CAPITULO 2

1. Moisés Gracia
Jenny García

2. CALCULO DIFERENCIAL
uno () ambos sean excluidos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo
a menor que b, para representar los números a y b y todos los números
comprendidos entre ellos, a menos que se diga explícitamente otra cosa.
Variación continua,. Se dice que una variable a varía de una
manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el
valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores
intermedios entre a y b en el
orden de sus magnitudes; o
cuando x disminuye desde x = b
hasta x = a, tomando sucesivamente
todos los valores intermedios.
Esta idea se ilustra geométricamente mediante el diagrama
de la· figura 3.

3. Tomando el punto O como origen,
marquemos sobre la recta los
puntos A y B correspondientes a los
números el y b. Además, hagamos
corresponder el punto P a un valor
particular de la variable x .
Evidentemente, el intervalo [a , b] estará
representado por el segmento
AB. Al variar x de una manera continua en
el intervalo [ a, b],
el punto P engendrará el segmento AB si x
aumenta o el segmento BA
I x disminuye.
CALCULO DIFERENCIAL

4. Funciones
Cuando dos variables están relacionadas de tal
manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor
a la segunda] entonces se dice que la primera es función de la segunda.
Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones
de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos
encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen
magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el peso
que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de
otras circunstancias, de su fuerza. Análogamente, se puede considerar
que la distancia de,un muchacho puede recorrer depende del tiempo.
O también podemos decir que el área de un cuadrado es una función de
la longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función
de su diámetro .

5. La segunda variable,
a la. cual se pueden asignar valores a
voluntad dentro de limites
que dependen del problema particular, se
llama la variable .independiente
o el argumento. La primera variable,
cuyo valor queda fijado cuando
se asigna un valor a la variable
independiente, se llama la variable
dependiente o la funci6n.
Variables independientes y dependientes

6. Notación de funciones. El símbolo f(x) se emplea para designar
una función de x, y se lee f de x . Con objeto de distinguir entre
diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) ,
J' (x), etc.
Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de
funcionalidad
indicará una misma ley de dependencia entre una función y su
variable. En los casos más simples, esta ley expresa la ejecución de un
conjunto de operaciones analíticas con la variable . Por consiguiente,
en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la
misma
operación, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores
de
la variable.
Variables independientes y dependientes

7. por ejemplo, si
f(x) = X2 - 9 x + 14,
entonces,
f ( ?I) = y2 - 9 Y + 14 ;
f(b+1)= (b+1)2- 9(b + 1)+14=b2 -7b + G
f( O) = 02
- 9· 0 + 14 = 14,
f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24,
f(3) =32 - 9. 3 + 14= - 4 .

8. 12. La división por cero, excluida. El
cociente de dos números
a y b es un número x tal que a = bx.
Evidentemente, con esta definición
la división por cero queda excluida. En
efecto, si b = O , Y recordando
que cero tomado cualquier número de
veces como sumando es
siempre igual a cero, se ve que x no
existe, a menos que a = O.
Si a = O, entonces x puede ser cualquier
número. Por lo tanto, las
expresiones que se presentan en una de
las formas
Variables
Independientes
y
dependientes

9. Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero.
La siguiente paradoja es un ejemplo .
Supongamos que a = b.
Entonces, evidentemente, ab = a2 •
Restando b2
,
Descomponiendo en factores,
Dividiendo por a -/¡ ,
ab - b2 = a~ - b~ .
h(a- b) = (a+b) (a- /; ) .
b=a+b.
Pero, a = b;
luego,
o ~ea que
b = 2 b,
1 = 2 .
El resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b = O.
Variables
Independientes
y
dependientes

10. Gráfica de una función; continuidad. Consideremos la función
x2 y hagamos
(1) Y = Xl.
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir,
(1) define unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente.
El lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4) Y se
llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente (Art. 8)
desde x = a hasta x = b, entonces y variará continuamente desde
y = a2 hasta y = b2
, Y el punto P (x, y) se moverá continuamente,
a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 ) hasta (b, b2 ). Además,
a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que
, 'In. función X2 es continua para todos los valores de x".
Variables Independientes
y
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11. Está ecuación da un valor de y para cada valor de x, con {
m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la función no está definida. La
gráfica (fig. 5), que es el lugar geométrico de (2), es una hipérbola
equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo
la, bl que no incluya x = O, entonces y decrecerá continuamente
desdé ~ hasta ~ , y el punto P (x, y) describirá la curva entre los
puntos correspondientes ( a, ~), (b, ~ ). En este caso decimos
qué "la función 1- es continua para todos los valores de x con excepción
de x = O' '. No existe en la gráfica un punto correspondiente a
x = O.
Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una función.
Variables Independientes
y
dependientes