1. CONTROL Y MEJORA DE UN PROCESO. GRÁFICOS DE
CONTROL. CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS. SPC
1. INTRODUCCIÓN.
Mientras el Dr. Walter Shewhart de los Laboratorios Bell estudiaba
datos de procesos en la década de los años 20, distinguió por
primera vez entre variaciones controladas e incontroladas, debido
a lo que llamamos causas especiales.
Desarrolló un sencillo pero poderoso instrumento para distinguir
dinámicamente entre las dos: el gráfico de control.
Desde entonces, los gráficos de control han sido utilizados con
éxito en una amplia variedad de situaciones de control de procesos.
La experiencia ha demostrado que los gráficos de control dirigen
efectivamente la atención hacia las causas especiales de variación y a la
magnitud de la variación de causas comunes que se deben reducir
mediante actuación por parte de la dirección.

2. TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROL
Los gráficos de control pueden ser de dos tipos según la
característica del producto o servicio a analizar: Gráficos de control
por variables y gráficos de control por atributos.
En los gráficos de control por variables, el control del proceso se
realiza mediante variables susceptibles de ser medidas:
cantidades, pesos, diámetros, espesores, frecuencias, etc. En ellos
se analizarán parámetros de centraje y dispersión de la
característica a controlar a lo largo del tiempo. El gráfico, que
analiza la media muestral y el rango de una muestra
predeterminada, es el más utilizado en este ámbito.

3. En los gráficos de control por atributos, el control del proceso se
realiza mediante atributos de tipo dicotómico. Así, se puede
analizar si el producto o servicio posee o no una determinada
característica (atributo): color, forma, defecto, tipo, etc.
Y en general se aborda dicho análisis mediante preguntas del tipo:
aceptable/no aceptable, si/no, funciona/no funciona, etc.
Los principales gráficos por atributos, son: los que controlan
número de unidades defectuosas: "p" y "np", y los que controlan el
número de defectos "c" y "u". Su estudio se abordará
posteriormente.

4. En general se prefiere el control por variables, ya que la
información recogida es más objetiva (son medidas de una
característica) y representa más fiablemente el estado del proceso en
términos de la característica que se intenta controlar; máxime, si se
tiene en cuenta que para realizar el control, el número de "piezas"
observadas (que constituyen la muestra) es muy pequeño comparado
con la población de la que provienen y que permiten establecer la
capacidad del proceso.
Así, estos gráficos nos informan más fiablemente acerca de la
variación que sufre la característica que se mide a lo largo del tiempo
y de la magnitud de esa variación. Por otra parte, los gráficos de
control por atributos sólo nos dan una indicación de la aceptabilidad
de la muestra, sin informar de la variación producida por la
característica y además, por lo general requieren para su construcción
tamaños muestrales mayores.
Así, si la característica que se pretende controlar es muy
importante (por ejemplo, por ser componentes de precisión) se
emplearán los gráficos de control por variables.

5. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES.
Los gráficos de control por variables en general nos permitirán
mediante muestras de pequeño tamaño (3, 4 ó 5 piezas) tomadas en
la propia máquina, prever dentro de que límites un proceso está
dentro de control. Es decir, se trata de controlar el proceso vigilando
las variables más significativas de los productos fabricados; para ello
se usan técnicas estadísticas aceptando que los errores siguen una
distribución normal.
Los gráficos de control por variables se deben utilizar cuando se
precise controlar una dimensión o característica concreta de un
producto en el que se están produciendo defectos o cuando no
estamos seguros de que el proceso con el que se fabrican estos
productos sea el adecuado. El control por variables tiene como
ventajas a destacar que el operario recibe información de la calidad
de su trabajo y puede contrastarla con los objetivos perseguidos,
además se puede prever la aparición de piezas defectuosas, así
como detectar que un proceso es el adecuado para fabricar una
determinada pieza analizando también la evolución del propio
proceso.

