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CARTAS DE CONTROL


Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de
los procesos.

Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones
para el control del proceso.

Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas especiales de variación cuando estas
aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes.

Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación natural del proceso.

Las causas especiales o atribuibles son por ejemplo: un mal ajuste de máquina, errores del
operador, defectos en materias primas.

Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico cuando presenta causas comunes
únicamente. Cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible.

Cuando existen causas especiales el proceso está fuera de Control Estadístico; las gráficas de
control detectan la existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo cual permite que
podamos tomar acciones al momento.


Ventajas:

   Es una herramienta simple y efectiva para lograr un control estadístico.
   El operario puede manejar las cartas en su propia área de trabajo, por lo cual puede dar
    información confiable a la gente cercana a la operación en el momento en que se deben de
    tomar ciertas acciones.
   Cuando un proceso está en control estadístico puede predecirse su desempeño respecto a las
    especificaciones. En consecuencia, tanto el productor como el cliente pueden contar con
    niveles consistentes de calidad y ambos pueden contar con costos estables para lograr ese
    nivel de calidad.
   Una vez que un proceso se encuentra en control estadístico, su comportamiento puede ser
    mejorado posteriormente reduciendo la variación.
   Al distinguir ente las causas especiales y las causas comunes de variación, dan una buena
    indicación de cuándo un problema debe ser corregido localmente y cuando se requiere de una
    acción en la que deben de participar varios departamentos o niveles de la organización.


Cartas de control por variables y por atributos.-

En Control de Calidad mediante el término variable se designa a cualquier característica de
calidad “medible” tal como una longitud, peso, temperatura, etc. Mientras que se denomina
atributo a las características de calidad que no son medibles y que presentan diferentes estados
tales como conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso.

Según sea el tipo de la característica de calidad a controlar así será el correspondiente Gráfico de
Control que, por tanto, se clasifican en Cartas de Control por Variables y Cartas de Control por
Atributos.


                                              Pág. 1
Comparación de las cartas de control por variables vs. atributos


                                  Cartas de Control por variables   Cartas de control por atributos
Ventajas significativas           Conducen     a     un     mejor   Son potencialmente aplicables
                                  procedimiento de control.         a cualquier proceso

                                  Proporcionan una utilización      Los datos están a menudo
                                  máxima de la información          disponibles.
                                  disponible de datos.              Son rápidos y simples de
                                                                    obtener.
                                                                    Son fáciles de interpretar.

                                                                    Son frecuentemente usados en
                                                                    los informes a la Gerencia.

                                                                    Más econónomicas
Desventajas significativas        No se entienden a menos que       No proporciona información
                                  se de capacitación; puede         detallada del control de
                                  causar confusión entre los        características individuales.
                                  limites de especificación y los
                                  límites de tolerancia.
                                                                    No reconoce distintos grados
                                                                    de defectos en las unidades de
                                                                    producto.



Campos de aplicación de las cartas


VARIABLES


Carta       Descripción            Campo de aplicación.
X R        Medias y Rangos        Control de características individuales.
X S        Medias y desviación    Control de características individuales.
            estándar.
I           Individuales           Control de un proceso con datos variables que no pueden ser
                                   muestreados en lotes o grupos.




ATRIBUTOS

Carta       Descripción            Campo de aplicación.
P           Proporciones           Control de la fracción global de defectuosos de un proceso.
NP          Número de              Control del número de piezas defectuosas
            defectuosos
C           Defectos por unidad    Control de número global de defectos por unidad
U           Promedio de            Control del promedio de defectos por unidad.
            defectos por unidad




                                             Pág. 2
Elaboración de Cartas de control X  R (variables)
Paso 1: Colectar los datos.
Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de
ser registrados y agrupados de la siguiente manera:
 Se toma una muestra(subgrupo) de 2 a 10 piezas consecutivas y se anotan los resultados de
    la medición( se recomienda tomar 5). También pueden ser tomadas en intervalos de tiempo de
    ½ - 2 hrs., para detectar si el proceso puede mostrar inconsistencia en breves periodos de
    tiempo.
 Se realizan las muestras de 20 a 25 subgrupos.

Paso 2: Calcular el promedio     X y R para cada subgrupo

        X 1  X 2 .... X N
  X 
               N

  R  X mayor  X menor

Paso 3: Calcule el rango promedio R  y el promedio del proceso X .   
       R1  R2  ......RK
R
              K
       X 1  X 2  ....... X K
X
                K
Donde K es el número de subgrupos, R1,R2..es el rango de cada subgrupo; X 1 , X 2.... son el
promedio de cada subgrupo.

Paso 4: Calcule los limites de control
Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están
basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma:

LSCR  D4 R                              LSC X  X  A2 R
LIC R  D3 R                            LIC X  X  A2 R

Donde D4, D3, A2 son constantes que varían según el tamaño de muestra. A continuación se
presentan los valores de dichas constantes para tamaños de muestra de 2 a 10.

  n           2            3       4        5        6         7         8         9        10
  D4        3.27         2.57    2.28     2.11     2.00      1.92      1.86      1.82      1.78
  D3          0            0       0        0        0       0.08      0.14      0.18      0.22
  A2        1.88         1.02    0.73     0.58     0.48      0.42      0.37      0.34      0.31




                                             Pág. 3
Paso 5: Seleccione la escala para las gráficas de control
Para la gráfica X la amplitud de valores en la escala debe de ser al menos del tamaño de los
límites de tolerancia especificados o dos veces el rango promedio R  .
Para la gráfica R la amplitud debe extenderse desde un valor cero hasta un valor superi or
equivalente a 1½ - 2 veces el rango.



Paso 6: Trace la gráfica de control
Dibuje las líneas de promedios y límites de control en las gráficas.
Los límites de Control se dibujan con una línea discontinua y los promedios con una línea continua
para ambas gráficas.
Marcar los puntos en ambas gráficas y unirlos para visualizar de mejor manera el comportamiento
del proceso.

