Instrumentación y control industrial

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE TECNOLOGÍA
COMPLEJO DOCENTE PUNTO FIJO
ASIGNATURA: CONTROL DE CALIDAD
Profesor: MSc. Marcolina Valery A.
Tema 3. HERRAMIENTAS DE LA CALIDAD (COMPLEMENTO)
GRÁFICOS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN
El inicio del período del CONTROL ESTADÍSTICO DE LOS PROCESOS, que constituyó un avance sin
precedente en el movimiento hacia la calidad, surge en la década de los 30’s a raíz de los trabajos de
investigación realizados por la Bell Telephone Laboratories. Donde uno de sus principales
investigadores, Dr. Walter A. Shewhart, como principal aporte reconoce que en todo proceso de
producción existe variación, puntualizando que no podían producirse dos partes con las mismas
especificaciones, pues era evidente que las diferencias en la materia prima e insumos y los distintos
grados de habilidad de los operadores provocaban variabilidad.
Shewhart no proponía suprimir las variaciones, sino determinar cuál era el rango tolerable de variación
que evite que se originen problemas. Para lograr lo anterior, desarrolló las GRÁFICAS DE CONTROL,
punto central del material didáctico.
CAUSAS COMUNES Y ESPECIALES DE LA VARIACIÓN
La variación es algo inherente a todo proceso debido al efecto conjunto de equipos, materiales, entorno
y operario. La variación experimentada en un proceso puede ser consecuencia de 2 tipos de causas, las
causas comunes (fortuitas o aleatorias) y causas especiales (atribuibles o impotables).
La variación debido a causas comunes o al azar, es inherente a las características esenciales del
proceso y es el resultado de la acumulación y combinación de las diferentes fuentes de variabilidad. Las
causas comunes son difíciles de identificar y eliminar.
La variación debido a causas especiales o atribuibles no es parte del sistema de causas comunes,
orinadas por situaciones o circunstancias especiales que no estén presentes permanentemente en el
sistema. Las causas especiales, por su naturaleza relativamente discreta, a menudo puedan ser
identificadas y eliminadas.
Un proceso que trabaja solo con causas comunes de variación, se considera que esta en estado de
control estadístico. Es estable y predecible, independientemente de que su variabilidad sea mucha o
poca, es predecible en el futuro inmediato. En un proceso bajo control estadístico la calidad, la cantidad
y los costos son predecibles.
Un proceso en el que están presentes causas especiales de variación se considera fuera se control
estadístico (o es inestable).
Los gráficos de control constituyen un instrumento que permite distinguir, la mayoría de las veces,
cuando un cambio, problema o una variación se debe a causas comunes y cuando a causas especiales.
GRÁFICAS DE CONTROL
Una gráfica de control consiste en una línea central, un par de límites de control, uno de ellos colocados
por encima de la línea central y otro por debajo, y ciertos valores característicos registrados en la
grafica que representa el estado del proceso. Si todos los valores ocurren dentro de los límites de
control, sin ninguna tendencia especial, se dice que el proceso está bajo control estadístico, si no, esta
fuera de control.

2. 2
Para el cálculo de los limites de control se debe proceder de tal forma que bajo condiciones de control
estadístico, la variable que se grafique en la carta tenga una alta probabilidad de caer dentro de tales
limites. Por lo tanto, una forma de proceder es encontrar la distribución de las probabilidades de la
variable, estimar sus parámetros y ubicar los limites de tal forma que un alto % de la distribución este
dentro de ellos; esta forma se conoce como límites de probabilidad.
Una forma sencilla y usual se obtiene a partir de la relación entre la media y la desviación estándar de
una variable, que para el caso de una variable con distribución normal con media  y desviación
estándar  , y bajo condiciones de control estadístico, se tiene que entre -3 y +3 se encuentran
el 99.73 % de los posibles valores que tome tal variable.
68,27%
95,45%
99,73%
Frecuencia
68,27%
95,45%
99,73%
Frecuencia
Sea X la variable (o estadístico) que se va a graficar en el Gráfico de Control y suponiendo que su
media es X y su desviación estándar X, entonces el límite de control superior (LCS), la línea central
(LC) y el límite de control inferior (LCI) están dados por:
LCS = x + 3x
LC = x
LCI = x - 3x
Con estos limites, y bajo condiciones de control estadístico, se tendrá una alta probabilidad de que los
valores de X estén dentro de ellos. Si X tiene distribución normal, tal probabilidad es de 0.9973.
Los Gráficos de control de Shewhart son básicamente de 2 tipos:
 Gráficos de Control para Variables
 Gráficos de Control para Atributos
Los gráficos de control para variables:
Este tipo de gráfico se aplican a características de calidad de tipo continuo, que intuitivamente son
aquellas que requieren un instrumento de medición para medirse (peso, volumen, voltaje, etc.)
Los gráficos de control para variables más usuales son:
De medias, X
De rangos, R
Desviaciones estándar, S
En una característica de calidad de tipo continua en un producto o en un proceso interesante controlar
su variabilidad y su tendencia central, por ejemplo, las dimensiones de cierta pieza deben ser 10 cm.
con una tolerancia de  0.2 cm., por lo que la tendencia central de estas piezas debe estar muy

