2. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
1.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.
La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.
a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X.
p(X=1)=0.55 por tanto X~Bernoulli (0.55)
MEDIA VARIANZA
μX= p σx= p(1-p)
μX= 0.55 σx= 0.55(1-0.55)
σx= 0.55 (0.45)
σx= 0.2475
b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos.
Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así,
encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por qué.
No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y
1. Y los valores posibles de Y son 0 y 2.
c) Determine la media y la varianza de Y.
MEDIA VARIANZA
μX= 2(p)+0(1-p) σx= (2-1.1)20.55+ (0-1.1)20.45
μX= 2(0.55)+0(1-0.55) σx= (0.9)20.55+ (-1.1)20.45
μX= 1.1+0(0.45) σx= (0.81)0.55+ (1.21)0.45
μX=1.10 σx= 0.4455+0.5445
σx= 0.99
2.- En un restaurante de comida rápida. 25% de las órdenes para beber es una bebida
pequeña. 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente
una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden
es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden de bebida es
pequeña o mediana y Z=0 en cualquier otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px.
La probabilidad de p(X=1)=0.25 por lo tanto X~Bernoulli (.25)
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py.
La probabilidad de p (Y=1)=0.35 por lo tanto Y~Bernoulli (.35)
c) Sea Pz la probabilidad de éxito Z. determine Pz.
La probabilidad de p (Z=1)=0.60 por lo tanto Z~Bernoulli (.60)

3. d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
Si, solamente por separado
e) ¿Es Pz=Px+Py?
Si
3.- Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es la probabilidad
de que se decolore, 20% de que se agriete, y 23% de que se decolore o no se agriete,
o ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro caso. Y=1 si
hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso; Z=1 si hay decoloración o grieta, o
ambas, y Z=0 en cualquier otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px.
La probabilidad de éxito p(X=1)=0.05 por lo tanto X~Bernoulli (.05)
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py.
La probabilidad de éxito p (Y=1)=0.20 por lo tanto Y~Bernoulli (.20)
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz.
La probabilidad de éxito p (Z=1)=0.23 por lo tanto Z~Bernoulli (.23)
d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
Si, solamente por separado
e) ¿Es Pz=Px+Py?
Si
4.- Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z=XY.
a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli
Puesto que los valores posibles de Xy Y son 0 y 1, los valores posibles del
producto Z=XY son también 0 y 1. Por tanto, Z es una variable aleatoria de
Bernoulli.
b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz=PxPy.
Pz=P(Z=1)=P(XY=1)=P(X=1 y Y=1)=P(Z=1)P(Y=1)=PxPy
5.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.
La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.
a) Si anota el tiro, su equipo obtiene tres puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos.
Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es asi,
encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por qué.
No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y
1. Y los valores posibles de Y son 0 y 3

4. b) Determine la media y la varianza de Y.
MEDIA VARIANZA
μX= 3(p)+0(1-p) σx= (3-1.65)20.55+(0-1.65)20.45
μX= 3(0.55)+0(1-0.55) σx= (1.35)20.55+(-165)20.45
μX= 1.65+0(0.45) σx= (1.8225)0.55+(2.7225)0.45
μX= 1.65 σx= 1.002375+1.225125
σx= 2.2275
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1.- Se lanza al aire una moneda diez veces
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?
P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)10-3=0.1172
b) determine la media del número de caras obtenidas
μX=10(0.5)= 5
c) determine la varianza del número de caras obtenidas.
σ2x= 10(0.5) (1-0.5)=2.5
d) determine la desviación estándar del número de caras obtenidas
σx= = 1.58
2.- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada
bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son
independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?
P(X=8)= (0.5)8(1-0.5)8-8=0.0039
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?
P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)8-3=0.2188
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1)
P (X≥6)= P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)
= (0.5)6(1-0.5)8-6+ (0.5)7(1-0.5)8-7+ (0.5)8(1-0.5)8-8