Paso 7: Analice la gráfica de control

Ejemplo 1

Se toman las medidas de los diámetros de una pieza cilíndrica, el tamaño de muestra de cada
subgrupo es de cinco, y se toman 25 subgrupos a intervalos de 1 hr.
Realice la carta de control X  R .


muestra subgrupo       1      2       3      4      5      6      7      8      9     10     11     12     13
        1           0.65   0.75    0.75   0.60   0.70   0.60   0.15   0.60   0.65   0.60   0.80   0.85   0.70
        2           0.70   0.85    0.80   0.70   0.75   0.75   0.80   0.70   0.80   0.70   0.75   0.75   0.70
        3           0.65   0.75    0.80   0.70   0.65   0.75   0.65   0.80   0.85   0.60   0.90   0.85   0.75
        4           0.65   0.85    0.70   0.75   0.85   0.85   0.75   0.75   0.85   0.80   0.50   0.65   0.75
        5           0.85   0.65    0.75   0.65   0.80   0.70   0.70   0.75   0.75   0.65   0.80   0.70   0.70
muestra subgrupo      14     15      16     17     18     19     20     21     22     23     24     25
        1           0.65   0.90    0.75   0.75   0.75   0.65   0.60   0.50   0.60   0.80   0.65   0.65
        2           0.70   0.80    0.80   0.70   0.70   0.65   0.60   0.55   0.80   0.65   0.60   0.70
        3           0.85   0.80    0.75   0.85   0.60   0.85   0.65   0.65   0.65   0.75   0.65   0.70
        4           0.75   0.75    0.80   0.70   0.70   0.65   0.60   0.80   0.65   0.65   0.60   0.60
        5           0.60   0.85    0.65   0.80   0.60   0.70   0.65   0.80   0.75   0.65   0.70   0.65


Calculando el rango y el promedio para cada subgrupo obtenemos:


muestra subgrupo       1      2       3      4      5      6      7      8      9     10     11     12     13
         1          0.65   0.75    0.75   0.60   0.70   0.60   0.15   0.60   0.65   0.60   0.80   0.85   0.70
         2          0.70   0.85    0.80   0.70   0.75   0.75   0.80   0.70   0.80   0.70   0.75   0.75   0.70
         3          0.65   0.75    0.80   0.70   0.65   0.75   0.65   0.80   0.85   0.60   0.90   0.85   0.75
         4          0.65   0.85    0.70   0.75   0.85   0.85   0.75   0.75   0.85   0.80   0.50   0.65   0.75
         5          0.85   0.65    0.75   0.65   0.80   0.70   0.70   0.75   0.75   0.65   0.80   0.70   0.70
Promedio            0.70   0.77    0.76   0.68   0.75   0.73   0.61   0.72   0.78   0.67   0.75   0.76   0.72
Rango               0.20   0.20    0.10   0.15   0.20   0.25   0.65   0.20   0.20   0.20   0.40   0.20   0.05

muestra subgrupo     14   15         16   17     18   19     20    21    22           23     24     25
         1         0.65 0.90       0.75 0.75 0.75 0.65 0.60 0.50 0.60               0.80   0.65   0.65
         2         0.70 0.80       0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.55 0.80               0.65   0.60   0.70
         3         0.85 0.80       0.75 0.85 0.60 0.85 0.65 0.65 0.65               0.75   0.65   0.70
         4         0.75 0.75       0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.80 0.65               0.65   0.60   0.60
         5         0.60 0.85       0.65 0.80 0.60 0.70 0.65 0.80 0.75               0.65   0.70   0.65
Calculando el Rango0.71 0.82
Promedio
                    promedio,     promedio del 0.67 0.70 límites de control:
                                   0.75 0.76
                                               proceso y 0.62 0.66 0.69             0.70   0.64   0.66
Rango              0.25 0.15       0.15 0.15 0.15 0.20 0.05 0.30 0.20               0.15   0.10   0.10

                                                 Pág. 4
R  .198
X = .71
LSCR  D4 R = 2.11* 0.198 = 0.41

LIC R  D3 R                   =0


LSC X  X  A2 R = .71+(.58)(.198) = .82

LIC X  X  A2 R = .71-(.58)(.198) = .59


                                        Xbar/R Chart for C1

                                                                                UCL=0.8254
                     0.8
      Sample Mean




                     0.7                                                        Mean=0.7112



                     0.6                                                        LCL=0.5970

      Subgroup             0        5       10      15         20          25


                     0.7                1
                     0.6
      Sample Range




                     0.5
                     0.4                                                        UCL=0.4187
                     0.3
                     0.2                                                        R=0.198
                     0.1
                     0.0                                                        LCL=0




La carta de control R muestra un punto fuera de los limites de especificaciones, por lo cual el
proceso se encuentra fuera de control, en este caso es necesario investigar las causas y tomar las
acciones correctivas para eliminar el problema. En la siguiente parte se muestran los criterios para
determinar las situaciones en las cuales un proceso puede estar fuera de control.


Interpretación del control del proceso.

El objeto de analizar una gráfica de control es identificar cuál es la variación del proceso, las
causas comunes y causas especiales de dicha variación y en función de esto tomar alguna acción
apropiada cuando se requiera.



Juran1 sugiere un conjunto de reglas de decisión para detectar patrones no aleatorios en las cartas
de control. Cuando se detecta alguno de los patrones siguientes se puede decir que el tomar
alguna acción para corregir el problema ya que el proceso puede estar fuera de control.


1
    Análisis y planeación de la calidad, J.M. Juran ,F.M Gryna, Tercera Edición, McGrawHill.


                                                    Pág. 5
PATRONES FUERA DE CONTROL




         Pág. 6
Gráficas de control X  S (variables)
El procedimiento para realizar las cartas de control X  S es similar al de las cartas X  R La
diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para
detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso.
El tamaño de muestra n es mayor a 9.La Carta X monitorea el promedio del proceso para vigilar
tendencias.
La Carta S monitorea la variación en forma de desviación estándar.


Terminología
 k = número de subgrupos
 n = número de muestras en cada subgrupo
 X = promedio para un subgrupo
 X = promedio de todos los promedios de los subgrupos
S = Desviación estándar de un subgrupo

S = Desviación est. promedio de todos los subgrupos

       X 1  X 2 .... X N
X 
              N

       X 1  X 2  ....... X K
X
                K
LSC X  X  A3 S
LIC X  X  A3 S
LSCS  B4 S
LICS  B3 S

Ejemplo 2

Se registra el peso diariamente durante dos semanas. Realizar la gráfica de control X  S


 Día      Muestra1          Muestra2   Muestra3    Muestra4      Muestra5         X         S
  1         10                12         8                                        10.00         2.00
  2         12                11         7            9             13            10.40         2.41
  3         5                 6          4            9                            6.00         2.16
  4         8                 8          6                                         7.33         1.15
  5         17                15         16           18            20            17.20         1.92
  6         22                24         22                                       22.67         1.15
  7         8                 9          7                                         8.00         1.00
  8         6                 5          6            5                            5.50         0.58
  9         10                10         10           11            9             10.00         0.71
 10         13                10         12                                       11.67         1.53
                                                                                  10.88         1.46

X  10.88
S  1.46


                                             Pág. 7
Se calculan los limites de control para cada subgrupo, ya que al tener tamaños de muestra
diferentes estos son variables.

