Este documento introduce el concepto matemático de diferencial. Define el diferencial como la mejor aproximación lineal a una función en un punto, representada por su recta tangente. Proporciona ejemplos para verificar que el cambio en una función es aproximadamente igual a su diferencial para incrementos pequeños de la variable independiente. Finalmente, presenta un ejemplo práctico donde se utiliza el diferencial para estimar el cambio en el área de una placa cuando su lado aumenta ligeramente.

1. EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL CURSO DE MATEMATICA II

3. EJEMPLOS

4. En los siguientes ejemplos estimaremos la variación  f para x o y h dados y la compararemos con el diferencial. Ejemplo . Verifique que: a) Para f(x) = x 2 se cumple que  f  df en x o = 1 y h = 0.1 Solución:  f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 = 0.21 df = f ' (1)dx =(2x| x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20 La variación real difiere de la aproximada en una centésima . Observación: El punto x o + h es un punto cercano a x o, que se encuentra a la derecha de éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo. b) Para f(x) = x 2 se cumple que  f  df en x o = 1 y h = -0.1 Solución: D f = f(0.9) - f(1) = 0.81 - 1 = - 0.19 df = f ' (1)dx =(2x| x=1 )(-0.1) = (2)(-0.1) = - 0.20 La variación real difiere de la aproximada en una centésima .. c) Para f(x) = x 2 se cumple que D f @ df en x o = 2 y h = 0.006 Solución: D f = f(2.006) - f(2) = 4.024036 - 4 = 0.02403 df = f ' (2)dx =(2x| x=2 )(0.006) = (4)(0.006) = 0.02400 La variación real difiere de la aproximada en tres cienmilésimas

5. A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de aplicación práctica en los que, por medio del diferencial, estimaremos un aumento ó una disminución en alguna función. Ejemplo 1. Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?. Solución: Con el fin de ilustrar una situación que se presentará en todos los demás problemas y por la simplicidad de éste en particular, sólo en este caso calcularemos la diferencia de áreas D A y la compararemos con dA. Nótese que originalmente teníamos una placa de 15 x 15, después de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la figura. En este caso la función es A(L) = L 2 y por lo tanto D A en L = 15 y h = 0.04 es: A(15.004) - A(15) = 226.2016 - 225 = 1.2016 Si ahora calculamos el diferencial de área para A(L) = L 2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos: dA = A' (L)dL = (2L)dL =(2L| L=15 )(0.004) = (30)(0.004) = 1.2 En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el área aumenta aproximadamente 1.2 cm 2 . (El valor exacto del incremento es 1.2016) Generalmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como 0.04 es el 0.2666% de 15 y 1.2 es el 0.5333% de 225 = (15) 2 , decimos que si el lado de la placa se incrementa en un 0.266%, el área se incrementará aproximadamente en un 0.5333%.