = d, se representa mediante un plano. La
representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con
tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa
determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si
los tres planos se cortan en un punto, el sistema es
compatible determinado y si se cortan en una recta, el sistema
es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones.

34.  Con este trabajo lo que se busCaba es
dar a ConoCer las diferentas Clases
de la reCtas y las soluCiones que se le
deben dar a Cada una de ellas según
sea la forma en que se enCuentre
planteada

35. Los medios que utilizamos fueron google,
libros de geometría y matemáticas como
también utilizamos los conocimientos de
algunos familiares y amigos

36. GRACIAS POR SU ATENCION