                         
Gráfica X  S con límites constantes:

Para la realización de los diagramas de control con límites constantes utilizamos las fórmulas
siguientes:

Los parámetros para el gráfico X son:

LIC X  X  A3 S
LIC X  X  A3 S



y para el gráfico S :

LICS  B4 S
LSC S  B3 S




                                          Xbar/S Chart for C1-C5

                         25
     Sample Mean




                         15
                                                                                   UCL=13.70
                                                                                   Mean=10.87
                                                                                   LCL=8.033
                         5

    Subgroup                  0   1   2    3   4    5       6   7   8   9     10


                         4
                                                                                   UCL=3.725
          Sample StDev




                         3

                         2
                                                                                   S=1.451
                         1

                         0                                                         LCL=0




                                                   Pág. 8
Ejemplo 3:

Las siguientes cifras son la medias y las desviaciones estándar de muestras de 5 observaciones
correspondientes a los diámetros de una pieza metálica:

    muestra        X-bar           Si          muestra          X-bar            Si
       1           74.01         0.0148          14             73.99         0.0153
       2          74.001         0.0072          15            74.006         0.0073
       3          74.008         0.0106          16            73.997         0.0078
       4          74.003         0.0091          17            74.001         0.0106
       5          74.003         0.0122          18            74.007          0.007
       6          73.996         0.0087          19            73.998         0.0085
       7            74           0.0055          20            74.009          0.008
       8          73.997         0.0123          21              74           0.0053
       9          74.004         0.0055          22            74.002         0.0074
      10          73.998         0.0063          23            74.002         0.0119
      11          73.994         0.0029          24            74.005         0.0087
      12          74.001         0.0042          25            73.998         0.0162
      13          73.998         0.0105       PROMEDIOS        74.001         0.0090



De la tabla tenemos que: X  74.001 y S = .0090

Calculamos los limites de control:
LIC X  X  A3 S = 74.001 + (1.427)(.0090) = 74.014
LIC X  X  A3 S = 74.001 – (1.427)(.0090) = 73.998

LICS  B4 S = (2.089)(.0090) = 0.019
LSCS  B3 S = (0)(.0090) = 0

Carta de control de lecturas Individuales I-MR (Datos variables).
   A menudo esta carta se llama “I” o “Xi”.
   Esta Carta monitorea la tendencia de un proceso con datos variables que no pueden ser
    muestreados en lotes o grupos.
   Este es el caso cuando la capacidad de corto plazo se basa en subgrupos racionales de una
    unidad o pieza.
   Este tipo de gráfica es utilizada cuando las mediciones son muy costosas(Ej. Pruebas
    destructivas), o cuando la característica a medir en cualquier punto en el tiempo es
    relativamente homogénea (Ej. el PH de una solución química)
   La línea central se basa en el promedio de los datos, y los límites de control se basan en la
    desviación estándar (+/- 3 sigmas)

Terminología

k = número de piezas
n = 2 para calcular los rangos
X = promedio de los datos
R = rango de un subgrupo de dos piezas consecutivas
R = promedio de los (n - 1) rangos


                                              Pág. 9
LSC X  X  E2 R
LIC X  X  E2 R
LSCR  D4 R
LICR  D3 R

Donde D4, D3, E2 son constantes que varían según el tamaño de muestra usado para agrupar los
rangos móviles como se muestra en la tabla siguiente:

   n          2         3           4        5         6          7         8         9            10
   D4       3.27      2.57        2.28     2.11      2.00       1.92      1.86      1.82          1.78
   D3         0         0           0        0         0        0.08      0.14      0.18          0.22
   E2       2.66      1.77        1.46     1.29      1.18       1.11      1.05      1.01          0.98

* Generalmente se utiliza n = 2

Ejemplo 3: La longitud de un tramo de tubo se registra para cada producto. Realice la gráfica de
control individual.
                                  Parte        Longitud
                                   1            12.02
                                   2            11.85
                                   3            11.98
                                   4            11.72
                                   5            11.88
                                   6            12.07
                                   7            12.03
                                   8            12.13
                                   9            12.16
                                   10           12.16
                                   11           12.16
                                   12           12.21
                                   13           12.19
                                   14           11.93
                                   15           11.89


Se calcula el rango móvil de la siguiente manera: diferencia entre 1ª y 2ª lectura, 2ª y 3ª y así
hasta n-1.
                                                              Parte     Longitud     Rangos
                                                               1         12.02           0.17
                                                               2         11.85           0.13
                                                               3         11.98           0.26
                                                               4         11.72           0.16
                                                               5         11.88           0.19
                                                               6         12.07           0.04
                                                               7         12.03           0.10
                                                               8         12.13           0.03
                                                               9         12.16           0.00
                                                               10        12.16           0.00
                                                               11        12.16           0.05
                                                               12        12.21           0.02
                                                               13        12.19           0.26
                                                               14        11.93           0.04
                                                               15        11.89
                                                                         12.03             0.10
                                              Pág. 10
X  12.03
R  0.10
LSC X  X  E2 R =12.03+(2.66)(.10) = 12.29
LIC X  X  E2 R =12.03 – (2.66)(.10) = 11.76
LSCR  D4 R = 3.27(.10)= .327
LICR  D3 R = 0



                                                         I Chart for C1
                                   12.35
                                                                                UCL=12.30
                                   12.25

                                   12.15
                Individual Value




                                   12.05
                                                                                Mean=12.03
                                   11.95

                                   11.85

                                   11.75                                        LCL=11.75
                                                 1
                                   11.65
                                           0         5           10       15
                                                 Observation Number




                                               Moving Range Chart for C1
                                   0.4

                                                                                  UCL=0.3384
                                   0.3
                   Moving Range




                                   0.2



                                   0.1                                            R=0.1036



                                   0.0                                            LCL=0


                                           0         5            10       15
                                                 Observation Number




                                                           Pág. 11
Interpretación del proceso:

   Revisar la gráfica de rangos para puntos fuera de los límites de control como signo de la
    existencia de causas especiales. Note que los rangos sucesivos están correlacionados, debido
    a que tienen un punto en común y debido a esto se tiene que tener cuidado al interpretar
    tendencias.
   Las gráficas por lecturas individuales pueden ser analizadas para puntos fuera de los límites de
    control, dispersión de puntos dentro de los límites de control y para tendencias o patrones.
    Cabe hacer notar que si la distribución de proceso no es simétrica, las reglas mostradas
    anteriormente para gráficas X podrán dar señales de causas especiales sin que éstas existan.

Gráficas de control por atributos
Cualquier característica de calidad que pueda ser clasificada de forma binaria: “cumple o no
cumple”, “funciona o no funciona”, “pasa o no pasa”, etc., a los efectos de control del proc eso, será
considerado como un atributo y para su control se utilizará un Gráfico de Control por Atributos.
:
Los criterios de aceptación al utilizar gráficas de control por atributos deben estar claramente
definidos y el procedimiento para decidir si esos criterios se están alcanzando es producir
resultados consistentes a través del tiempo. Este procedimiento consiste en definir
operacionalmente lo que se desea medir. Una definición operacional consiste en:

1º . Un criterio que se aplica a un objeto o a un grupo
2º. Una prueba del objeto o del grupo y
3º. Una decisión, sí o no: El objeto o el grupo alcanza o no el criterio.

