Ejercicios resueltos, muestra y población (t de student, comprobación con minitab)

1. Page 1
Ejercicios 5.3
Estadística
Leslie Giselle Rodriguez
Amaya
2°E
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN

2. Page 2
Determine el valor de tn l, α/2 necesario para construir un
intervalo de confianza de dos lados de un nivel específico
con los siguientes tamaños muéstrales:
a) Nivel 90%, tamaño muestra 9.
b) Nivel 95%, tamaño muestra 5.
c) Nivel 99%, tamaño muestra 29.
d) Nivel 95%, tamaño muestra 2.
a) 90%
n-1= 8
1- 0.90/2= 0.05
0.05= 1.860
b) 95%
n-1= 14
1- 0.95/2= 0.025
0.025= 2.145
c) 99%
n-1= 28
1- 0.99/2= 0.005
0.005=2.763
d) 95%
n-1= 1
1- 0.95/2= 0.025
0.025= 12.706

3. Page 3
Determine el nivel de confianza para un intervalo de dos lados
que está basado en el valor dado de tn l, α/2 y el tamaño
muestra específico.
a) t 2.179, tamaño muestra 13.
b) t 3.365, tamaño muestra 6.
c) t 1.729, tamaño muestra 20.
d) t 3.707, tamaño muestra 7.
e) t 3.707, tamaño muestra 27.
a) 13-1= 12
2.17= 1.025  nivel de confianza 95%
b) 6-1= 5
3.365= 0.01  nivel de confianza 98%
c) 20-1= 19
1.729= 0.05  nivel de confianza 90%
d) 7-1= 6
3.707= 0.005  nivel de confianza 99%
e) 27-1= 26
3.707= 0.005  nivel de confianza 99.9%

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Verdadero o falso: La distribución t de Student se puede utilizar
para construir un intervalo de confianza para la media
de cualquier población, en tanto que el tamaño muestral sea
pequeño.
Falso, ayuda a resolver problemas con
tamaño pequeño, pero si existe alguna
discontinuidad la distribución t de Student no
se debe utilizar

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El artículo “Ozone for Removal of Acute Toxicity from
Logyard Run-off” (M. Zenaitis y S. Duff, en Ozone Science
and Engineering, 2002:83-90) presenta análisis químicos
del agua que escurre de aserraderos en la Columbia
Británica. Incluye seis mediciones de pH para seis muestras
de agua: 5.9, 5.0, 6.5, 5.6, 5.9, 6.5. Suponiendo que éstas
sean una muestra aleatoria de las muestras de agua de una
población aproximadamente normal, encuentre un intervalo
de confianza de 95% para la media del pH.
Media= 5.9
Desviación estándar= 0.5692
Grados de libertad:
n-1 = 5
1- 0.95/2= 0.025
0.025= 2.571
s/√n= 0.569/√6= 0.2322
Error= (2.571)(0.2322)= 0.596
IC media-error= 5.9-0.596= 5.304
media+error= 5.9+0.596= 6.446

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El artículo “An Automatic Visual System for Marble Tile Classification” (L. Carrino, W. Polini, y
S. Turchetta, en Journal of Engineering Manufacture, 2002:1095-1108) describe una medida
para la sombra del azulejo de mármol en el cual la cantidad de luz reflejada por éste se mide
en una escala de 0-255. Un azulejo perfectamente negro no refleja luz alguna y mide 0, y un
azulejo perfectamente blanco mediría 255. Se midió una muestra de nueve azulejos Mezza
Perla, con los siguientes resultados:
204.999 206.149 202.102 207.048 203.496
206.343 203.496 206.676 205.831
¿Es adecuado utilizar la estadística t de Student para construir
un intervalo de confianza de 95% para la media de la
sombra del azulejo Mezza Perla? Si es así, hágalo. Si no,
explique por qué.
Media= 205.12
Desviación estándar= 1.7173
Grados de libertad:
n-1 = 8
1- 0.95/2= 0.025
0.025= 2.306
s/√n= 1.7173/√8= 0.6071
Error= (2.306)(0.6071)= 1.399
IC media-error= 205.12-1.399= 203.721
media+error= 205.12+1.399= 206.519

7. Page 7
Una química hizo ocho mediciones independientes del punto de fusión del
tungsteno. Obtuvo una media muestra de 3 410.14°C y una desviación
estándar muestra de 1.018°C.
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para el punto de fusión del
tungsteno.
b) Determine un intervalo de confianza de 98% para el punto de fusión del
tungsteno.
c) Si las ocho mediciones hubieran sido 3 409.76, 3 409.80, 3 412.66, 3
409.79, 3 409.76, 3 409.77, 3 409.80 y 3 409.78 ¿serían válidos los
intervalos de confianza que se encuentran en los incisos a) y b)? Explique.
n= 8
Media= 3410.14
Desviación estándar= 1.018
95%
Grados de libertad:
n-1 = 7
1- 0.95/2= 0.025
0.025= 2.365
s/√n= 1.018/√8= 0.359
Error= (2.365)(0.359)= 0.849
IC media-error= 3410.14-0.849= 3409.29
media+error= 3410.14+0.849= 3410.98
n= 8
Media= 3410.14
Desviación estándar= 1.018
98%
Grados de libertad:
n-1 = 7
1- 0.98/2= 0.01
0.01= 2.998
s/√n= 1.018/√8= 0.359
Error= (2.998)(0.359)= 1.076
IC media-error= 3410.14-1.076= 3409.06
media+error= 3410.14+1.076= 3411.21

