Distribución normal, Poisson, "t"

2. PROBLEMAS PROPUESTOS
1° Determinar la probabilidad de que:
a) A lo más uno prefiere A
DATOS:
n: 6 p: 0.5 q: 0.5 x: P(x ≤ 1)
RESOLUCIÓN:
P (x ≤ 1) = p (x = 0) + p( x = 1)
P = ( )(0.5) + ( ) (0.5) (0.5)
P= 0.1094
6
0
6
1
6 1 5

3. b) Por lo menos 3 prefieren A
DATOS:
n: 6 p: 0.5 q: 0.5 X: P(x> 3)
RESOLUCIÓN:
P(x ≥ 3) = p(x=3) + p(x=4) + p(x=5) + p(x=6)
P= ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5)
P= 0.6563
6 6 6 6 6
3
3 3
4
4 2
5
5
6

4. 2° Cuando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de
reproductores de discos compactos, a la larga el procentaje de partes
defectuosas es de 5%. Sea X: un número de tarjetas defectuosas en una
muestra n = 25, entonces
X → B(25, 0.05)
a) determine p(x ≤ 2)
DATOS:
n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P( x≤ 2)
RESOLUCIÓN:
P( x ≤ 2) = p(x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2)
P = ( )(0.05) (0.95) + ( )(0.05) (0.95) + ( )(0.05) (0.95)
P = 0.8729
b) determine P (x ≥ 5)
DATOS:
n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P(x > 5)
25 25 25
1
1
0
0 25
2
224 23

5. RESOLUCIÓN:
P( X ≥ 5) = 1 [ P (X = 4) + P (X =3) + P( X=2) + P (X= 1) + P( x =0 )
P= 1 – [ (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) +
(25) (0.05) (0.95) + ( 25 ) (0.95)
P = 0.0071649
4 3 2
1
21
24 25
0
4 3 2
1
c) Determinar P (1 ≤ x ≤ 4)
DATOS:
n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P(1 ≤ x ≤ 4)
RESOLUCIÓN:
P(1 ≤ x ≤ 4) = [ P(x=1) + P( x= 2) + P(x= 3) + P(x =4)
P= (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) +(25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (9.95)
P = 0.7154
1
1
2
2
3
3
4
424 23 22 21

6. d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté
defectuosa¿
P( x= 0)
P= ( 25 )(0.95) → P = 0.2773
e) Calcule el valor esperado y la desviación estándar
µ = np σ = 𝑛𝑝𝑞
25 x 0.05 σ =√25 0.05 0.95
µ = 1.25 σ = 1.0897

7. 3. Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para
repararse cuando todavía esta vigente su garantía. De éstos, 60% puede
ser reparado y el otro 40% debe sustituirse por aparatos nuevos. Si una
compañía compra 10 de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que
exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garantía?
n = 10
p = 0,4
q = 0,6
x = 2 Aplicamos a la fórmula:
10!
2! 10 − 2 !
(0,4)2
(0,6)8
= 0,1209

8. 4. La producción de cuatro maquinas es recogida en cajas de 5
unidades. La experiencia permitió establecer la siguiente
distribución de las cajas, según el numero de unidades defectuosas
que contienen:
Nº de unidades
defectuosas
0 1 2 3 4 5
Porcentaje de
cajas
0,70 0,15 0,08 0,05 0,02 0,00
La inspección diaria consiste en examinar las 5 unidades de cada
caja. Se acepta una caja cuando contiene de dos unidades
defectuosas. En caso contrario se rechaza.
a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar una caja que no
contenga unidades defectuosas?

9. n = 5
p = 15% = 0,15
q = 85% = 0,85
Para a) x = 0
5
0! 5 − 0 !
(0,15)0(0,85)5 = 0,4437
a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una caja que contenga
unidades tres unidades defectuosas?
n = 5
p = 85% = 0,85
q = 15% = 0,15
Para a) x = 3
5
3! 5 − 3 !
(0,85)3(0,15)2 = 0,1381

10. 5. Una compañía telefónica emplea cinco operadoras que reciben
solicitudes de información independientemente una de otra, cada
una según un proceso de Poisson con tasa ƛ =2 por minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto la primera operadora
no reciba solicitudes?
DATOS:
ƛ=2/ minuto P(X)=ƛ˟ е⁻ ͪ
n=5 X!
P(X=1)= 2⁵(2.71828)¯² = 0.0361= 3.61%
5!
b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto exactamente cuatro
de las cinco operadoras no reciban solicitudes?
P(X=4)= 2⁴(2.71828)¯² = 0.0902= 9.02%
4!