5. = 0.10938+0.03125+0.00391
= 0.1445
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?
P (X≥2)= 1-P(X<2)
= 1-P(X=0)-P(X=1)
=1- (0.5)0(1-0.5)8-0- (0.5)1(1-0.5)8-1
=1-0.00391-0.03125
= 0.9648
3.- De los pernos manufacturados por cierta aplicación, 90% satisface la longitud
especificada y se puede utilizar inmediatamente, 6% está demasiado largo y solo se
puede usar después que sea cortado, y 4% está demasiado corto y debe deshacerse.
a) Determine la probabilidad de que un perno seleccionado aleatoriamente se pueda
utilizar (inmediatamente o después de ser cortados)
P (se puedan usar)= P (usar inmediatamente)+P (largo)= 0.90+0.06=0.96
4.-Sea X ~ Bin (8,0.4) Determine
a) P(X=2)
n=8
P(x=2)= )
P(x=2)= 28 (0.16)
P(x=2)= 28(0.16) (0.046656)
P(x=2)= 0.20901888
b) P(X=4)
n=8
P(x=4)= )
P(x=4)= 70 (0.0256)
P(x=4)= 70(0.0256) (
P(x=4)=0.2322432
c) P(X<2)
n=8
P(X<0)= )
P(X<0)= 1 (1)
P(X<0)= 1(1) (
P(x<0)=0.1679616
n=8
P(X<1)= )

6. P(X<1)= 8 (0.4)
P(X<1)= 8(0.4) (
P(x<1)=0.08957952
d) P(X>6)
n=8
P(X=7)= )
P(X=7) = 8 ( )
P(X=7) =8( )(0.6)
P(X=7) =7.86432
P(X=8) = )
P(X=7) = 1 ( )
P(X=7) = 1( ) (1)
P(X=7) =6.5536
5.-Sea X ~ Bin (5, 0.35)
a) P(X=0)
N=5
P(X=0) = )
P(X=0) =1 (1)
P(X=0) = 1(1) (0.1160290625)
P(X=0) =0.1160290625
b) P(X=1)
N=5
P(X=1) = )
P(X=1) =5(0.35)
P(X=1) =5(0.35) (0.17850626)
P(X=1) =0.3123859375
c) P(X=2)
N=5
P(X=2) = )
P(X=2) =10(0.1225)

7. P(X=2) =10(0.1225) (0.274625)
P(X=2) =0.336415625
d) P(X=3)
N=5
P(X=3) = )
P(X=3) =10(0.042875)
P(X=3) =10(0.042875) (0.4225)
P(X=3) =0.181146875
e) P(X=4)
N=5
P(X=4) = )
P(X=4) =5(0.0150625)
P(X=4) =5(0.150625) (0.65)
P(X=4) =0.487703125
f) P(X=5)
N=5
P(X=5) = )
P(X=5) =1(5.252187x )
P(X=5) =1(5.252187x ) (1)
P(X=5) =5.252187x
DISTRIBUCIÓN POISSON
1.- Sea X ~ Poisson(4). Determine
a) P(X=1)= e-4 *
P(X=1)= 0.018315638 *
P(X=1)= 0.018315638 * 4
P(X=1)= 0.073262555
b) P(X=0) = e-4 *

8. P(X=0)= 0.018315638 *
P(X=0)= 0.018315638 * 1
P(X=0)= 0.018315638
c) P(X<2)
P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *
P(X=1) = 0.018315638 * P(X=0)= 0.018315638 *
P(X=1) = 0.018315638 * 4 P(X=0)= 0.018315638 * 1
P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638
P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)
P(X<2) =0.07326255+0.018315638
P(X<2) =0.091578193
d) P(X>1)
P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *
P(X=2)= 0.018315638 * P(X=3)= 0.018315638 *
P(X=2)= 0.018315638 * 8 P(X=3)= 0.018315638 * 10.66666667
P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814
P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
P(X=4)= 0.018315638 * P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+
0.195366814
P(X=4)= 0.018315638 * 10.66666667
P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739
e) μX
μX= 4
f) σx

9. σx=
σx= 2
2.- Suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso
tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número de
contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto.
Determine:
a) P(X=3)= e-3*
P(X=3)= 0.049787068 *
P(X=3)= 0.049787068 * 4.5
P(X=3)= 0.0224041807
b) P(X≤2)
P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *
P(X=0)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 *
P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3
P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205
P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 0.049787068 * P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+
0.149361205
P(X=2)= 0.049787068 * 4.5
P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008
c) P(X<2)
P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*
P(X=1)= 0.049787068 * P(X=2)= 0.049787068 *
P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5