6. 2. GRÁFICO ( X −R )
Este gráfico trata de mostrarnos la distribución que siguen en el
X
tiempo los estimadores (media) y R (rango), identificativos del valor
central y la dispersión de los valores de cada muestra extraída. Los
valores de estos estimadores variarán de una muestra a otra en el
proceso de inspección; por tanto, lo que nos interesará predecir, son
los límites entre los que variarán dichos estimadores, supuesto que
el proceso está bajo control (esto es, cuando no existen causas
especiales que distorsionen el proceso).
El procedimiento que debe seguirse para su construcción exige
contar con una hoja de recogida de datos, en la que se indicará el
tamaño de las muestras, la frecuencia con que deben tomarse y el
número de muestras necesarias para obtener cierta significación
estadística en nuestro estudio.

7. El tamaño de la muestra se elegirá de modo que la variación entre
las medidas de las unidades observadas sea lo menor posible.
Conviene que este tamaño sea reducido y constante para todas
las muestras que se tomen. Suelen tomarse muestras de tamaño
5, de extracción consecutiva, para que todas las unidades que
componen la muestra tengan un comportamiento lo más
homogéneo posible.
Respecto a la frecuencia de extracción de muestras, no se ha de
perder de vista el propósito general de los gráficos de control por
variables, que es detectar los cambios que se originan en el
proceso a lo largo del tiempo. Por eso la frecuencia de extracción
debe facilitar esa tarea de detección, de modo que si se prevé una
elevada variabilidad de la medida en el proceso, los intervalos de
extracción deben ser cortos.

8. De cada una de las muestras se van a vigilar dos valores: uno es la
media y el otro el rango (diferencia entre el mayor valor y el menor
de los datos de la muestra). Puede admitirse que cada uno de
estos dos valores sigue una distribución normal a lo largo del
proceso de muestreo, es decir:
X ≈ N ( X , σ X ) R ≈ N (R, σ R )
Además, la relación que existe entre las desviaciones de estas
distribuciones, la desviación estándar de la población (σ), y el rango
medio ( R ) es:

9. σ R d3
σX = = σ R = d 3σ = R
n d2 n d2
donde d2, d3 son coeficientes cuyo valor depende del tamaño de
cada muestra.
Para vigilar los valores de media y rango, se han de establecer los
denominados límites de control de medias y rangos. Los límites de
control de un gráfico nos denotarán las cotas superior e inferior que
pueden tomar los valores que se plasman en el gráfico, de modo
que la desviación respecto a su valor medio sea como máximo de
±3 desviaciones estándar. Y esto suponiendo que la variación del
valor del estimador que se controla, es debida exclusivamente a
causas comunes.

10. Así, los límites de control para la media, se establecerán como sigue:
LCS X = X + A2 R
LC X = X ± 3σ X = X ±
3
R = X ± A2 R ⇒
d2 n LCI X = X − A2 R
Lo mismo, para los rangos:
LCS R = D 4 R
LC R = R ± 3σ R
d d
= R ± 3 3 R = (1 ± 3 3 ) R ⇒
d2 d2 LCI R = D3 R
los valores A2, D3, y D4 también dependen del tamaño de la muestra (ver
tabla siguiente.)

11. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d2 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078
d3 0.853 0.888 0.880 0.864 0.848 0.833 0.820 0.808 0.797
A2 1.880 1.023 0.729 0.577 0.483 0.419 0.373 0.337 0.308
D3 0 0 0 0 0 0.076 0.136 0.184 0.223
D4 3.267 2.575 2.282 2.115 2.004 1.924 1.864 1.816 1.777
L 2.659 1.772 1.457 1.289 1.183 1.109 1.053 1.010 0.974
F 0.779 0.749 0.728 0.712 0.700 0.690 0.680 0.673 0.666
A3 2.660 1.950 1.630 1.430 1.290 1.180 1.100 1.030 0.980
B3 0 0 0 0 0.030 0.120 0.190 0.240 0.280
B4 3.270 2.570 2.270 2.090 1.970 1.880 1.820 1.760 1.750
Tabla: Coeficientes para distintos tamaños de muestra "n"

12. LVNS = X + L R
LVN = µ ± 3σ ≈ X ± 3
R
= X ± LR ⇒
d2
LVNI = X − L R
Condición 1: [LVN ⊂ LT ]

13. INTERPRETACIÓN DEL GRÁFICO ( X − R )
Desde el punto de vista del control y mejora del proceso, no basta
con saber construir los gráficos de control; es necesario saber
interpretarlos, con el fin de averiguar lo que le está sucediendo al
proceso en el transcurso del tiempo: causas de variación
especiales, sesgos, tendencias, etc.