11. c) Escriba una expresión para la probabilidad de que durante un periodo de un
minuto todas las operadoras reciban exactamente el mismo número de solicitudes.
P(X=5)= 2⁵(2.71828)¯² = 0.0361= 3.61%
5!
6)Un puesto de periódicos ha solicitado cinco ejemplares de cierta edición de
una revista de fotografía , Sea X: numero de individuos que entran a comprar
esta revista . Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = 4.
¿Cuál es el numero esperado de ejemplares que se venderán ?
Usamos una distribución de Poisson con parámetro
λ = 4
Un puesto de periódicos ha solicitado 5 ejemplares
P ( X < 5)
DATOS

12. 7. Una universidad procesa 100 000 calificaciones en determinado
semestre. En ocasiones anteriores se ha descubierto que 0.1% de
todas las calificaciones estaban equivocadas. Suponer que una
persona estudia cinco materias en esta universidad en un
semestre. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones
estén correctas?
np = (100 000/5)*0,001 = 20
λ = 20
x = 5
e = 2,71828
P₍ₓ₎ =
𝑒−λλ 𝑥
𝑥!
=
2,71828−20 𝑥 205
5!
= 0,000054964

13. 8° en cada página de una enciclopedia caben 3000 letras. La editorial
estima que se comete una errata en cada 5000 letras. Suponiendo que el
número de erratas por página sigue aproximadamente una distribución de
Poisson, se pide:
DATOS:
Cada página = 3000 letras
Errores = cada 5000
letras
A) Calcular la probabilidad de que en una página haya exactamente dos erratas.
P X = 1 =
e−1 x (10000)1
1!
P( X = 1) = 3678. 80
UNA PÁGINA = 2 ERRATAS
5000 PÁGINAS = 2 ERRATAS EN CADA
UNO
10000 = 1 ERRATA EN CADA UNA

14. B) SI SE VAN REVISANDO LAS PÁGINAS UNA A UNA, CALCULAR LA
PROBABILIDADA DE QE LA PRIMERA ERRATA QUE SE ENCUENTRE
APAREZCA EN LA QUINTA PÁGINA REVISADA
P X = 5 =
e−5 x (5000)5
5!
P( X = 5) = 1.7546 x 1014
C) CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EN LAS CINCO PRIMERAS
PÁGINAS HAYA AL MENOS DOS ERRATAS
P X = 5 =
e−5 x (10000)5
5!
P( X = 5) = 5.6149 x 1015

15. 9. Si X→ n(0.1); hallar:
a) P[Z ≤ 1,57] = 0,9418
b) P[Z ≥ 1,84] = 1 – P[Z ≤ 1,84]
= 1 – 0,9671 = 0,0329
c) P[1,57 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] - P[Z ≤ 1,57]
= 0,9671 – 0,9418 = 0,0253
d) P[-1,84 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] – (1 - P[Z ≤ 1,84])
= 0,9671 – (1 – 0,9671) = 0,9342
e) P[Z ≥ -2,08] = P[Z ≤ 2,08]
= 0,9812

16. 10. Si P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50 ; hallar Ζ₀.
P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50
Aplicamos la propiedad:
P (Z ≥ Ζ₀) → 1 – P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50
1 - P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50
P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50
Por lo tanto: Ζ₀= 0,00

17. 11° Si P[Z ≥Z○] =0.025. Hallar Z○
Resolución:
1- P (Z ≤ Z○) = 0.025
P (Z ≤ Z○) = 1 – 0.025
P (Z ≤ Z○) = 0.975
Buscamos
Z○ = 1,96