3. 3
próxima a 10, y su variabilidad debe ser tal que todas las piezas tengan una dimensión que caiga entre
9.8 y 10.2 cm.
Es por esto que generalmente, se presentan juntas los Gráficos de X , para controlar la tendencia
central, y la R (ocasionalmente una S) para controlar su variabilidad o dispersión.
GRÁFICAS X
Esta gráfica registra la variación experimentada en el valor promedio de las muestras (entre muestras).
La forma operativa de construir un Gráfico X inicia determinando las características a estudiar.
Posteriormente se mide la característica en una cantidad pequeña de productos consecutivos
(subgrupos de productos) cada determinado periodo y en lugar de analizar las mediciones individuales
se analizar las medias y los rangos de los subgrupos (o muestras).
La Gráfica X evidenciará el comportamiento sobre el tiempo de la columna de medias, sobre lo cual se
tendrá información sobre la tendencia central y sobre la variación entre las muestras.
Los limites de control para una Gráfica X , se obtendrán de la siguiente manera:
RAXLCI
XLC
RAXLCS
2
2



R es el promedio de los rangos de los subgrupos, y 2A es una constante que depende del número de
subgrupos (se ubica por tablas anexas).
GRÁFICAS R
Este diagrama es utilizado para estudiar la variabilidad de una característica de calidad de un producto
o un proceso, y en ella se analiza el comportamiento en el tiempo de los rangos de las muestras o
subgrupos.
Los limites de control para una carta R se obtienen a partir de la misma forma general: la media mas o
menos tres veces la desviación estándar de la variable que se grafica en la carta,
Los límites de una grafica R, se obtienen de la siguiente manera:
RDLCI
RLC
RDLCS
3
4



Donde 3D y 4D están tabuladas para varios tamaños de muestra.
REPRESENTACION DE LOS GRÁFICOS RX 
Ejemplo: Los siguientes datos representan el diámetro de un eje que se usa para hacer girar la hélice
de un motor fuera de borda. Determinar si el proceso esta bajo control estadístico.

4. 4
Muestra o
subgrupo
Diámetro en mm
Media X Rango
X1 X2 X3 X4 X5
1 16 23 12 11 16 15,6 12
2 14 14 19 12 23 16,4 11
3 11 13 14 17 14 13,8 6
4 21 23 21 13 8 17,2 15
5 13 17 13 13 14 14 4
6 16 13 14 17 14 14,8 4
7 16 22 16 17 17 17,6 6
8 17 12 14 15 16 14,8 5
9 17 18 15 20 14 16,8 6
10 10 9 18 14 13 12,8 9
11 15 10 17 10 9 12,2 8
12 16 13 16 11 14 14 5
13 14 11 14 22 15 15,2 11
14 11 10 18 14 12 13 8
15 16 10 14 10 18 13,6 8
16 13 18 14 13 20 15,6 7
17 10 10 18 17 13 13,6 8
18 12 12 19 9 14 13,2 10
19 13 12 11 18 13 13,4 7
20 16 14 16 15 15 15,2 2
X = 14,64 R = 7,6
Para Gráfico X Para Gráfico R
10,250,577(7,6)14,64RAXLCI
14,64XLC
19,030.577(7,6)14,64RAXLCS
2
2



