2. ¿Que son las ecuaciones diferenciales? Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más funciones.
3. ¿Qué es el orden de la ecuación? Se le llama orden de la ecuación al orden de la ecuación más alta de una ecuación diferencial.
4. ¿A que se le llama grado en una ecuación diferencial? El grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
5. Clasificación de las ecuaciones diferenciales Tipo - Ordinarias - Parciales Orden El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación. Grado Es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial. Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales.
6. Solución Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación.
7. Solución general. Si todas las soluciones de F (x, y,…., y (n) ) = 0 en un intervalo de I puede obtenerse de G (x, y, C1,…, Cn) = 0 mediante valores apropiados de los términos Ci, i = 1, 2 ,…, n, entonces se dice que la familia n-paramétrica es la solución general o completa de la ecuación diferencial.
8. Solución particular. Es la solución de una ecuación diferencial que no contiene parámetros arbitrarios. Una manera de obtener una solución particular es elegir valores específicos del parámetro (o de los parámetros) en una familia de soluciones.
9. Interpretación geométrica Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustará a una función de las coordenadas del punto en estudio.
10. Interpretación geométrica Una buena aproximación al valor del incremento de la variable dependiente (usada ya por Euler) consiste en calcular el producto de la función en el punto particular por el incremento de la variable independiente. Esta idea se rescata en la construcción con Cabri- Géomètre de un tramo de la recta tangente cuya pendiente está dada por la función f(x, y).
11. Trayectorias ortogonales. Las trayectorias ortogonales son la familia de curvas que cortan perpendicularmente al haz de curvas que se forman en la solución de una ecuación diferencial.
12. Existencia y unicidad. Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico.
13. Existencia y unicidad Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: Existencia:¿Existirá una solución al problema? Unicidad:¿En caso de que exista solución, será única?