14. Antes de aceptar los gráficos anteriores para el control futuro, es
necesario comprobar que el proceso esta bajo control estadístico,
lo cual ocurre cuando:
- Ninguno de los valores del Rango queda fuera de los limites de
control de Rango.
- Ninguna de las Medias esta fuera de los limites de control de las
Media.
- No haya mas de seis valores de las Medias, en muestras
consecutivas que estén al mismo lado de la gran media.
- No haya dos Medias seguidas fuera de los limites de
advertencia, (estos se toman con una amplitud de dos veces la
desviación típica).
- En siete muestras consecutivas no puede haber mas de dos
Medias fuera y del mismo lado de los limites de advertencia.

15. Si se cumple todo lo anterior, indicaría que los valores hallados son
representativos del proceso y pueden usarse en el futuro para el
control del mismo. Si alguna de las condiciones no se cumple, no
se podrían usar y habría que estudiar cual es el motivo y corregirlo.
Veamos unos ejemplos de los gráficos anteriormente descritos:
Gráfico con puntos fuera de control.

16. Puede ser que el proceso esta bajo control, pero se note un
progresivo empeoramiento.

17. Cuando todos los puntos están muy cerca de la línea central, sobre
1,5 * σ, no indican que estemos con un buen control, sino que
estamos mezclando información lo que nos da unos márgenes muy
amplios, entonces ha de revisarse la manera de hacer los subgrupos.

18. También puede considerarse anormal que se note un cierto
ordenamiento en los puntos, aunque estos estén dentro de las líneas
de control, por ejemplo mismas subidas y bajadas. Recuérdese que
para que un proceso este bajo control las únicas causas que pueden
influir en él, son las debidas al azar.

19. 3. EJEMPLO DE GRAFICOS X-R. A continuación se muestra la
representación del gráfico () correspondiente a los datos de 25 muestras
de tamaño 5 de los diámetros de x3 x2 x4 x3 x5 x4 piezas.
x1 x2
x1 determinadas x5
001 10.440 10.500 10.450 10.440 10.520
001 10.440 10.500 10.450 10.440 10.520
002 10.640 10.530 10.600 10.520 10.510
002 10.640 10.530 10.600 10.520 10.510
003 10.550 10.510 10.470 10.450 10.420
003 10.550 10.510 10.470 10.450 10.420
004 10.530 10.520 10.560 10.590 10.600
004 10.530 10.520 10.560 10.590 10.600
005 10.520 10.430 10.440 10.460 10.500
005 10.520 10.430 10.440 10.460 10.500
006 10.450 10.460 10.610 10.480 10.550
006 10.450 10.460 10.610 10.480 10.550
007 10.530 10.610 10.480 10.400 10.480
007 10.530 10.610 10.480 10.400 10.480
008 10.450 10.500 10.450 10.530 10.470
008 10.450 10.500 10.450 10.530 10.470
009 10.520 10.560 10.530 10.580 10.660
009 10.520 10.560 10.530 10.580 10.660
010 10.560 10.500 10.400 10.510 10.640
010 10.560 10.500 10.400 10.510 10.640
011 10.530 10.480 10.560 10.550 10.580
011 10.530 10.480 10.560 10.550 10.580
012 10.560 10.430 10.430 10.420 10.510
012 10.560 10.430 10.430 10.420 10.510
013 10.500 10.720 10.480 10.450 10.500
013 10.500 10.720 10.480 10.450 10.500
014 10.470 10.530 10.560 10.520 10.470
014 10.470 10.530 10.560 10.520 10.470
015 10.530 10.560 10.600 10.690 10.550
015 10.530 10.560 10.600 10.690 10.550
016 10.510 10.630 10.620 10.590 10.610
016 10.510 10.630 10.620 10.590 10.610
017 10.500 10.510 10.400 10.520 10.520
017 10.500 10.510 10.400 10.520 10.520
018 10.540 10.460 10.490 10.450 10.460
018 10.540 10.460 10.490 10.450 10.460
019 10.490 10.550 10.510 10.560 10.490
019 10.490 10.550 10.510 10.560 10.490
020 10.620 10.500 10.600 10.610 10.620
020 10.620 10.500 10.600 10.610 10.620
021 10.540 10.590 10.630 10.580 10.560
021 10.540 10.590 10.630 10.580 10.560
022 10.420 10.550 10.480 10.500 10.500
022 10.420 10.550 10.480 10.500 10.500
023 10.520 10.600 10.510 10.520 10.500
023 10.520 10.600 10.510 10.520 10.500
024 10.570 10.720 10.640 10.730 10.590
024 10.570 10.720 10.640 10.730 10.590
025 10.600 10.570 10.600 10.480 10.500
025 10.600 10.570 10.600 10.480 10.500