00(7,6)RDLCI
14,64RLC
16,0742,115(7,6)RDLCS
3
4



Realizadas las graficas deben ser analizadas para determinar el estado del proceso. Primero debe
analizarse la Gráfica R para ver si es estable. Si el proceso no esta dentro del control, la Gráfica X
tendrá poco significado, ya que los limites de control de ésta dependen de la variabilidad.
Gráfico de Control de X
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Muestras
mm.
A
B
C
C
B
A

5. 5
Gráfico de Control de R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Muestras
mm.
A
B
C
C
B
A
Gráficos I-Rm (Valores Individuales)
La gráfica de individuales es un diagrama para variables de tipo continuo que se podría ver como un
caso particular de la carta RX  , cuando el tamaño de la muestra es n = 1, pero la diferencia principal
se da en los procesos en los cuales se aplica.
Existe muchos procesos o situaciones donde no tiene sentido práctico agrupar medidas para formar una
muestra o subgrupo, como por ejemplo: Proceso muy lentos; Procesos en los que las mediciones
cercanas solo difieren por el error de medición (Por ejemplo, temperaturas); Se inspecciona de manera
automática todas las unidades producidas y Resulta costoso inspeccionar y medir más de un artículo.
En estos casos la mejor alternativa es usar una gráfica de individuales, donde cada medición particular
de la característica de calidad que se obtiene se registra en una carta. Para estimar la variabilidad de
estas mediciones se acostumbra usar el rango móvil de dos observaciones consecutivas, por lo que, al
graficar estos rangos, se obtiene una carta de rangos móviles.
Los límites de control de una Gráfica para Valores Individuales se obtiene igual que la carta RX  de
muestra n = 2, dado que el rango se obtiene de entre los datos de dos mediciones consecutivas:
Para la Gráfica X Para la Gráfica R





































1.128
R
3X
d
R
3XLCI
XLC
1.128
R
3X
d
R
3XLCS
2
2
0,RDLCI
RLC
RDLCS
3
4



Nota: 342 DyD,d son constantes porque siempre n=2
Ejemplo: En una empresa que hace impresiones en láminas de acero, un aspecto importante es la
temperatura del horno. La temperatura debe ser de 125 ºC  5 ºC porque si no se cumple se pueden
presentar problemas de calidad final de las láminas.
Para investigar si la temperatura tuvo una variabilidad estable primero se analizan los rangos móviles.
Para analizar el comportamiento de la tendencia central, se usa la carta de individuales.

6. 6
Muestra Temp. del horno Rango Móvil
120,87
1.128
2,29
3126,97
d
R
3XLCI
126,97XLC
133,06
1.128
2,29
3126,97
d
R
3XLCS
2
2

































1 125,1 -
2 127,5 2,4
3 122,7 4,8
4 126,4 3,7
5 125,5 0,9
6 130,5 5,0
7 127,3 3,2
8 127,5 0,2
9 127,3 0,2
10 123,0 4,3
11 123,5 0,5
12 128,0 4,5
13 126,4 1,6
14 128,3 1,9
15 129,5 1,2
16 128,1 1,4
17 125,1 3,0
02,29*0RDLCI
2,29RLC
7,482,29*3.267RDLCS
3
4



18 128,5 3,4
19 125,0 3,5
20 126,3 1,3
21 126,5 0,2
22 127,9 1,4
23 129,5 1,6
24 131,9 2,4
X = 126,97 R = 2,29
Gráfico de Rango móvil
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Muestras
Temperatura
A
B
C
C
B
Según la gráfica de rangos la temperatura en el horno estuvo bajo control estadístico en cuanto a
variabilidad. Pero el gráfico de individuales muestra que el proceso estuvo fuera de control estadístico
es su tendencia central, ya que desde las semanas 18 a la 24 se presento una tendencia ascendente.