18. 12. ¿Entre que dos valores de Z (simétricos alrededor de la
media) estará contenido el 68.26% de todos los valores posibles
de Z?
1- 0.6826 = 0.3174 … (a este valor lo dividimos entre dos porque se distribuye en
ambas colas)
0.3174/ 2 = 0.1587…(lo buscamos en la tabla)
VALORES DE “Z” PARA= 0.1587 (está entre)
Valor Z -1.00 0.15866
Valor Z -0.99 0.16109

19. 13) Si x X → n(100.100). Hallar
X n(100.100). u= 100 o= 100
a) P(X < 75 ) = (
𝑥 ; µ
σ
< 75)
( z <
75;100
100
) =(z < -0.25)
P(z < -0.25) = 1-P ( z < -0.25)
1 – 0.4013 = 0.5987
b) P(X < 70 ) = (
𝑥 ; µ
σ
< 70)
( z <
70;100
100
) = (z < -0.30)
P(z < -0.30) = 1-P ( z < -0.30)
1 – 0.3821 = 0.6179

20. c) P(75 < X < 85 ) = (
75;100
100
< z <
85;100
100
)
(-0.25 < z < -0.15) 0.5987 – 0.5596 = 0.0391
e) P( X < 110 o X > 110 ) = (z <
110;100
100
) o ( z >
110;100
100
)
(z < 0.10 ) o ( z > 0.10)
0.5398 o 1- 0.5398
0.5398 o 0.4602
d) P(X < 112) = (
𝑥 ; µ
σ
> 112)
( z >
112;100
100
) (z > 0.12)
P(z > 0.12) = 1-P ( z < -0.12)
1 – 0.5478 = 0.4522

21. G) Hallar los dos valores de X ( simétricos alrededor de la media de 80% de los
valores )
𝑝 𝑥 > 𝑥1 = 0.10
1 − 𝑃 ( 𝑋 < 𝑋1 )
𝑃 = 1 − 0.10
P= 0.90
F) El valor mínimo de X para el 10% de los valores
P( X < 80% o X > 80%) = (z < 0.80) o ( z > 0.80)
0.7881 o 1- 0.7881
0.5398 o 0.2119

22. 14. Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro
miembros en una ciudad grande son en promedio de 420 dólares
con una desviación estándar de 80 dólares. Suponga que los
gastos mensuales por alimentación tiene distribución normal.
a) ¿Qué porcentaje de gastos es menor que 350 dólares?
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
350 ;420
80
= −0,88 = 0,18943
0,18943 (100%) = 18,94 %
b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 350 dólares?
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
250 ;420
80
= −2.13 = 0,01659
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
350 ;420
80
= −0,88 = 0,18943
0,18943 – 0,01659 = 0,17284 (100%) = 17,28%

23. c) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 450 dólares?
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
250 ;420
80
= −2.13 = 0,01659
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
450 ;420
80
= 0,38 = 0,64803
0,64803 – 0,01659 = 0,63144 (100%) = 63,14%
d) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor 250 o mayor que 450 dólares?
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
250 ;420
80
= −2.13 = 0,01659 100% = 1,66%
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
450 ;420
80
= 0,38 = 0,64803 100% = 64,80%
e) ¿Cuál es el gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos?
P (Z ≥ Z₁)= 0,10
Estandarizando obtenemos:
P (Z ≥ Z₁) = 0,10

24. Aplicamos la propiedad:
P ( Z ≥ Z₁) = (1 – P (Z < Z₁) = 0,10
1 - P (Z ≤ Z₁) = 0,10
P ( Z < Z₁) = 0,90
Z₁ = 1.282 = 1,282
Por lo tanto:
𝑋1 − 420
80
= 1,282
𝑋1 = 522,56
Respuesta: El gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos es de
522,6