20. Con la tabla inicial de datos los gráficos que se obtienen son los
siguientes:
GRAFICO X GRAFICO R
10,65 0,3
10,6 0,25
10,55 0,2
10,5 0,15
10,45 0,1
10,4 0,05
10,35 0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

21. En el diagrama X se detecta un punto fuera de control
correspondiente a la muestra 24, mientras que en el R todos están
entre los límites. Enmascarando esta muestra y volviendo a dibujar
los gráficos se detecta otro punto fuera de control, esta vez en el
gráfico R correspondiente a la muestra 13, la cual volvemos a
enmascarar. Para ello seguiremos los siguientes pasos:
a) Calcularemos en primer lugar los rangos de cada muestra, Ri , y
el rango medio, R , con la información contenida en la ficha de
control:
25
∑R i
3,15
R= 1
= = 0,126
nº de muestras 25

22. Los limites de control para los rangos vienen dados por las
expresiones en función de D4 y D3:
LCSR = D4 * R = 2,115 x 0,126 = 0,266
LCIR = D3 * R = 0 x 0,126 = 0
Siendo los valores de D3 y D4 los correspondientes a la tabla
anterior para un tamaño de muestra, n, igual a 5.

23. b) Se comprueba a continuación si el rango de alguna de las
muestras cae fuera de los Límites de Control. Si esto ocurre, se
interpretará que la(s) muestra(s) correspondiente(s) pertenece(n) a
una población distinta o a un momento en el que el proceso estuvo
fuera de control. En cualquier caso, dichas muestras no serán
consideradas y se procederá a calcular unos nuevos R y LCR con las
muestras restantes.
En el presente caso, sólo el rango de la muestra i=13 está fuera de
los límites, pues R13 = 0,27, por lo que debe ser eliminada en la
determinación del nuevo rango:
3,15 − 0,27
R= = 0,12
24
LCSR = D4 * R = 2,115 x 0,12 = 0,254
LCIR = D3 * R = 0 x 0,126 = 0

24. Puede comprobarse que todos los rangos (salvo R13) están
contenidos dentro de las nuevas LCR, por lo que puede tomarse
como definitivo el valor R = 0,12. Si algún R, no hubiese satisfecho
esta condición, habría que proceder de forma análoga a la anterior
hasta conseguir que todos los Ri conservados queden dentro de los
LCR, cuidando de que el número de muestras que queden sean
suficientes para que los resultados sean significativos.
c) Una vez fijado se calcula el valor de y LCX, utilizando únicamente
las muestras no excluidas4 en el apartado anterior, por medio de las
expresiones ya vistas. Asimismo, se tomará R = 0,12.
24
) ∑X i
252,73
X= 1
= = 10,53
24 24
LCSX = + A2 * R = 10,53 + 0,577 x 0,12 = 10,599
LCIX = - A2 * R = 10,53 - 0,577 x 0,12 = 10,461
donde A2 procede de la tabla anteriormente comentada para n = 5. No
obstante algunos autores prefieren considerar todas las muestras.