Gráfica P para fracción de Unidades Defectuosas (atributos)
La gráfica p mide la fracción defectuosa o sea las piezas defectuosas e n el proceso. Se puede
referir a muestras de 75 piezas, tomada dos veces por día; 100% de la producción durante una
hora, etc. Se basa en la evaluación de una característica (¿se instalo la pieza requerida?) o de
muchas características (¿se encontró algo mal al verificar la instalación eléctrica?). Es importante
que cada componente o producto verificado se registre como aceptable o defectuoso (aunque una
pieza tenga varios defectos específicos se registrará sólo una vez como defectuosa).

Pasos para la elaboración de la gráfica:

Paso 1- Frecuencia y tamaño de la muestra:
Establezca la frecuencia con la cual los datos serán tomados (horaria, diaria, semanal). Los
intervalos cortos entre tomas de muestras permitirán una rápida retroalimentación al proceso ante
la presencia de problemas. Los tamaños de muestra grandes permiten evaluaciones más estables
del desarrollo del proceso y son más sensibles a pequeños cambios en el promedio del mismo. Se
aconseja tomar tamaños de muestra iguales aunque no necesariamente se tiene que dar esta
situación, el tamaño de muestra debería de ser mayor a 30. El tamaño de los subgrupos será de 25
o más.

Paso 2- Calculo del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo:

Registre la siguiente información para cada subgrupo:
        El número de partes inspeccionadas – n
        El número de partes defectuosas – np




                                               Pág. 12
np
Calcule la fracción defectuosa (p) mediante: p 
                                                    n




Paso 3 – Calculo de porcentaje defectuoso promedio y límites de control
El porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos se calcula con la siguiente fórmula:

     np1  np 2  ....  np k
p
      n1  n2  .....  nk

                  p (1  p )
LSC p  p  3
                      n


                  p (1  p )
LIC p  p  3
                      n
donde n es el tamaño de muestra promedio.

NOTA: Cuando p y/o n es pequeño, el límite de control inferior puede resultar negativo, en estos
casos el valor del límite será = 0

Paso 4- Trace la gráfica y analice los resultados.

Ejemplo 4

Un fabricante de latas de aluminio registra el número de partes defectuosas, tomando muestras
cada hora de n = 50, con 30 subgrupos. Realizar la gráfica de control para la siguiente serie de
datos obtenida durante el muestreo.



   Muestra      Latas defectuosas    Muestra       Latas defectuosas
                       np                                 np
      1                12               16                 8
      2                15               17                10
      3                 8               18                 5
      4                10               19                13
      5                 4               20                11
      6                 7               21                20
      7                16               22                18
      8                 9               23                24
      9                14               24                15
      10               10               25                 9
      11                5               26                12
      12                6               27                 7
      13               17               28                13
      14               12               29                 9
      15               22               30                 6

                                             Pág. 13
Calcule la fracción defectuosa para cada muestra:

    Muestra                Latas defectuosas   Fracción defectuosa   Muestra      Latas defectuosas Fracción defectuosa
                                  np                    p                                np                  p
       1                          12                  0.24             16                 8                0.16
       2                          15                  0.30             17                10                0.20
       3                           8                  0.16             18                 5                0.10
       4                          10                  0.20             19                13                0.26
       5                           4                  0.08             20                11                0.22
       6                           7                  0.14             21                20                0.40
       7                          16                  0.32             22                18                0.36
       8                           9                  0.18             23                24                0.48
       9                          14                  0.28             24                15                0.30
       10                         10                  0.20             25                 9                0.18
       11                          5                  0.10             26                12                0.24
       12                          6                  0.12             27                 7                0.14
       13                         17                  0.34             28                13                0.26
       14                         12                  0.24             29                 9                0.18
       15                         22                  0.44             30                 6                0.12



p  .2313

                             p (1  p )             .23 * .77
LSC p  p  3                           = .2313  3           =.4102
                                 n                     50

                             p (1  p )             .23 * .77
LIC p  p  3                           = .2313  3           =.05243
                                 n                     50
Trazando la gráfica



                                                    P Chart for C1

                           0.5                                   1
                                                       1

                           0.4                                                 UCL=0.4102
              Proportion




                           0.3

                                                                               P=0.2313
                           0.2


                           0.1
                                                                               LCL=0.05243
                           0.0
                                 0             10           20          30
                                               Sample Number

                                                            Pág. 14
Gráfica np – Número de defectivos
               La gráfica np es basada en el número de defectuosos en vez de la proporción de defectuosos. Los
               límites son calculados mediante la siguientes fórmulas.


               LSC  np  3 np1  p 


               LIC  np  3 np1  p 


               Ejemplo 5:

               Utilizando los datos del diagrama anterior, construya la gráfica np e interprete los resultados.

               De la tabla obtenemos p  0.2313 , n = 50.
               Calculando los límites de control tenemos:

               LSC = (50)(0.2313)  3     500.23130.7687  20.510
               LIC = (50)(0.2313)  3     500.23130.7687  2.620
                                               NP Chart for cantidad
                            25                                            1
                                                            1

                            20                                                           3.0SL=20.51
Sample Count




                            15

                                                                                         NP=11.57
                            10


                              5
                                                                                         -3.0SL=2.621
                              0
                                   0               10               20              30
                                                   Sample Number
               Gráfico de Control C.




                                                                Pág. 15
Gráfica C – para número de defectos
Se utiliza para determinar la ocurrencia de defectos en la inspección de una unidad de producto.
Esto es determinar cuantos defectos tiene un producto. Podemos tener un grupo de 5 unidades de
producto, 10 unidades, etc.




Los límites de control se calculan mediante las siguientes fórmulas:

LSC  c  3 c
LSC  c  3 c

Donde:
c = total de defectos/ número de unidades de producto.
Ejemplo:
En la siguiente tabla tenemos el número de unidades de defectos observados en 26 muestras
sucesivas de 100 filtros de seguridad.

   muestra       defectos       muestra        defectos
     1              21            14              19
     2              24            15              10
     3              16            16              17
     4              12            17              13
     5              15            18              22
     6              5             19              18
     7              28            20              39
     8              20            21              30
     9              31            22              24
     10             25            23              16
     11             20            24              19
     12             24            25              17
     13             16            26              15

   516
c      19.67
    26
LSC  19.67  3 19.67  32.97
LIC  19.67  3 19.67  6.37




                                             Pág. 16
C Chart for C1

                                 40                                      1


                                                                                       3.0SL=33.21
                                 30
Sample Count




                                 20                                                    C=19.85


                                 10
                                                                                       -3.0SL=6.481
                                                 1
                                     0
                                         0              10               20
                                                     Sample Number




               Grafica U – Defectos por Unidad

               El diagrama u se basa en el promedio de defectos por unidad inspeccionada:

                      c
               u=
                      n
               donde
               c = número de defectos
               n = cantidad de piezas inspeccionadas