7. 7
Gráfico de Individuales
118,0
120,0
122,0
124,0
126,0
128,0
130,0
132,0
134,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Muestras
Temperatura
A
B
C
C
B
A
EVIDENCIAS DE AUSENCIA DE CONTROL
Las causas especiales de variación (un proceso esta fuera de control) se manifiesta cuando uno o varios
puntos caen fuera de los límites de control, o cuando los puntos registrados en el gráfico siguen un
comportamiento no aleatorio. Para identificación estos patrones, primero hay que dividir la grafica de
control en seis zonas o bandas iguales, cada una con una amplitud similar a una desviación estándar de
la variable que se grafica. A continuación se dan cinco patrones para el comportamiento de los puntos.
Racha: Sucede cuando los puntos ocurren
continuamente en un lado de la línea central y el
numero de puntos se llama longitud de racha. Se
consideran anormales los siguientes casos:
 7 Puntos de un mismo lado de la línea central
 Al menos 10 de 11 puntos consecutivos ocurren
en un lado de la línea central.
 Al menos 12 de 14 puntos consecutivos ocurren
en un mismo lado de la línea central.
 Al menos 16 de 20 puntos consecutivos ocurren
en un mismo lado de la línea central.
8
11,1122
14,2244
17,3366
20,4488
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Racha de 7 puntos.
Es anormal
10 de 11 puntos consecutivos
del mismo lado es anormal.
Tendencia: Cuando los puntos forman una
curva ascendente o descendente bien definida
(6 puntos consecutivos ascendentes o
descendentes).
8
11,1122
14,2244
17,3366
20,4488
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7 puntos ascendentes Tendencia descendente
drástica
Acercamiento a los limites de control:
Teniendo en cuenta los puntos que se acercan
a los limites de control de 3σ . Si 2 de 3
puntos ocurren por fuera de las líneas de 2σ
el caso se considera anormal.

8. 8
8
11,1122
14,2244
17,3366
20,4488
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Acercamiento a la línea central: Cuando la
mayoría de los puntos están dentro de las
líneas de 1,5σ , es decir, se refleja poca
variabilidad. Esto puede deberse a una forma
inapropiada de hacer subgrupos. (15 puntos
consecutivos en 1,5σ puede ser muestra de
esta tendencia.
8
11,1122
14,2244
17,3366
20,4488
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Periodicidad: También es anormal que la
curva muestre repetidamente una tendencia
ascendente y descendente para casi el mismo
intervalo. El criterio puede ser 14 puntos
consecutivos alternando entre altos y bajos.
8
11,1122
14,2244
17,3366
20,4488
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Según Besterfield (1995), cuando un proceso esta bajo control, se produce un patrón normal de
variación que cumple con los siguientes:
1. El 34 % de los puntos esta dentro del espacio 1 a ambos lados de la línea central
2. Aproximadamente el 13.5 % de los puntos están dentro del espacio en 1σ y 2σ a ambos lados de
la línea central.
3. Aproximadamente 2.5 % de los puntos están dentro del espacio entre 2σ y 3σ a ambos lados de
la línea central.
Analizando el ejemplo de X -R, se deduce que el proceso esta bajo control estadístico, debido a que los
gráficos tiene puntos fuera de control, ni cumple con alguno de los patrones descritos de anormalidad,
pero si cumple con las condiciones de normalidad descritas anteriormente.
CAPACIDAD DEL PROCESO (Cp)
Es la habilidad de un proceso de producir una salida, donde la mediciones individuales de una
característica importante tendrá una variabilidad tan pequeña, que caerá dentro de las especificaciones,
siempre y cuando el promedio del proceso este centrado apropiadamente. Para realizar un análisis de la
capacidad es necesario que el proceso se encuentre bajo control estadístico. Un proceso puede estar
bajo control estadístico pero no cumplir con especificaciones.