10. P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807
P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
P(X=3)= 0.049787068 * P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+
0.224041807
P(X=3)= 0.049787068 * 4.5
P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819
d) μX
μX= 3
e) σx
σx=
σx= 1.732030808
3.- El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una
variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?
P(X=3)= e-8*
P(X=3)= 3.354626279x10-4 *
P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667
P(X=3)= 0.09160366
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
P(X=10)= e-12*
P(X=10)= 6.144212353x10-6 *
P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571
P(X=10)= 0.104837255
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2
horas?

11. P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*
P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *
P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12
P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5
P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 +
7.373054824x10-5 +
-6
P(X=2)= 6.144212353x10 * 72 4.423832894x10-4 =
P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-4
4.- Una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tiene
una distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible
determinar que variable aleatoria tiene la varianza más grande? Elija una de las
siguientes respuestas:
i) Sí, X tiene la varianza más grande.
ii) Sí, Y tiene la varianza más grande
iii) No, se necesita conocer el número de ensayos, n, para X.
iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.
v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.
Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:
σ2x= (1-p)
σ2x= (1-3)
σ2x= -2
Fórmula para determinar la varianza en una distribución Poisson:
σ2y= λ
σ2y= 3
Respuesta:
ii) Sí, Y tiene la varianza más grande
5.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por
completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de
partículas que son retiradas. Determine.
a) P(X=5)= e-6 *

12. P(X=5)= 2.478752177x10-3 *
P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8
P(X=5)= 0.160623141
b) P(X≤2)
P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *
P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *
P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6
P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513
P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+
0.044617539
P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18
P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804
c) μX
μX= 6
d) σx
σx=
σx= 2.449489743
DISTRIBUCIÓN NORMAL
1.-Determine el área bajo la curva normal
a) Ala derecha de z= -0.85.
b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c) Entre z =0.30 y z = 0.90.
d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45
Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas

13. A – 1 – 0.1977 = 0.8023
B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404
2- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con
media de 480 y desviación estándar de 90.
a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En qué percentil se encuentra?
d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
µ = 480 σ = 90
A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600 está en el percentil 91
D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.418
3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media
de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga
resistencia mayor a 12 GPa?
b) Determine el primer cuartilde la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
RESULTADOS
µ = 10 σ = 1.4

14. A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =
0.0764
B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 +1.645(1.4) = 12.303 Gpa.
4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un
caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La
concentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración
excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo
el día.
a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye
normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6
mg/mL en qué proporción de días se suspenderá el proceso?
b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de
azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL
y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos
con menos días de producción perdida?
RESULTADOS
A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336
B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228
Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con
media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En qué valor
debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o
mas?
c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En qué valor debe
fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o más?
RESULTADOS
A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475

15. B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas
C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas
DISTRIBUCIÓN GAMMA
1.-El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución
de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra
menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la
llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo
paciente es 0,98.
2.-Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución
Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429

16. Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

18. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
1.-Sea T ~ t(4,0.5)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P T
P (T
= 1- e – (0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)
=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636
=0.000175
d) Determinar P(T
P(T
= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
=0.9344
2.-Sea T ~ Weibull (0.5,3)
a) Determinar
b) Determinar

19. c) Determinar P(T
P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-
3.-En el articulo “Parameter Estimation with OnlyOne Complete Failure
Observation”se modela la duración en horas, de cierto tipo de cojinete con la
distribución de Weibull con parámetros
a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure más de 1000
horas
b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000
horas
P(T<2000)= P(T
c) La función de riesgo se definió en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en
T=2000 horas?
h(t) =
4.-La duración de un ventilador, en horas, que se usa en un sistema computacional
tiene una distribución de Weibull con
a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure más de 10 000
horas?
P (T>10 000) =1 – (1- =0.3679
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000
horas?
P (t<5000) =P (T
5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara
cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla.
Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son
independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con 2
a) Determine P(

20. P(
b) Determine P(T 5)
P(T =0.8647
c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus
parámetros?
Si, T~ Weibull (2,