25. d) Se comprueba seguidamente si alguna de las Xi cae fuera de los
LCX. Si esto ocurriese, deberían ser eliminadas, determinándose unos
nuevos y LCX. Para estos últimos se seguiría empleando el mismo R
(0,12 en nuestro caso), con lo que los nuevos límites de control
tendrían la misma amplitud que los anteriores aunque estarían
desplazados por haber cambiado. El proceso se repetiría hasta con
seguir que todas las conservadas queden dentro de los últimos LCX
calculados, que se tomarían como definitivos (salvo para el caso de
alta precisión como ya se indicó en la introducción) junto con el último
)
valor de X .
)
En el problema objeto de estudio observamos que X 24 = 10,65 está
fuera de los limites, por lo que deberá prescindirse de ella:
) 252,73 − 10,65
X= = 10,525
23
LCS = 10,525 + 0,577 x 0,12 = 10,594
LCI = 10,525 - 0,577 x 0,12 = 10,456

26. Las 23 muestras consideradas caen dentro de los nuevos LCX, por lo
que consideramos finalizado el proceso y procedemos al cálculo de
los límites de variación natural:
LVNS =
) + L R = 10,525 + 1,289 x 0,12 = 10,68
X
)
LVNI = X - L R = 10,525 - 1,289 x 0,12 = 10,37
Vemos, pues, que los LVN son más estrechos que los límites de
tolerancia, LT, especificados por la oficina técnica, que, de acuerdo
con la ficha de control, valen:
LT = 10,5 ± 0,2
es decir:
LTS = 10,5 + 0,2 = 10,7
LTI = 10,5 - 0,2 = 10,3

27. Se deduce, por tanto, que el proceso es capaz de cumplir los
objetivos marcados. Es interesante hacer notar que por estar la gran
media X descentrada hacia arriba (10,525 en lugar de 10,5), es mayor
la probabilidad de obtener piezas defectuosas por exceso en la
longitud, por lo que sería recomendable intentar centrar, X. Hay que
recalcar, sin embargo, que el operario sabe que los errores por
exceso pueden ser corregidos, no ocurriendo esto con los que son por
defecto, tendiendo, por tanto, a dar valores centrales, X, más
elevados.
Así se obtienen los gráficos finales de la fase de construcción.
GRAFICO X GRAFICO R
10,65 0,3
10,6 0,25
0,2
10,55
0,15
10,5
0,1
10,45 0,05
10,4 0
1 4 7 10 13 16 19 22 1 4 7 10 13 16 19 22

28. Para calcular los valores de los límites de control en ambos gráficos,
basta utilizar las fórmulas anteriormente expuestas (supuesto que ya
se han filtrado las muestras 24 y 13).
Gráfico de medias:
X = 10,525 LC = 10,525 ± 0,577 ⋅ 0,12 = [10,456; 10,594]
R = 0,12 LCS = 2,115 ⋅ 0,12 = 0,254; LCI = 0 ⋅ 0,12 = 0

29. 4. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
Los gráficos de control por atributos se utilizan para controlar
características de calidad que no puede medirse. En este sentido,
se definirá el atributo de estudio y se observará si está presente o
no en las muestras que se obtengan del proceso.
Así, un producto se calificará como "bueno" o "malo" según posea
o no dicha característica o atributo.
En general, estos gráficos nos permiten controlar el número de
piezas defectuosas (bien en términos absolutos, dentro de una
muestra, bien en fracción defectuosa), o el número de defectos
(por muestra o por unidad de producto).

30. Según que el tamaño muestral considerado sea constante o variable
a lo largo de las sucesivas muestras, y de que se quieran controlar
unidades defectuosas o defectos, tenderemos cuatro diferentes
tipos de gráficos, como se muestra en la tabla adjunta:
n= Cte. n= Var.
Nº piezas defectuosas. np p
Nº defectos. c u