9. 9
El histograma es la herramienta grafica por excelencia para evaluar si se cumple con las
especificaciones, sean de productos o procesos. Sin embargo, otra forma muy usual de cuantificar la
capacidad de cumplir con especificaciones son los índices Cp y Cpk.
Índice Cp: se utiliza para medir la capacidad potencial del proceso para cumplir con las
especificaciones técnicas, comparando el ancho de las especificaciones con la amplitud de la variación
del proceso, es decir:
NaturalTolerancia
TécnicaTolerancia
Cp 
Donde: Tolerancia Técnica (TT): especificación superior menos especificación inferior (ES-EI).
Tolerancia Natural: representa la variación real de la salida producida en el proceso ( 6 ) siendo  la
desviación estándar estimada del proceso, es decir:
6
EI)-(ES
Cp 
La capacidad de un proceso existe cuando un proceso es consistente TN<TT (Cp>1). El índice de
capacidad no muestra si en verdad se esta cumpliendo con las especificaciones, solo indica la variación
del proceso en relación a la variación permitida bajo la especificación.
Pasos para Calcular Cp.
1. Calcular el valor de  , a través el R de la muestra de la Gráfica R, con las formula:
2. Conociendo σ y las tolerancias del proceso, se calcula Cp.
A continuación se muestra un criterio para tomar dediciones con respecto al Índice Cp.
VALOR DE Cp CLASE DEL PROCESO DESICIÓN
Cp>1.33 1 El proceso es más que adecuado.
1< Cp<1.33 2
El proceso es adecuado pero requiere de un control estricto
conforme acerca Cp a 1.
0.67<Cp<1 3
El proceso no es adecuado para el trabajo. Es necesario un análisis
del proceso. Hay una buena probabilidad de éxito
Cp<0.67 4
El proceso no es adecuado para el trabajo. Requiere serias
modificaciones.
NOTA: Cuanto mayor sea Cp, mayor será la calidad (siempre que el proceso esté centrado).
-4 -2.2 -1.3 -0.3 0.7 1.7 2.7
4
CP = 0,67
6
EIES
-4 -2.2 -1.3 -0.3 0.7 1.7 2.7
8
CP = 1,33
6
ES EI
-4 -2.2 -1.3 -0.3 0.7 1.7 2.7
6
CP = 1,00
6
EIES
2d
R


10. 10
Ejemplo: En función de que el ejercicio realizado en los Gráficos RX  está bajo control estadístico y
consta de 24 subgrupos, se tomara el mismo ejemplo, siendo las especificaciones técnicas 15 mm.  2
mm. ES= 17, EI = 1.3 y 2d para n=5 es 2.326
0,20
19.60
6
2,326
7.6
6
317
Cp 








1
De acuerdo a los criterios, el proceso evaluado no es capaz de cumplir las especificaciones dadas,
correspondiendo a una clasificación 4.
Cp y Cpk. (Índice de desempeño de un proceso)
El índice de Capacidad Cp no constituye en sí una medida del desempeño del proceso, en función del
valor nominal o meta. Esta medición se obtiene mediante Cpk y se calcula como sigue:
Cpk
3σ
XES


minCpk 
Cpk
3σ
EIX


En la siguiente figura se ilustran los valores Cp y Cpk de un proceso, mostrando las opciones de las
relaciones, que pueden inferirse con los cálculos obtenidos, entre estos índices.
Observando las figuras, con respecto a Cp y CpK puede considerarse:
 Cp=Cpk cuando el proceso esta centrado.
 El máximo valor de CpK es Cp
 Cuando CpK< Cp el promedio del proceso no esta centrado respecto a los límites de
especificación.
 Cuando CpK= 1.00 el proceso se está obteniendo un producto que satisface especificaciones.
 CpK< 1 indica que se está obteniendo un producto que no satisface especificaciones.
Como el ejemplo de Gráfica RX  ) el Cp < 1, supongamos que con un R = 1,38 Cp= 1,12 si es capaz,
el Cpk es:
1.32
2.326
1.38
3
14.6417








0,92
2.326
1.38
3
1314.64








Como Cpk<1 el proceso no se esta desempeñando adecuadamente, además Cpk<Cp indica que el
promedio del proceso no está centrado respecto a los límites de especificación.
GRÁFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
Un atributo se refiere, para el control de calidad a una característica de calidad que cumple con las
especificaciones o no.
Hay dos tipos de atributos:
1. Aquellos casos cuando no es posible hacer mediciones: color, ralladuras, etc.
Se usa el valor mas bajo
de Cpk para el análisis
-12 -2.7 -1.8 -0.8 0.2 1.2 2.2
Cp = 0,67; Cpk=0,33
Proceso No Centrado
6
ES EI
X0
-12 -2.7 -1.8 -0.8 0.2 1.2 2.2
6
ES EI
X0
Cp = 1,33; Cpk=1,00
Proceso No Centrado
-3 -2.0 -1.1 -0.1 0.9 1.9 2.9
X0
Cp = 1,33; Cpk=1,33
Proceso Centrado
6
ES
EI
-6 -2.1 -1.2 -0.2 0.8 1.8
X0
Cp = 1,00; Cpk=0,67
Proceso No Centrado
6
ES EI
-2.7 -1.8 -0.8 0.2 1.2 2.2
X0
Cp = 0,67; Cpk=0,67
Proceso Centrado
6
ES EI
-2.7 -1.8 -0.8 0.2 1.2 2.2
Cp = 1,00; Cpk=1,00
Proceso Centrado
6
ES EI
X0
minCpk
Cpk =0,92

