1. Ecuaciones de recurrencia<br />Método por sustitución<br />En este curso estudiaremos tres métodos para resolver ecuaciones de recurrencia:<br />por sustitución<br />por iteración, y <br />por el teorema maestro<br />Se resolvió la ecuación de recurrencia para el tiempo de ejecución del algoritmo ordenarxfusion, por el método por sustitución.<br />La ecuación (obtenida en la clase anterior) es la siguiente:<br />(1)x(n) = n + 2· x(n/2)<br />con la condición de borde<br />(2)x(1) = 1<br />necesaria para obtener una solución particular de la ecuación de recurrencia.<br />El método por sustitución consiste en proponer una forma para la solución de la ecuación de recurrencia, esto es: la notación asintótica a la cual pertenece, y sustituir o reemplazar dicha forma en el lado derecho de la ecuación (1); se obtiene de esta manera una expresión para x(n) que debe satisfacer además la ecuación de borde o de frontera (2). En el proceso se calculan ciertas constantes que aparecen en la forma propuesta, lo que conduce a una solución particular de la ecuación de recurrencia. Si la expresión que resulta de todo este proceso es consecuencia lógica de la premisa que propone la forma de la solución, entonces dicha forma es correcta.<br />En el caso presente, la forma propuesta para x(n) fue la siguiente:<br />(3)x(n) = O(n lg n)<br />Es decir,<br />(4)Existe n0 y C, para todo n>=n0, x(n) <= C n lg(n)<br />Al reemplazar (3) en el lado derecho de (1), se obtiene <br />(5)x(n) <= Cn lg n , para C >= 1<br />Al tratar de hacer que x(n) según esta expresión cumpla con la condición de borde, tuvimos un problema porque no existe valor de C que multiplicado por 0 sea mayor o igual que 1. Entonces tuvimos que cambiar la condición de borde de n0 = 1 a n0 = 2 de tal manera que la nueva condición de borde fuera consistente con la anterior; la nueva condición de borde fue:<br />(6)x(2) = 4<br />Ahora sí, x(n) según (5) satisface la condición de borde (6) cuando C toma un valor mayor o igual que 2.<br />Entonces, tenemos para x(n) la expresión:<br />(7)x(n) <= 2 n lg(n)<br />Es decir, existen valores para n0 y C que hacen que (4) sea verdadera, y por lo tanto la forma propuesta (3) es correcta. <br />