31. En cualquier caso, nuestro objetivo, será determinar los límites de
control del gráfico que estemos manejando. Genéricamente, los
límites de control siempre responden a la formulación: LC = VC ±
3σ, esto es, tres desviaciones estándar a un lado y otro del valor
central de la medida de estudio. La interpretación que se hará de
los puntos que rebasen los límites de control es la siguiente, si un
valor supera el límite superior de control, querrá decir que se ha
producido un alarmante ascenso del número de unidades
defectuosas (o del número de defectos). Sin embargo los valores
por debajo del límite inferior de control pueden deberse a dos
situaciones; o bien el proceso ha mejorado realmente,
disminuyendo el número de fallos, o la extracción de la muestra no
es adecuada en tamaño (tamaños de muestra pequeños, pueden
falsear la información real del % de fallos existente en el proceso).
Por este motivo, los tamaños muestrales deben ser suficientemente
grandes, con valores habitualmente superiores a 50 elementos por
muestra.

32. 4. 1. GRÁFICO "np".
Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una extracción
muestral, el número de unidades defectuosas correspondientes a esa
muestra.
Las expresiones del valor central y de los límites de control para este
gráfico son:
N
∑ nº uds.defectuosas en muestra" i"
i =1
VC = np = nº artículosdefectuoso promedio por muestra =
s
N
LC = np ± 3 np(1 − p)
Es obvio que el valor de los límites de control es constante, pero
depende del tamaño muestral elegido.

33. EJEMPLO GRÁFICO "np".
La empresa Data ha decidido llevara un control de calidad del proceso
productivo mediante la utilización de gráficos np empleando muestras
de 250 unidades, obteniéndose de las 25 primeras muestras las
unidades defectuosas que se presentan en la tabla siguiente:
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Def. 19 16 28 21 18 19 15 19 10 23 12 20 25 31 14 27 18 16 17 23 26 17 26 30 11
De acuerdo con los datos anteriores, calcularemos los límites de
control mediante la expresión:
Total de artículos defectuoso encontrado 501
s s
VC = np = = = 20,04
Número de muestrasinspeccion das 25
de donde:
np 20,04
p= = = 0,08
n 250
y por lo tanto:
LCS= np + 3 np(1 − p) = 20,04 + 3 20,04(1 − 0,08) = 32,92
LCI = np − 3 np(1 − p) = 20,04 + 3 20,04(1 − 0,08) = 7,16

35. 4.2. GRÁFICO "p".
Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una
extracción muestral, el porcentaje de unidades defectuosas muestral.
Así, por pi denotaremos a la fracción defectuosa de la muestra i-
ésima (obtenida como cociente entre el número de unidades
defectuosas en la muestra i-ésima y el tamaño muestral de dicha
muestra).
nº uds.defectuosa en muestra"i"
s
pi = fraccióndefectuosamuestra"i"=
ni
El valor central de esta característica, será
N
∑ nº uds.defectuosas en muestra"i"
VC = p = fracción defectuosa promedio= i =1
N
∑n
i =1
i
donde N es el número total de muestras.

36. Los límites de control, para este gráfico, se calculan según la fórmula
siguiente (siendo la raíz de la misma un estimador de la desviación
poblacional):
p(1 − p)
LCi = p ± 3
ni
En esta fórmula puede observarse como los límites de control
dependen del tamaño muestral (que es variable), por lo que los valores
de control de este gráfico no serán constantes, sino que tendrán
diferentes valores para cada muestra.
Como resultaría excesivamente tedioso calcular los límites de control
reales, suelen calcularse los denominados límites de control
simplificados, que toman valores constantes al considerar en la
fórmula anterior el tamaño muestral promedio de las N muestras. Esta
aproximación, podrá hacerse siempre que no exista gran variación
entre los tamaños muestrales de las diferentes muestras. En todo
caso, para aquellos puntos del gráfico próximos a estos límites
simplificados, será necesario calcular los límites de control reales, para
evitar falsas alarmas (por ejemplo: un punto por debajo del límite
inferior simplificado y cercano a él, no tiene porqué poner al sistema
fuera de control si no supera al correspondiente límite de control real).