11. 11
2. Aquellos casos en los que si es posible hacer mediciones, pero no se realizan debido a tiempo,
costo o necesidad implicados.
Este tipo de gráficas puede ser muy útil cuando se pueden evaluar varias características de calidad
medibles, obteniendo información global sobre la calidad de forma práctica y menos costosa.
Tipos de Gráficos para Atributos
Existen dos tipos de grupos de gráficos de control por atributos. Uno de ellos es para unidades no
conformes y se basa en la distribución binomial (Gráficos p y np). El otro grupo de gráficos es la de no
conformidades y se basa en la distribución de Poisson (Gráficos c y u).
Gráficos p y np.
Gráficos p (proporción de artículos defectuosos).
Muestra las variaciones en la fracción o proporción de artículos defectuosos en un proceso. En esta
carta se revisan los artículos de una muestra (o subgrupo), y cada uno tiene una calidad aceptable o
no, es decir, un artículo pasa o no pasa. Los límites de control para una carta p están dados por:
n
)p(1p
3pLCI
pLC
n
)p(1p
3pLCS





Donde,
n = es el tamaño de muestra
p = es la proporción promedio de artículos defectuosos (la cantidad de artículos defectuosos en todas
las muestras dividido entre la totalidad de productos inspeccionados).
En ocasiones el tamaño de muestra, n, es variable de muestra a muestra; en estos casos se debe usar
el tamaño de la muestra promedio
para calcular los limites de control.
Ejemplo: Para analizar la estabilidad de la cantidad de artículos defectuosos en un proceso de
producción y tratar de mejorar, se toma una muestra de 120 piezas cada 4 horas. Los datos obtenidos
durante 6 días se muestran en la tabla.
Muestra Artículos Defect. p
0,0001
120
0,07)0,07(1
30,07
n
p(1p
3pLCI
0,07pLC
0,139
120
0,07)0,07(1
30,07
n
p(1p
3pLCS











)
)
1 11 0,09
2 10 0,08
3 7 0,06
4 10 0,08
5 4 0,03
6 12 0,10
7 8 0,07
8 5 0,04
9 14 0,12
10 12 0,10
11 8 0,07
12 7 0,06
13 9 0,08
14 6 0,05
15 6 0,05
16 11 0,09
17 9 0,08
18 7 0,06
19 6 0,05
20 10 0,08

12. 12
Gráfico de Control p
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Muestrasp
A
B
C
C
B
A
p = 0,072
Análisis: Como puede observarse en la gráfica existe un acercamiento al límite central, se refleja poca
variabilidad. Esto puede deberse a una forma inapropiada de hacer subgrupos.
Gráficos np (número de Artículos Defectuosos).
En ocasiones, cuando el número de muestras en los gráficos p es constantes, es más
conveniente usar la carta np en la que se gráfica el numero de artículos defectuosos por muestra, en
lugar de la proporción. Los límites de control para la gráfica np están dados por:
p)(1pn3pnLCI
pnLC
p)(1pn3pnLCS



