Este documento presenta diferentes formas de escribir la ecuación de una recta en el plano cartesiano, incluyendo: 1) la ecuación punto-pendiente, 2) la ecuación dada su pendiente y ordenada al origen, 3) la ecuación por dos puntos, 4) la forma simétrica, y 5) la forma general. También discute las condiciones para que una ecuación represente una recta y cómo determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares basado en sus pendientes.

1. Distintas formas de la ecuación de la recta.

2. Definición
Llamamos línea recta al lugar
geométrico de los puntos tales que
al tomar dos puntos cualesquiera
𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 , siempre
tienen la misma pendiente 𝑚.

3. 1. Ecuación punto-pendiente
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
 Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por (3,-2) y tiene una
pendiente igual a -3/4
𝑦 + 2 = −
3
4
𝑥 − 3
3𝑥 + 4𝑦 − 17 = 0

4. 2. Ecuación dada su pendiente y su
ordenada al origen
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
 Ejemplo
La recta que tiene que pendiente 𝑚 = 6 e intersecta al
eje 𝑦 en -5/3
𝑦 = 6𝑥 −
5
3
18𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0

5. 3. Ecuación de la recta por dos
puntos
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
 Ejemplo
La recta que pasa por (4,2) y (-3, 8)
𝑦 − 2 =
8 − 2
−3 − 4
𝑥 − 4
𝑦 − 2 =
6
−7
𝑥 − 4
6𝑥 + 7𝑦 − 38 = 0

6. 4. Ecuación simétrica de la recta
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
 Ejemplo
La recta que corta al eje x en -3 y al eje y en 7
𝑥
−3
+
𝑦
7
= 1
−
𝑥
3
+
𝑦
7
= 1 (−7𝑥 + 3𝑦 − 21 = 0)

7. 5. Forma general de la recta
 La ecuación de una recta cualquiera, en el plano
coordenado, es una ecuación lineal de la forma
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 … (1)
 Donde 𝐴 o 𝐵 son distintos de cero y 𝐶 puede o no ser
igual a cero.
 (1) se llama forma general de la ecuación de la recta.

8. ¿Una ecuación de la forma 𝐴𝑥 +
𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 siempre representa
una recta?
 Caso 1: 𝐵 = 0
𝐴𝑥 + 𝐶 = 0
 𝑥 = −
𝐶
𝐴

9. ¿Una ecuación de la forma 𝐴𝑥 +
𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 siempre representa
una recta?
 Caso 2: 𝐵 ≠ 0
 Podemos dividir la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 entre 𝐵.
𝐴
𝐵
𝑥 + 𝑦 +
𝐶
𝐵
= 0
𝑦 = −
𝐴
𝐵
𝑥 −
𝐶
𝐵
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

10. Ejercicio
 Hallar los coeficientes 𝐴, 𝐵 y 𝐶 de la ecuación de la
recta que pasa por los puntos (-1,4) y (3,-2).
 Como los dos puntos están sobre la recta, deben
satisfacer la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
 Para (-1,4)
−𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0
 Para (3,-2)
3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0

11. 1er paso: resolver las ecuaciones
para 𝐴 y 𝐵 en términos de 𝐶.
−𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0
3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0 × 2
6𝐴 − 4𝐵 + 2𝐶 = 0
−𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0
6𝐴 − 4𝐵 + 2𝐶 = 0
5𝐴 + 3𝐶 = 0
𝐴 = −
3
5
𝐶

12. 1er paso: resolver las ecuaciones
para 𝐴 y 𝐵 en términos de 𝐶.
−𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0 × 3
3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
−3𝐴 + 12𝐵 + 3𝐶 = 0
−3𝐴 + 12𝐵 + 3𝐶 = 0
3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
10𝐵 + 4𝐶 = 0
𝐵 = −
4
10
𝐶 = −
2
5
𝐶

13. 2do paso: Sustituir en la ecuación
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
−
3
5
𝐶𝑥 −
2
5
𝐶𝑦 + 𝐶 = 0
 Dividimos entre 𝐶 suponiendo 𝐶 ≠ 0
−
3
5
𝑥 −
2
5
𝑦 + 1 = 0
 Multiplicamos por 5
−3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
𝐴 = 3 𝐵 = 2 𝐶 = −5

14. Posiciones relativas de dos rectas
 Paralelas  Perpendiculares

15. Posiciones relativas de dos rectas
 Coinciden  Se cortan en un solo
punto

16. RECORDANDO
 Primero recordemos
𝑦 = −
𝐴
𝐵
𝑥 −
𝐶
𝐵
 𝑚 = −
𝐴
𝐵
𝑏 = −
𝐶
𝐵
 Supongamos que tenemos las rectas
 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 y 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′ = 0
 Entonces 𝑚1 = −
𝐴
𝐵
y 𝑏1 = −
𝐶
𝐵
 Además 𝑚2 = −
𝐴′
𝐵′ y 𝑏2 = −
𝐶′
𝐵′

17. Paralelismo
 Dos líneas con pendientes 𝑚1 y 𝑚2 son paralelas si
𝑚1 = 𝑚2
 Por lo tanto
−
𝐴
𝐵
= −
𝐴′
𝐵′
𝐴
𝐴′
=
𝐵
𝐵′
Es decir los coeficientes de 𝑥 y 𝑦 son proporcionales.

18. Ejemplo
 ¿Son paralelas las rectas 4𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0 y 8𝑥 − 10𝑦 +
7 = 0 ?
𝐴 = 4, 𝐵 = −5
𝐴′ = 8, 𝐵′ = −10
 Entonces
𝐴
𝐴′
=
4
8
=
1
2
𝐵
𝐵′
=
−5
−10
=
1
2
 Sí son paralelas

19.  ¿Son paralelas las rectas 8𝑥 + 20𝑦 − 9 = 0 y 2𝑥 − 5𝑦 −
7 = 0 ?
𝐴 = 8, 𝐵 = 20
𝐴′ = 2 𝐵′ = −5
 Entonces
𝐴
𝐴′
=
8
2
= 4
𝐵
𝐵′
=
20
−5
= −4
 NO son paralelas