37. EJEMPLO DE GRÁFICO P
La empresa Electra, S. A., trata de controlar el proceso de fabricación
de determinados aparatos eléctricos mediante la implantación de un
gráfico p con el que observar la evolución de la fracción defectuosa.
Para ello, se comienza en el mes de febrero de 1980, examinando un
50 por 100 de la producción mediante muestras de tamaño variable e
igual a la mitad de la producción diaria.
Como valor central de la fracción defectuosa se adopta, en un
principio, el obtenido de experiencias similares en el pasado, igual a
un 2,5 por 100 de productos defectuosos por muestra. Este valor (p =
0,025) será revisado mensualmente y sustituido por otro si la
evolución de la calidad así lo aconseja.

38. Los datos procedentes de 25 muestras aparecen en la tabla de la
figura siguiente en la que se indica además de los valores de ni y pi,
los valores de los límites de control de cada muestra, calculados de
acuerdo con las expresión siguiente para pi :
nº uds.defectuosa en muestradetectadas
s
pi = fraccióndefectuosamuestra"i" =
Númerototalde unidadesinspeccion adas
Se desea dibujar el gráfico p correspondiente así como comentar los
resultados obtenidos.

39. RESOLUCIÓN:
A partir de los datos de la tabla se ha dibujado el gráfico p. De su
observación se desprende que, a partir de la muestra 7, la calidad
ha ido empeorándose progresivamente hasta llegar a una muestra,
la 17, que queda fuera de control. A partir de ella se han aplicado
medidas correctoras que han traído consigo una mejora en la
fracción defectuosa.
A la luz de la información brindada por el gráfico p parece
aconsejable revisar el valor central empleado, utilizándose para ello
el promedio de p durante el mes transcurrido, y excluyendo, claro
está, el valor correspondiente a la muestra que resultó fuera de
control. Así pues, el nuevo VC a aplicar el mes de marzo será:

40. Número total de unidades defectuosas detectadas 285
VC= ---------------------------------------------------------------------- = ----------- =0,0235
Número total de unidades inspeccionadas 12.144
Que es menor que el objetivo de 0,025.
Vemos que se ha conseguido una ligera mejora de la calidad sobre el VC
inicialmente previsto.
En el presente caso, en el que el tamaño de la muestra varía dentro de unos
límites estrechos (ver introducción), cabe la posibilidad de utilizar un valor
medio para el mismo, ñ, que evitará el cálculo de los LC para cada muestra,
utilizándose para todas ellas los LC resultantes de aplicar las expresiones
anteriores para ñ = 0,507.

41. Así pues, para el mes de febrero tendríamos:
p ' (1 − p ' ) 0,025(1 − 0,025)
LCS = p'+3 = 0,025 + 3 = 0,046
n 507
p ' (1 − p ' ) 0,025(1 − 0,025)
LCI = p '+3 = 0,025 − 3 = 0,004
n 507
De esta forma obtenemos unos limites de control que no varían con
el tamaño de la muestra. Su utilización debe ir acompañada del
cálculo de los verdaderos valores de LC en aquellas muestras cuyo
valor de p¡ quede fuera, o muy próximo, del LC promedio, de forma
que pueda determinarse si la muestra en cuestión debe ser
considerada realmente fuera de control.

42. De forma análoga, para el mes de marzo podemos utilizar unos LC
aproximados, para cuyo cálculo utilizaremos:
p' = = 0,0235 y ñ = 506
lo cual nos lleva a
p' (1 − p' ) 0,0235(1 − 0,0235)
LCS = p'+3 = 0,0235 + 3 = 0,0437
n 506
p' (1 − p' ) 0,0235(1 − 0,0235)
LCI = p'−3 = 0,0235 − 3 = 0,033
n 506

43. Es fácilmente observable que, en el caso de utilizar un valor de n
constante, la diferencia entre este gráfico y el np es la escala,
siendo la de este último igual a la del p multiplicada por n. Debido a
ello, en estas circunstancias suele ser más interesante emplear el
gráfico np, pues requiere menos cálculos y es de más fácil
comprensión. No obstante, es necesario decir que los cálculos de
los distintos LC en los gráficos p pueden ser sistematizados,
existiendo incluso ábacos de los que se obtienen con facilidad.