Donde igual que en la carta p, n es el tamaño de la muestra y p es la proporción promedio de artículos
defectuosos, con lo que pn es la estimación del número promedio de artículos defectuosos por muestra.
Algo que es importante destacar es la relación entre la gráfica p y la pn , ya que esencialmente estas
gráfica son las mismas, salvo un cambio de escala.
En el ejemplo anterior, para convertir el Gráfico p en un Gráfico pn , basta multiplicar la escala por el
tamaño de muestra (120). Con la carta np se tiene la ventaja de que se grafica directamente el numero
de artículos defectuoso, mientras que en la carta p es mas fácil evaluar la magnitud de las fallas en el
proceso en términos porcentuales.
Interpretación de los Gráficos p y pn
Una buena interpretación de las cartas p y pn no solo es ver si hay puntos fuera de los límites de
control, sino además analizar el cambio de nivel, tendencias, tolerancias, ciclos, y mucha o poca
variabilidad, con los mismos criterios observados en los Gráficos RX  .
Gráficos c y u (para defectos)
Gráficos c (número de defectos)
El objetivo del Gráfico c es analizar la variabilidad del número de defectos. En ella se grafica ci que es
igual al numero de defectos encontrado en cada muestra. Los límites de control se obtienen:
Donde c es el número promedio de defectos por subgrupo, y se obtiene al dividir el
total de defectos encontrados entre el total de subgrupos.
La carta c es aplicable donde el tamaño de subgrupo puede verse como
constante; por ejemplo, una semana, una pieza, 100 artículos, 1m. de tela o
cualquier otra cantidad que pueda verse como unidad, pero siempre debe permanecer constante. Si es
variable se aplica la carta u.
Ejemplo: Una empresa edita mil ejemplares semanales de un boletín técnico. Semanalmente se toma
una muestra de 200 ejemplares y se verifica si la dirección del destinatario ha sido bien tipeada. El
número de errores detectados en la muestra durante las últimas veinte semanas se suministra a
continuación, al igual que el Gráfico de Control c, para analizar el proceso.
c3cLCI
cLCl
c3cLCS




13. 13
Análisis: Como puede observarse en la semana 15 y 16 se da un número de defectos que superan el
límite de control superior, por lo cual, se evidencia que el proceso se encuentra fuera de control
estadístico, y es importante encontrar la causa especial de variación para eliminarla.
Semana Nº Errores
0-16,853-6,85c3cLCI
6,85cLCl
14,706,8536,85c3cLCS



Gráfico de Control c
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Muestras
c
A
B
C
C
B
A
1 11
2 7
3 4
4 1
5 5
6 13
7 6
8 5
9 3
10 0
11 5
12 7
13 9
14 5
15 17
16 18
17 9
18 5
19 7
20 0
c = 6,85
Gráficos u (número de defectos por unidad)
Cuando en los gráficos c el tamaño del subgrupo no es constante o cuando, aunque sea
constante, se prefiere cuantificar el número promedio de defectos por unidad en lugar del total de
defectos en la muestra, se usa la carta u. Los límites de control en una carta u están dados por:
n
u
3uLCI
uLC
n
u
3uLCS



Donde u es el número promedio de defectos por unidad en todo el conjunto de datos. Cuando el
tamaño de subgrupo, no es constante, entonces n se sustituye por el tamaño promedio de subgrupo, n.
Ejemplo: En un hotel se ha venido llevando un registro de quejas de los clientes desde hace 15
semanas junto con el número de clientes por semana. Los datos se muestran en la tabla anexa, al igual
que el grafico u resultante.
Análisis: Como puede observarse no se detecta ningún patrón que indique alguna variación especial en
el proceso, por lo que se considera bajo control estadístico.
Semana Clientes Quejas
0.08
2195
184
u 
146
15
2.195
n 
0,009
146
0,08
3-0,08
n
u
3uLCI
0,08uLC
0,15
146
0,08
30,08
n
u
3uLCS



1 114 11
2 153 15
3 115 5
4 174 14
5 157 16
6 219 11

14. 14
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15u
Muestras
Gráfico de Control u
A
B
C
C
B
A
7 149 10
8 147 9
9 131 10
10 91 10
11 112 10
12 158 11
13 244 30
14 111 11
15 120 11
Total 2.195 184
BIBLIOGRAFÍA
BESTERFIELD, Dale (1995). CONTROL DE LA CALIDAD. Cuarta Edición. Prentice Hall
Hispanoamericana, S.A. México. PP 508.
FEIGENBAUM, Armand (1986). CONTROL TOTAL DE LA CALIDAD. Novena Edición. Ediciones CECSA.
México. PP 871.
EVANS, James y LINDSAY, William (2000). ADMINISTRACIÓN Y CONTROL DE LA CALIDAD. Cuarta
Edición. International Thomson Editores. México.
GRANT, Eugene (1987). CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD. Quinta Reimpresión CECSA. México
GUTIERREZ, Humberto (1997). CALIDAD TOTAL Y PRODUCTIVIDAD. Primera Edición. Mc Graw Hill.
México. PP 522
HITOSHI, Kume (1992). HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS BÁSICAS PARA EL MEJORAMIENTO DE
LA CALIDAD. Grupo Editorial Norma. Colombia. PP 232.
ISHIKAWA. Kaouru (1985). GUÍA DE CONTROL DE CALIDAD. UNIPUB. Estados Unidos de América.
PP 216.