8. Page 8
Se toman cinco mediciones de la clasificación de octano para un tipo especial
de gasolina. Los resultados (en %) son 87.0, 86.0, 86.5, 88.0, 85.3. Encuentre
un intervalo de confianza de 99% para la media de la clasificación de octano
de media para este tipo de gasolina.
Media
1. 87.0
2. 86.0
3. 86.5
4. 88.0
5. 85.3
∑= 432.8/5 = 86.56
Desviación
1. 0.193
2. 0.313
3. 0.003
4. 2.073
5. 1.587
∑= 4.169/4 = √86.56= 1.020
99%
n-1= 4
1-.99/2 = 0.005
0.005= 4.604
s/√n= 1.020/2.236= 0.456
Error= (4.604)(0.456)= 2.099
IC 86.56-2.099= 84.46
86.56+2.099= 88.65

9. Page 9
Un modelo de transferencia de calor de un cilindro sumergido en un líquido
predice que el coeficiente de transferencia de calor para el cilindro es
constante en razones muy bajas de circulación del fluido. Se toma una
muestra de diez mediciones. Los resultados, en W/m2K, son 13.7 12.0 13.1
14.1 13.1 14.1 14.4 12.2 11.9 11.8
Determine un intervalo de confianza de 95% para el coeficiente de
transferencia de calor.
Media
1. 13.7
2. 14.1
3. 12.0
4. 14.4
5. 13.1
6. 12.2
7. 14.1
8. 11.9
9. 13.1
10. 11.8
∑= 130.4/9 = 13.04
Desviación
1. 0.435
2. 1.123
3. 1.081
4. 1.489
5. 0.003
6. 0.705
7. 1.123
8. 1.299
9. 0.003
10. 1.537
∑= 9.158/9 = √1.017= 1.008
95%
n-1= 9
1-.95/2 = 0.025
0.025= 2.262
s/√n= 1.008/3.162= 0.318
Error= (2.262)(0.318)= 0.719
IC 13.04-0.719= 12.321
13.04+0.719= 13.759

10. Page 10
Los tensioactivos son agentes químicos, como detergentes, que bajan la tensión
superficial de un líquido. Son importantes en la limpieza de suelos contaminados. En un
experimento para determinar la eficacia de cierto método para retirar tolueno de arena,
esta última fue lavada con un agente tensioactivo, y luego enjuagada con agua des
ionizada. Es importante la cantidad de tolueno que sale en el enjuague. En cinco de
estos experimentos, las cantidades de tolueno eliminado en el ciclo de enjuague,
expresado como porcentaje de la cantidad total originalmente presente, fueron de 5.0,
4.8, 9.0, 10.0 y 7.3. Determine el intervalo de confianza de 95% para el porcentaje de
tolueno eliminado en el enjuague.
Media
1. 5.0
2. 4.8
3. 9.0
4. 10.0
5. 7.3
∑= 36.1/5 = 7.22
Desviación
1. 4.928
2. 5.856
3. 3.168
4. 7.728
5. 0.006
∑= 21.68/4 = √5.42= 2.328
95%
n-1= 4
1-.95/2 = 0.025
0.025= 2.776
s/√n= 2.328/2.236= 1.041
Error= (2.776)(1.041)= 2.889
IC 7.22-1.889= 4.331
7.22+1.889= 10.109

11. Page 11
En un experimento para medir la razón de absorción de pesticidas a través
de la piel, 500 mg de uniconazol se aplicó a la piel de cuatro ratas. Después
de diez horas, las cantidades absorbidas (en mg) fueron 0.5, 2.0, 1.4 y 1.1.
Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la media de la cantidad
absorbida.
Media
1. 0.5
2. 2.0
3. 1.4
4. 1.1
∑= 5/4 = 1.25
Desviación
1. 0.562
2. 0.562
3. 0.022
4. 0.022
∑= 1.168/3 = √0.389= 0.623
90%
n-1= 3
1-.90/2 = 0.05
0.05= 2.353
s/√n= 0.623/2= 0.311
Error= (2.353)(0.311)= 0.731
IC 1.25-0.731= 0.519
1.25+0.731= 1.981

12. Page 12
El siguiente resultado de MINITAB presenta un intervalo de confianza para
una media poblacional, pero algunos de los números están borrosos y son
ahora ilegibles. Complete los números faltantes para (a), (b) y (c).
•One-Sample T: X
•Variable N Mean StDev SE Mean 99% CI
•X 20 2.39374 (a) 0.52640 ( (b), (c) )
a) 2.3541 b) 0.888 c) 3.900