               Para determinar los limites de control utilizamos las fórmulas siguientes:

                                  u
               LSC  u  3
                                  n
                                 u
               LIC  u  3
                                 n

               Ejemplo 6 2
               Una compañía que fabrica computadoras personales desea establecer un diagrama de control del
               número de defectos por unidad. El tamaño de muestra es de cinco computadoras. En la tabla se
               muestran el numero de defectos en 20 muestras de 5 computadoras cada una. Establecer el
               diagrama de control u




               2
                   Statistical Quality Control, Douglas C. Montgomery, Second Edition pp.181


                                                                Pág. 17
muestra            tamaño de muestra Número de defectos, c promedio de defectos por unidad u
                              1            5                  10                           2
                              2            5                  12                          2.4
                              3            5                  8                           1.6
                              4            5                  14                          2.8
                              5            5                  10                           2
                              6            5                  16                          3.2
                              7            5                  11                          2.2
                              8            5                  7                           1.4
                              9            5                  10                           2
                             10            5                  15                           3
                             11            5                  9                           1.8
                             12            5                  5                            1
                             13            5                  7                           1.4
                             14            5                  11                          2.2
                             15            5                  12                          2.4
                             16            5                  6                           1.2
                             17            5                  8                           1.6
                             18            5                  10                           2
                             19            5                  7                           1.4
                             20            5                  5                            1
                                         Total               193                         38.6


               u
                    u   i
                             
                                  38.60
                                         1.93
                    n              20
      Los límites de control son los siguientes:

                                              1.93
                     LSC  1.93  3                 3.79
                                                5

                                              1.93
                     LIC  1.93  3                 0.07
                                                5


                                                       U Chart for C1
                                      4
                                                                                3.0SL=3.794


                                      3
Sample Count




                                      2                                         U=1.930


                                      1


                                      0                                         -3.0SL=0.06613


                                          0                 10             20
                                                      Sample Number

                                                                 Pág. 18

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Explicacion cartas de_control