25. A) ENTRE 60 Y 70 Kg
Z= x-u
o
P ( 60 < x < 70 )
P (60-65.3 < x < 70-65.8)
5.51 5.51
P (-0.9619 < x < 0.8529 )
P (z<0.85) - P(z<-0.96)
0.80234 – 0.16853
0.6338
Rpta. 380
B) MÁS DE 63.2 Kg
Z= x-u
o
P ( x > 63.2 )
P ( z > 63.2-65.8 )
5.51
P ( z > 0.3811 )
P = 1 – P (Z > 0.3811)
P = 1 – 0.64803
P =0.35197
Rpta. 3211
15° los pesos de 600 paquetes están normalmente distribuidos con
medias 65.3 kg. Y deviación estándar 5.51 kg. Encuentre el
número de paquetes que pesan:

26. 16. Las calificaciones de una prueba final de Estadística
tienen distribución normal con una media de 12. Si el
95,44% de los examinados obtuvo calificaciones entre 8 y
16.
a)Calcular la desviación estándar de la distribución.
µ = 12
σ = ?
σ =
(𝑥ᵢ ; µ)²
𝑁
del 8 al 16
σ =
8;12 2: …….:(16;12)²
9
σ = 2,58

27. b) Si la nota aprobatoria es 11, ¿qué porcentaje de alumnos
aprobaron el curso?
x = 11
Z =
𝑥 ; µ
σ
Z =
11 ;12
2,58
Z = -0,39
Probabilidad: 0,3483 ( 100%) = 34,83%
Respuesta: Aprobaron el 34,83% de alumnos

28. 17. El tiempo de acceso al disco duro en un cierto modelo de
ordenadores se distribuye normalmente con media 15 milisegundos
y una desviación estándar de 3 milisegundos.
a. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro entre
10 y 20 milisegundos?
b. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro en más
de 20 milisegundos?
μ = 15 milisegundos
σ = 3 milisegundos
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
10;15
3
= −1,67 = 0,04746
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
20 ;15
3
= 1,67 = 0,95254
0,95254 – 0,04746 = 0,90508 (100%) = 90,50%

29. c. ¿Cuál es el tiempo de acceso máximo del 10% de ordenadores
con menor tiempo de acceso al disco duro?
Z =
𝑥 ; µ
σ
=
20;15
3
= 1,67 = 0,95254 100% = 90,25%
P (Z ≤ Z₁)= 0,10
Z₁ = 4,00
Por lo tanto:
𝑋1 − 15
3
= 4,00
𝑋1 =27
Respuesta: El tiempo de acceso máximo del 10% de
ordenadores con menor tiempo de acceso al disco duro es de
27

30. 18° Si T → t Hallar:
 Resolución:
a) P[T < -1.796] =
1 - P (T<-1.796)
1- 0.95
0.5
a) P[T > 1.363 ] =
1 - P (t ≤ 1.363)
1 - 0.90
0.10
a) P[T<3,497] =0,995
a) P[-2,718 ≤T≤ 2,718] =
P( T ≤ 2.718) – ( 1 – P( T ≤ 2. 718))
0.99 – ( 1 – 0.99)
0.98
11

31. 19. SI T → t . Hallar:
a) P(T≥-1.7089)
=P(T≤1.7089)= 0.95
b) P(T≤2.485) = 0.99
c) P(T ≥3.450)
=1- P(T≤ 3.450)
= 1- 0.999
=0.001
d) P(T<-1.316)
= 1- P(T≤1.316)
= 1- 0.90
= 0.10
25

32. 20) Si X → X . hallar
a) P(X < 32.8) = 0.995
b) P( X > 25.0) = 1-P ( X < 25.0)
1 – 0.95 = 0.05
c) P ( 11.0 < X < 30.8) = ( 11.0 < X < 30 . 8 )
( X < 11.0 ) –P ( X < 308)
0.25 - 0.99 = -074
d) P( X > 30.6)= 1 - P ( X < 30.6)
1 – 0.99 = 0.01
2
15

33. 21. Si X→ X²₂₀. Hallar:
a) P[ 12.4 ≤ X ≤ 40.0] = P(X ≤ 40.0) - P(X ≤ 12.4)
= 0.995 – 0.10 = 0.895
b) P[X > 15.5] = 1 – P(X ≤ 15.5)
= 1- 0.25 = 0.75
c) P[X < 9.59] = 0.025
d) P[X ≥ 28.4] = 1 - P(X ≤ 28.4)
= 1 - 0.90 = 0.10