45. 4.3. GRÁFICO "c".
Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una extracción
muestral, el número de defectos correspondientes a esa muestra. Así, si
llamamos:
ci = nº defectosen la muestra"i"
las expresiones del valor central y de los límites de control para este gráfico
serán: N
∑nº defectosen muestra"i"
VC = c = media defectos por muestra = i =1
N
LC = c ± 3 c

46. EJEMPLO DE GRÁFICO C
Para realizar el control de calidad en la fabricación de un cierto tipo de
artículo, la empresa Maolar decide implantar un gráfico c, en el que se
representa el número de defectos por muestra. Dado que cada unidad a
controlar puede presentar hasta 200 defectos diferentes, se va a tomar un
tamaño de muestra pequeño. Así pues, se utilizarán 25 muestras de 6
unidades cada una.
Los datos procedentes de la inspección aparecen en la parte superior de la
figura siguiente. Puede observarse que, en este caso, los distintos defectos
se han clasificado en tres grupos. A, B y C, por orden de importancia y a
efectos de tener una mayor información.
Suponiendo probabilidad constante de aparición de un defecto cualquiera,
se desea obtener el gráfico c para el control futuro del proceso.

47. RESOLUCIÓN:
A partir de los datos registrados pueden obtenerse el valor central y los limites
de control de acuerdo con las expresiones anteriores, tenemos:
nº Total de defectos detectados 585
VC = = ------------------------------------------- = ----- = 23,4 defectos/muestra
Nº De muestras inspeccionadas 25
LCS = c + 3 c = 23,4 + 3 23,4 = 37,4
LCI = c − 3 c = 23,4 − 3 23,4 = 8,9
Con estos valores se construye el gráfico c que aparece en la figura 18.7,
sobre el que se han representado los valores correspondientes a las distintas
muestras, las cuales quedan todos bajo control. Debido a ello puede ser
aceptado para el control futuro del proceso, aunque, pasado algún tiempo
pueda ser aconsejable calcular unos nuevos valores para VC y LC de acuerdo
con la evolución real de la calidad.

49. 4.4. GRÁFICO "u".
Este gráfico controla en cada punto correspondiente a una extracción
muestral, el número de defectos por unidad de producto en esa muestra.
Así, si denotamos por ui al número de defectos unitario:
nº defectos en muestra " i" (c i )
ui =
ni
las expresiones del valor central y de los límites de control para este gráfico
serán:
N
∑nº defectosen muestra"i"
i =1
VC = u = nº mediodefectospor unidad= N
∑n
i =1
i
u
LCi = u ± 3
ni
En este caso, hemos de hacer las mismas consideraciones de cálculo de los
límites simplificados que en el gráfico "p".

50. EJEMPLO DE APLICACIÓN DE GRÁFICOS U
Se desea establecer el control de un proceso mediante un gráfico u, con idea de vigilar
el número de defectos que presentan los artículos considerados no aceptables. Para
ello, se han tomado 25 muestras, cuyos tamaños y número de defectos encontrados se
indican en la parte superior de la figura siguiente. Como en el problema anterior, el
elevado número de defectos distintos que puede aparecer en un artículo hace posible la
utilización de pequeños tamaños de muestra.
RESOLUCIÓN:
De acuerdo con los datos registrados estimamos, el valor central y los limites de control.
El primero de ellos, ü, lo haremos igual al número medio de defectos por unidad. Los
LC serán calculados de acuerdo con las expresiones correspondientes a estos gráficos,
pero utilizando un tamaño de muestra medio, ñ, igual al total de artículos
inspeccionados (= 148) dividido por el número dé muestras (= 25).
N
∑ nº defectosen muestra"i" 834
VC = u = nº medio defectos por unidad = i =1
N
= = 5,64
∑n
148
i
i =1
u 5,64 u 5,64
LCS = u + 3 = 5,64 + 3 = 8,57 LCS = u + 3 = 5,64 − 3 = 2,71
ni 148 / 25 ni 148 / 25
Esto último es factible debido a que las variaciones de n no son demasiado importantes.
De la representación del gráfico u (Fig. 18.8), se deduce que todas las muestras
inspeccionadas están bajo control, por lo que los LC y VC pueden ser adoptados como
definitivos en tanto la evolución real de la calidad no aconseje otra cosa.