  • 1. CARTAS DE CONTROL Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de los procesos. Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones para el control del proceso. Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas especiales de variación cuando estas aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes. Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación natural del proceso. Las causas especiales o atribuibles son por ejemplo: un mal ajuste de máquina, errores del operador, defectos en materias primas. Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico cuando presenta causas comunes únicamente. Cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible. Cuando existen causas especiales el proceso está fuera de Control Estadístico; las gráficas de control detectan la existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo cual permite que podamos tomar acciones al momento. Ventajas:  Es una herramienta simple y efectiva para lograr un control estadístico.  El operario puede manejar las cartas en su propia área de trabajo, por lo cual puede dar información confiable a la gente cercana a la operación en el momento en que se deben de tomar ciertas acciones.  Cuando un proceso está en control estadístico puede predecirse su desempeño respecto a las especificaciones. En consecuencia, tanto el productor como el cliente pueden contar con niveles consistentes de calidad y ambos pueden contar con costos estables para lograr ese nivel de calidad.  Una vez que un proceso se encuentra en control estadístico, su comportamiento puede ser mejorado posteriormente reduciendo la variación.  Al distinguir ente las causas especiales y las causas comunes de variación, dan una buena indicación de cuándo un problema debe ser corregido localmente y cuando se requiere de una acción en la que deben de participar varios departamentos o niveles de la organización. Cartas de control por variables y por atributos.- En Control de Calidad mediante el término variable se designa a cualquier característica de calidad “medible” tal como una longitud, peso, temperatura, etc. Mientras que se denomina atributo a las características de calidad que no son medibles y que presentan diferentes estados tales como conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso. Según sea el tipo de la característica de calidad a controlar así será el correspondiente Gráfico de Control que, por tanto, se clasifican en Cartas de Control por Variables y Cartas de Control por Atributos. Pág. 1
  • 2. Comparación de las cartas de control por variables vs. atributos Cartas de Control por variables Cartas de control por atributos Ventajas significativas Conducen a un mejor Son potencialmente aplicables procedimiento de control. a cualquier proceso Proporcionan una utilización Los datos están a menudo máxima de la información disponibles. disponible de datos. Son rápidos y simples de obtener. Son fáciles de interpretar. Son frecuentemente usados en los informes a la Gerencia. Más econónomicas Desventajas significativas No se entienden a menos que No proporciona información se de capacitación; puede detallada del control de causar confusión entre los características individuales. limites de especificación y los límites de tolerancia. No reconoce distintos grados de defectos en las unidades de producto. Campos de aplicación de las cartas VARIABLES Carta Descripción Campo de aplicación. X R Medias y Rangos Control de características individuales. X S Medias y desviación Control de características individuales. estándar. I Individuales Control de un proceso con datos variables que no pueden ser muestreados en lotes o grupos. ATRIBUTOS Carta Descripción Campo de aplicación. P Proporciones Control de la fracción global de defectuosos de un proceso. NP Número de Control del número de piezas defectuosas defectuosos C Defectos por unidad Control de número global de defectos por unidad U Promedio de Control del promedio de defectos por unidad. defectos por unidad Pág. 2
  • 3. Elaboración de Cartas de control X  R (variables) Paso 1: Colectar los datos. Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser registrados y agrupados de la siguiente manera:  Se toma una muestra(subgrupo) de 2 a 10 piezas consecutivas y se anotan los resultados de la medición( se recomienda tomar 5). También pueden ser tomadas en intervalos de tiempo de ½ - 2 hrs., para detectar si el proceso puede mostrar inconsistencia en breves periodos de tiempo.  Se realizan las muestras de 20 a 25 subgrupos. Paso 2: Calcular el promedio X y R para cada subgrupo X 1  X 2 .... X N X  N R  X mayor  X menor Paso 3: Calcule el rango promedio R  y el promedio del proceso X .   R1  R2  ......RK R K X 1  X 2  ....... X K X K Donde K es el número de subgrupos, R1,R2..es el rango de cada subgrupo; X 1 , X 2.... son el promedio de cada subgrupo. Paso 4: Calcule los limites de control Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma: LSCR  D4 R LSC X  X  A2 R LIC R  D3 R LIC X  X  A2 R Donde D4, D3, A2 son constantes que varían según el tamaño de muestra. A continuación se presentan los valores de dichas constantes para tamaños de muestra de 2 a 10. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D4 3.27 2.57 2.28 2.11 2.00 1.92 1.86 1.82 1.78 D3 0 0 0 0 0 0.08 0.14 0.18 0.22 A2 1.88 1.02 0.73 0.58 0.48 0.42 0.37 0.34 0.31 Pág. 3
  • 4. Paso 5: Seleccione la escala para las gráficas de control Para la gráfica X la amplitud de valores en la escala debe de ser al menos del tamaño de los límites de tolerancia especificados o dos veces el rango promedio R  . Para la gráfica R la amplitud debe extenderse desde un valor cero hasta un valor superi or equivalente a 1½ - 2 veces el rango. Paso 6: Trace la gráfica de control Dibuje las líneas de promedios y límites de control en las gráficas. Los límites de Control se dibujan con una línea discontinua y los promedios con una línea continua para ambas gráficas. Marcar los puntos en ambas gráficas y unirlos para visualizar de mejor manera el comportamiento del proceso. Paso 7: Analice la gráfica de control Ejemplo 1 Se toman las medidas de los diámetros de una pieza cilíndrica, el tamaño de muestra de cada subgrupo es de cinco, y se toman 25 subgrupos a intervalos de 1 hr. Realice la carta de control X  R . muestra subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0.65 0.75 0.75 0.60 0.70 0.60 0.15 0.60 0.65 0.60 0.80 0.85 0.70 2 0.70 0.85 0.80 0.70 0.75 0.75 0.80 0.70 0.80 0.70 0.75 0.75 0.70 3 0.65 0.75 0.80 0.70 0.65 0.75 0.65 0.80 0.85 0.60 0.90 0.85 0.75 4 0.65 0.85 0.70 0.75 0.85 0.85 0.75 0.75 0.85 0.80 0.50 0.65 0.75 5 0.85 0.65 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70 0.75 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70 muestra subgrupo 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 0.65 0.90 0.75 0.75 0.75 0.65 0.60 0.50 0.60 0.80 0.65 0.65 2 0.70 0.80 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.55 0.80 0.65 0.60 0.70 3 0.85 0.80 0.75 0.85 0.60 0.85 0.65 0.65 0.65 0.75 0.65 0.70 4 0.75 0.75 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.80 0.65 0.65 0.60 0.60 5 0.60 0.85 0.65 0.80 0.60 0.70 0.65 0.80 0.75 0.65 0.70 0.65 Calculando el rango y el promedio para cada subgrupo obtenemos: muestra subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0.65 0.75 0.75 0.60 0.70 0.60 0.15 0.60 0.65 0.60 0.80 0.85 0.70 2 0.70 0.85 0.80 0.70 0.75 0.75 0.80 0.70 0.80 0.70 0.75 0.75 0.70 3 0.65 0.75 0.80 0.70 0.65 0.75 0.65 0.80 0.85 0.60 0.90 0.85 0.75 4 0.65 0.85 0.70 0.75 0.85 0.85 0.75 0.75 0.85 0.80 0.50 0.65 0.75 5 0.85 0.65 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70 0.75 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70 Promedio 0.70 0.77 0.76 0.68 0.75 0.73 0.61 0.72 0.78 0.67 0.75 0.76 0.72 Rango 0.20 0.20 0.10 0.15 0.20 0.25 0.65 0.20 0.20 0.20 0.40 0.20 0.05 muestra subgrupo 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 0.65 0.90 0.75 0.75 0.75 0.65 0.60 0.50 0.60 0.80 0.65 0.65 2 0.70 0.80 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.55 0.80 0.65 0.60 0.70 3 0.85 0.80 0.75 0.85 0.60 0.85 0.65 0.65 0.65 0.75 0.65 0.70 4 0.75 0.75 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.80 0.65 0.65 0.60 0.60 5 0.60 0.85 0.65 0.80 0.60 0.70 0.65 0.80 0.75 0.65 0.70 0.65 Calculando el Rango0.71 0.82 Promedio promedio, promedio del 0.67 0.70 límites de control: 0.75 0.76 proceso y 0.62 0.66 0.69 0.70 0.64 0.66 Rango 0.25 0.15 0.15 0.15 0.15 0.20 0.05 0.30 0.20 0.15 0.10 0.10 Pág. 4