15. 15
RESUMEN DE FORMULAS PARA GRÁFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES
GRÁFICO DE
CONTROL
OBJETIVO FORMULAS OBSERVACIONES
X
Medias o
Promedio
Registra la variación
experimentada en el valor
promedio de las muestras,
cuando la característica de
calidad del producto que
se está midiendo toma
valores continuos.
Cuando se usa con Gráfico R
RAXLCI
XLC
RAXLCS
2
2


 Esta gráfica debe usarse en
combinación con una gráfica
R para controlar la variación
dentro de un subgrupo.
X
Individuales
Se usa cuando los datos
de un proceso se registran
durantes intervalos largos
o los subgrupos no son
efectivos, registrando
valores individuales de
variables continuas.





































1.128
R
3X
d
R
3XLCI
XLC
1.128
R
3X
d
R
3XLCS
2
2
Se usa únicamente en
combinación con la Gráfica R.
Debido a que no hay
subgrupo y el valor de R no
se puede calcular, se usa el
rango móvil de datos
sucesivos para el cálculo de
los límites de control.
R
Rango
Se usa para estudiar la
variabilidad dentro de las
muestras, cuando la
característica de calidad
del producto que se está
midiendo toma valores
continuos.
RDLCI
RLC
RDLCS
3
4


 Se usa en combinación con
una gráfica X cuando n <
10.
RESUMEN DE FORMULAS PARA GRÁFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
GRÁFICO DE
CONTROL
OBJETIVO FORMULAS OBSERVACIONES
p
Fracción o
proporción
de unidades
defectuosas
Sirve para controlar la
fracción de unidades
defectuosas.
n
)p(1p
3pLCI
pLC
n
)p(1p
3pLCS





El tamaño de la muestra, n,
puede ser constante o
variable.
pn
Número de
unidades
defectuosas
Registra el número de
unidades defectuosas.
p)(1pn3pnLCI
pnLC
p)(1pn3pnLCS



El tamaño de la muestra, n,
debe ser constante.
c
Número de
defectos
Registra y controla el
número de defectos.
c3cLCI
cLCl
c3cLCS



El tamaño de la muestra, n,
debe ser constante.
u
Número de
defectos por
unidad
Registra y controla el
número de defectos por
unidad de la muestra.
n
u
3uLCI
uLC
n
u
3uLCS



El tamaño de la muestra, n,
puede ser variable o
constante.

16. 16
Índice Cp:
6
EI)-(ES
Cp 
, 2d
R

Cpk
3σ
XES


Índice minCpk 
Cpk
3σ
EIX


TABLA DE CONSTANTES PARA GRÁFICOS DE CONTROL
n d2 A2 d3 D3 D4
2 1.128 1.880 0.853 0.000 3.267
3 1.693 1.023 0.888 0.000 2.575
4 2.059 0.729 0.880 0.000 2.282
5 2.326 0.577 0.864 0.000 2.115
6 2.534 0.483 0.848 0.000 2.004
7 2.704 0.419 0.833 0.076 1.924
8 2.847 0.373 0.820 0.136 1.864
9 2.970 0.337 0.808 0.187 1.816
10 3.078 0.308 0.797 0.223 1.777
11 3.173 0.285 0.787 0.256 1.744
12 3.258 0.266 0.778 0.284 1.716
13 3.336 0.249 0.770 0.308 1.692
14 3.407 0.235 0.763 0.329 1.671
15 3.472 0.223 0.756 0.348 1.652
16 3.532 0.212 0.750 0.640 1.636
17 3.588 0.203 0.744 0.379 1.621
18 3.640 0.194 0.739 0.392 1.608
19 3.689 0.187 0.734 0.404 1.596
20 3.735 0.180 0.729 0.414 1.586
21 3.778 0.173 0.724 0.425 1.575
22 3.819 0.167 0.720 0.434 1.566
23 3.858 0.162 0.716 0.443 1.557
24 3.895 0.157 0.712 0.452 1.548
25 3.931 0.153 0.708 0.459 1.541
Se usa el valor mas bajo
de Cpk para el análisis