  • 5. R  .198 X = .71 LSCR  D4 R = 2.11* 0.198 = 0.41 LIC R  D3 R =0 LSC X  X  A2 R = .71+(.58)(.198) = .82 LIC X  X  A2 R = .71-(.58)(.198) = .59 Xbar/R Chart for C1 UCL=0.8254 0.8 Sample Mean 0.7 Mean=0.7112 0.6 LCL=0.5970 Subgroup 0 5 10 15 20 25 0.7 1 0.6 Sample Range 0.5 0.4 UCL=0.4187 0.3 0.2 R=0.198 0.1 0.0 LCL=0 La carta de control R muestra un punto fuera de los limites de especificaciones, por lo cual el proceso se encuentra fuera de control, en este caso es necesario investigar las causas y tomar las acciones correctivas para eliminar el problema. En la siguiente parte se muestran los criterios para determinar las situaciones en las cuales un proceso puede estar fuera de control. Interpretación del control del proceso. El objeto de analizar una gráfica de control es identificar cuál es la variación del proceso, las causas comunes y causas especiales de dicha variación y en función de esto tomar alguna acción apropiada cuando se requiera. Juran1 sugiere un conjunto de reglas de decisión para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control. Cuando se detecta alguno de los patrones siguientes se puede decir que el tomar alguna acción para corregir el problema ya que el proceso puede estar fuera de control. 1 Análisis y planeación de la calidad, J.M. Juran ,F.M Gryna, Tercera Edición, McGrawHill. Pág. 5
  • 6. PATRONES FUERA DE CONTROL Pág. 6
  • 7. Gráficas de control X  S (variables) El procedimiento para realizar las cartas de control X  S es similar al de las cartas X  R La diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso. El tamaño de muestra n es mayor a 9.La Carta X monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias. La Carta S monitorea la variación en forma de desviación estándar. Terminología k = número de subgrupos n = número de muestras en cada subgrupo X = promedio para un subgrupo X = promedio de todos los promedios de los subgrupos S = Desviación estándar de un subgrupo  S = Desviación est. promedio de todos los subgrupos X 1  X 2 .... X N X  N X 1  X 2  ....... X K X K LSC X  X  A3 S LIC X  X  A3 S LSCS  B4 S LICS  B3 S Ejemplo 2 Se registra el peso diariamente durante dos semanas. Realizar la gráfica de control X  S Día Muestra1 Muestra2 Muestra3 Muestra4 Muestra5 X S 1 10 12 8 10.00 2.00 2 12 11 7 9 13 10.40 2.41 3 5 6 4 9 6.00 2.16 4 8 8 6 7.33 1.15 5 17 15 16 18 20 17.20 1.92 6 22 24 22 22.67 1.15 7 8 9 7 8.00 1.00 8 6 5 6 5 5.50 0.58 9 10 10 10 11 9 10.00 0.71 10 13 10 12 11.67 1.53 10.88 1.46 X  10.88 S  1.46 Pág. 7
  • 8. Se calculan los limites de control para cada subgrupo, ya que al tener tamaños de muestra diferentes estos son variables.  Gráfica X  S con límites constantes: Para la realización de los diagramas de control con límites constantes utilizamos las fórmulas siguientes: Los parámetros para el gráfico X son: LIC X  X  A3 S LIC X  X  A3 S y para el gráfico S : LICS  B4 S LSC S  B3 S Xbar/S Chart for C1-C5 25 Sample Mean 15 UCL=13.70 Mean=10.87 LCL=8.033 5 Subgroup 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 UCL=3.725 Sample StDev 3 2 S=1.451 1 0 LCL=0 Pág. 8
  • 9. Ejemplo 3: Las siguientes cifras son la medias y las desviaciones estándar de muestras de 5 observaciones correspondientes a los diámetros de una pieza metálica: muestra X-bar Si muestra X-bar Si 1 74.01 0.0148 14 73.99 0.0153 2 74.001 0.0072 15 74.006 0.0073 3 74.008 0.0106 16 73.997 0.0078 4 74.003 0.0091 17 74.001 0.0106 5 74.003 0.0122 18 74.007 0.007 6 73.996 0.0087 19 73.998 0.0085 7 74 0.0055 20 74.009 0.008 8 73.997 0.0123 21 74 0.0053 9 74.004 0.0055 22 74.002 0.0074 10 73.998 0.0063 23 74.002 0.0119 11 73.994 0.0029 24 74.005 0.0087 12 74.001 0.0042 25 73.998 0.0162 13 73.998 0.0105 PROMEDIOS 74.001 0.0090 De la tabla tenemos que: X  74.001 y S = .0090 Calculamos los limites de control: LIC X  X  A3 S = 74.001 + (1.427)(.0090) = 74.014 LIC X  X  A3 S = 74.001 – (1.427)(.0090) = 73.998 LICS  B4 S = (2.089)(.0090) = 0.019 LSCS  B3 S = (0)(.0090) = 0 Carta de control de lecturas Individuales I-MR (Datos variables).  A menudo esta carta se llama “I” o “Xi”.  Esta Carta monitorea la tendencia de un proceso con datos variables que no pueden ser muestreados en lotes o grupos.  Este es el caso cuando la capacidad de corto plazo se basa en subgrupos racionales de una unidad o pieza.  Este tipo de gráfica es utilizada cuando las mediciones son muy costosas(Ej. Pruebas destructivas), o cuando la característica a medir en cualquier punto en el tiempo es relativamente homogénea (Ej. el PH de una solución química)  La línea central se basa en el promedio de los datos, y los límites de control se basan en la desviación estándar (+/- 3 sigmas) Terminología k = número de piezas n = 2 para calcular los rangos X = promedio de los datos R = rango de un subgrupo de dos piezas consecutivas R = promedio de los (n - 1) rangos Pág. 9
  • 10. LSC X  X  E2 R LIC X  X  E2 R LSCR  D4 R LICR  D3 R Donde D4, D3, E2 son constantes que varían según el tamaño de muestra usado para agrupar los rangos móviles como se muestra en la tabla siguiente: n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D4 3.27 2.57 2.28 2.11 2.00 1.92 1.86 1.82 1.78 D3 0 0 0 0 0 0.08 0.14 0.18 0.22 E2 2.66 1.77 1.46 1.29 1.18 1.11 1.05 1.01 0.98 * Generalmente se utiliza n = 2 Ejemplo 3: La longitud de un tramo de tubo se registra para cada producto. Realice la gráfica de control individual. Parte Longitud 1 12.02 2 11.85 3 11.98 4 11.72 5 11.88 6 12.07 7 12.03 8 12.13 9 12.16 10 12.16 11 12.16 12 12.21 13 12.19 14 11.93 15 11.89 Se calcula el rango móvil de la siguiente manera: diferencia entre 1ª y 2ª lectura, 2ª y 3ª y así hasta n-1. Parte Longitud Rangos 1 12.02 0.17 2 11.85 0.13 3 11.98 0.26 4 11.72 0.16 5 11.88 0.19 6 12.07 0.04 7 12.03 0.10 8 12.13 0.03 9 12.16 0.00 10 12.16 0.00 11 12.16 0.05 12 12.21 0.02 13 12.19 0.26 14 11.93 0.04 15 11.89 12.03 0.10 Pág. 10
  • 11. X  12.03 R  0.10 LSC X  X  E2 R =12.03+(2.66)(.10) = 12.29 LIC X  X  E2 R =12.03 – (2.66)(.10) = 11.76 LSCR  D4 R = 3.27(.10)= .327 LICR  D3 R = 0 I Chart for C1 12.35 UCL=12.30 12.25 12.15 Individual Value 12.05 Mean=12.03 11.95 11.85 11.75 LCL=11.75 1 11.65 0 5 10 15 Observation Number Moving Range Chart for C1 0.4 UCL=0.3384 0.3 Moving Range 0.2 0.1 R=0.1036 0.0 LCL=0 0 5 10 15 Observation Number Pág. 11
  • 12. Interpretación del proceso:  Revisar la gráfica de rangos para puntos fuera de los límites de control como signo de la existencia de causas especiales. Note que los rangos sucesivos están correlacionados, debido a que tienen un punto en común y debido a esto se tiene que tener cuidado al interpretar tendencias.  Las gráficas por lecturas individuales pueden ser analizadas para puntos fuera de los límites de control, dispersión de puntos dentro de los límites de control y para tendencias o patrones. Cabe hacer notar que si la distribución de proceso no es simétrica, las reglas mostradas anteriormente para gráficas X podrán dar señales de causas especiales sin que éstas existan. Gráficas de control por atributos Cualquier característica de calidad que pueda ser clasificada de forma binaria: “cumple o no cumple”, “funciona o no funciona”, “pasa o no pasa”, etc., a los efectos de control del proc eso, será considerado como un atributo y para su control se utilizará un Gráfico de Control por Atributos. : Los criterios de aceptación al utilizar gráficas de control por atributos deben estar claramente definidos y el procedimiento para decidir si esos criterios se están alcanzando es producir resultados consistentes a través del tiempo. Este procedimiento consiste en definir operacionalmente lo que se desea medir. Una definición operacional consiste en: 1º . Un criterio que se aplica a un objeto o a un grupo 2º. Una prueba del objeto o del grupo y 3º. Una decisión, sí o no: El objeto o el grupo alcanza o no el criterio. Gráfica P para fracción de Unidades Defectuosas (atributos) La gráfica p mide la fracción defectuosa o sea las piezas defectuosas e n el proceso. Se puede referir a muestras de 75 piezas, tomada dos veces por día; 100% de la producción durante una hora, etc. Se basa en la evaluación de una característica (¿se instalo la pieza requerida?) o de muchas características (¿se encontró algo mal al verificar la instalación eléctrica?). Es importante que cada componente o producto verificado se registre como aceptable o defectuoso (aunque una pieza tenga varios defectos específicos se registrará sólo una vez como defectuosa). Pasos para la elaboración de la gráfica: Paso 1- Frecuencia y tamaño de la muestra: Establezca la frecuencia con la cual los datos serán tomados (horaria, diaria, semanal). Los intervalos cortos entre tomas de muestras permitirán una rápida retroalimentación al proceso ante la presencia de problemas. Los tamaños de muestra grandes permiten evaluaciones más estables del desarrollo del proceso y son más sensibles a pequeños cambios en el promedio del mismo. Se aconseja tomar tamaños de muestra iguales aunque no necesariamente se tiene que dar esta situación, el tamaño de muestra debería de ser mayor a 30. El tamaño de los subgrupos será de 25 o más. Paso 2- Calculo del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo: Registre la siguiente información para cada subgrupo: El número de partes inspeccionadas – n El número de partes defectuosas – np Pág. 12
  • 13. np Calcule la fracción defectuosa (p) mediante: p  n Paso 3 – Calculo de porcentaje defectuoso promedio y límites de control El porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos se calcula con la siguiente fórmula: np1  np 2  ....  np k p n1  n2  .....  nk p (1  p ) LSC p  p  3 n p (1  p ) LIC p  p  3 n donde n es el tamaño de muestra promedio. NOTA: Cuando p y/o n es pequeño, el límite de control inferior puede resultar negativo, en estos casos el valor del límite será = 0 Paso 4- Trace la gráfica y analice los resultados. Ejemplo 4 Un fabricante de latas de aluminio registra el número de partes defectuosas, tomando muestras cada hora de n = 50, con 30 subgrupos. Realizar la gráfica de control para la siguiente serie de datos obtenida durante el muestreo. Muestra Latas defectuosas Muestra Latas defectuosas np np 1 12 16 8 2 15 17 10 3 8 18 5 4 10 19 13 5 4 20 11 6 7 21 20 7 16 22 18 8 9 23 24 9 14 24 15 10 10 25 9 11 5 26 12 12 6 27 7 13 17 28 13 14 12 29 9 15 22 30 6 Pág. 13
  • 14. Calcule la fracción defectuosa para cada muestra: Muestra Latas defectuosas Fracción defectuosa Muestra Latas defectuosas Fracción defectuosa np p np p 1 12 0.24 16 8 0.16 2 15 0.30 17 10 0.20 3 8 0.16 18 5 0.10 4 10 0.20 19 13 0.26 5 4 0.08 20 11 0.22 6 7 0.14 21 20 0.40 7 16 0.32 22 18 0.36 8 9 0.18 23 24 0.48 9 14 0.28 24 15 0.30 10 10 0.20 25 9 0.18 11 5 0.10 26 12 0.24 12 6 0.12 27 7 0.14 13 17 0.34 28 13 0.26 14 12 0.24 29 9 0.18 15 22 0.44 30 6 0.12 p  .2313 p (1  p ) .23 * .77 LSC p  p  3 = .2313  3 =.4102 n 50 p (1  p ) .23 * .77 LIC p  p  3 = .2313  3 =.05243 n 50 Trazando la gráfica P Chart for C1 0.5 1 1 0.4 UCL=0.4102 Proportion 0.3 P=0.2313 0.2 0.1 LCL=0.05243 0.0 0 10 20 30 Sample Number Pág. 14
  • 15. Gráfica np – Número de defectivos La gráfica np es basada en el número de defectuosos en vez de la proporción de defectuosos. Los límites son calculados mediante la siguientes fórmulas. LSC  np  3 np1  p  LIC  np  3 np1  p  Ejemplo 5: Utilizando los datos del diagrama anterior, construya la gráfica np e interprete los resultados. De la tabla obtenemos p  0.2313 , n = 50. Calculando los límites de control tenemos: LSC = (50)(0.2313)  3 500.23130.7687  20.510 LIC = (50)(0.2313)  3 500.23130.7687  2.620 NP Chart for cantidad 25 1 1 20 3.0SL=20.51 Sample Count 15 NP=11.57 10 5 -3.0SL=2.621 0 0 10 20 30 Sample Number Gráfico de Control C. Pág. 15
  • 16. Gráfica C – para número de defectos Se utiliza para determinar la ocurrencia de defectos en la inspección de una unidad de producto. Esto es determinar cuantos defectos tiene un producto. Podemos tener un grupo de 5 unidades de producto, 10 unidades, etc. Los límites de control se calculan mediante las siguientes fórmulas: LSC  c  3 c LSC  c  3 c Donde: c = total de defectos/ número de unidades de producto. Ejemplo: En la siguiente tabla tenemos el número de unidades de defectos observados en 26 muestras sucesivas de 100 filtros de seguridad. muestra defectos muestra defectos 1 21 14 19 2 24 15 10 3 16 16 17 4 12 17 13 5 15 18 22 6 5 19 18 7 28 20 39 8 20 21 30 9 31 22 24 10 25 23 16 11 20 24 19 12 24 25 17 13 16 26 15 516 c  19.67 26 LSC  19.67  3 19.67  32.97 LIC  19.67  3 19.67  6.37 Pág. 16
  • 17. C Chart for C1 40 1 3.0SL=33.21 30 Sample Count 20 C=19.85 10 -3.0SL=6.481 1 0 0 10 20 Sample Number Grafica U – Defectos por Unidad El diagrama u se basa en el promedio de defectos por unidad inspeccionada: c u= n donde c = número de defectos n = cantidad de piezas inspeccionadas Para determinar los limites de control utilizamos las fórmulas siguientes: u LSC  u  3 n u LIC  u  3 n Ejemplo 6 2 Una compañía que fabrica computadoras personales desea establecer un diagrama de control del número de defectos por unidad. El tamaño de muestra es de cinco computadoras. En la tabla se muestran el numero de defectos en 20 muestras de 5 computadoras cada una. Establecer el diagrama de control u 2 Statistical Quality Control, Douglas C. Montgomery, Second Edition pp.181 Pág. 17
  • 18. muestra tamaño de muestra Número de defectos, c promedio de defectos por unidad u 1 5 10 2 2 5 12 2.4 3 5 8 1.6 4 5 14 2.8 5 5 10 2 6 5 16 3.2 7 5 11 2.2 8 5 7 1.4 9 5 10 2 10 5 15 3 11 5 9 1.8 12 5 5 1 13 5 7 1.4 14 5 11 2.2 15 5 12 2.4 16 5 6 1.2 17 5 8 1.6 18 5 10 2 19 5 7 1.4 20 5 5 1 Total 193 38.6 u u i  38.60  1.93 n 20 Los límites de control son los siguientes: 1.93 LSC  1.93  3  3.79 5 1.93 LIC  1.93  3  0.07 5 U Chart for C1 4 3.0SL=3.794 3 Sample Count 2 U=1.930 1 0 -3.0SL=0.06613 0 10 20 Sample Number Pág. 18