Universidad de Santiago de Chile           Autores:         Miguel Martínez Concha            Facultad de Ciencia         ...
Por lo tanto, la serie de Fourier será:               1                   "                                               ...
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ii) Pruebe la convergencia de la serie:                                          1                                        ...
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En primer lugar, calculemos la integral para n 6= 1   R                                          R     sin3 x sin nxdx =  ...
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Además, f es continua y diferenciable 8x.   Los coe…cientes de Fourier de f son:                       A(w) =             ...
1 sen(n   )         lim+ ( lim (an ( ))) = lim+ ( lim                  ) = lim+ (0) = 0         !0    n!1              !0 ...
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1.10   Problema 10.                                                                                                       ...
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Ejercicios resueltos 2011

  1. 1. Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín1 Ejercicios Resueltos(ejemplar de prueba) Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los es- tudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para bus- car, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de información, decodi…cando y traduciendo la información contenida en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.1.1 Problema 1.i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representargra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R: 0 si x 0 f (x) = x si 0 x Solución: i) Calculo de los coe…cientes de Fourier. " # 1 R 1 R 0 R 1 R a0 = 2 f (x)dx = 2 f (x)dx + f (x)dx = 2 xdx 0 0 h 2i 1 x a0 = 2 2 = 4 0 R R an = 1 f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx 0 Usando hel método de integración h partes se tiene: i i por n 1 x cos(nx) cos(nx) an = n + n2 = 1 0 0 + ( n1) 2 1 n2 0 ( 1)n 1 0 para n par an = n2 = 2 n2 para n impar así: a2n = 0 8n a2n 1 = (2n 21)2 8 n: R R bn = 1 f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx 0 h i x cos(nx) sin(nx) = 1 n + n2 = cos(n ) n 0 luego el coe…ciente es: n+1 bn = ( 1)n 1
  2. 2. Por lo tanto, la serie de Fourier será: 1 " # X 2 ( 1) n+1 + 2 cos ((2n 1) x) + sin(nx) 4 n=1 (2n 1) n En todos los puntos de continuidad la serie converge a f (x) y en los puntosde discontinuidad del tipo x = + 2n con n 2 Z, la serie converge a 2 : ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie: 1 X 1 n=1 (2n 1)2 Solución.(ii) Evaluando en x = 0 se tiene 2 1 1 1 0= + 2 + 2 + ::: 4 12 3 5 de donde 2 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + ::: 4 1 3 5 y de aquí 1 X 2 1 = n=1 (2n 1)2 81.2 Problema 2i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 , de…nidapor: f (x) = x2 ; x ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de: 1 X 1 n=1 n2 1 X 1 iiI) Determine la convergencia de la serie n=1 n4 Solución: i) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, quetiene la forma: 1 X a0 + an cos (nx) n=1 2
  3. 3. R R h i 1 1 1 x3 2 a0 = f (x)dx = x2 dx = 3 = 3 0 0 0 2 R 2 R an = f (x) cos(nx)dx = x2 cos(nx)dx h 0 i 0 x2 sin(nx) 4( 1)n an = n + 2x cos(nx) n2 = 4 cos(n ) n2 = n2 0 Luego, la serie es: 2 1 X ( 1)n +4 cos (nx) 3 n=1 n2 Como la función es continua en R ,entonces: 2 1 X ( 1)n x2 = +4 cos (nx) ; todo x real. 3 n=1 n2 Solución (ii) 2 La serie numérica se puede obtener haciendo x = y f( ) = ; 2 2 1 1 1 = 4 ::: 3 12 22 32 de donde 1 X 1 2 2 1 = = n=1 n2 4 3 6 iii) Como la función f es seccionalmente suave para x y f( )=f ( ) se cumplen las condiciones de su…ciencia de la identidad de Parseval entonces Z 2 1 X 4 ( 1)n 2 1 2 x2 dx = 2 + =) 3 n=1 n2 1 X 16 1 x5 2 4 = + =) 5 9 n=1 n4 1 X 1 4 = n=1 n2 901.3 Problema 3Sea f (x) = x(sin x); si < x < ; entonces: i) Determine la serie de esta función. 3
  4. 4. ii) Pruebe la convergencia de la serie: 1 X ( 1)n 1 = n=1 n2 1 4 Solución: i) La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x) 8 x 2 ( ; ); entonces: bn = 0 R R R a0 = 1 f (x)dx = 1 x sin xdx = 1 [x ( cos x)]0 + cos xdx = 1 0 0 0 2 R 2 R an = f (x) cos(nx)dx = x sin x cos(nx)dx 0 0 Para n 6= 1 R 2( 1)n+1 an = 1 x [sin ((n + 1) x) sin ((n 1) x)] dx = n2 1 0 Para n = 1 R R a1 = 2 x sin x cos xdx = 1 x sin(2x)dx = 1 2 0 0 Por lo tanto, la serie es: 1 X ( 1)n+1 1 x sin x = 1 cos x + 2 cos (nx) 2 n=2 n2 1 ii) En x = 0 hay un punto de continuidad de la función, entonces la serieconverge a f (0) 1 X ( 1)n+1 1 f (0) = 0 = 1 cos 0 + 2 cos (0) 2 n=2 n2 1 Finalmente 1 X ( 1)n+1 1 = n=2 n2 1 41.4 Problema 4i) Para f (x) = e [x] , 0 x 2 obtener su serie de Fourier en cosenos, periódicade período 4. ii) Del resultado determinar la convergencia de: 1 X ( 1)n 1 n=1 2n 1 Solución: Evaluando la función parte entera tenemos 4
  5. 5. 8 < 1 si 0 x < 1 f (x) = e 1 si 1 x < 2 : e 2 si x=2 Con extensión par fp (x) de f (x) se obtiene la serie: 1 X n x a0 + an cos n=1 2 1 R 1 R 2 1 1 1 a0 = 2 1dx + e dx = 2 1+e 0 1 R 1 R 2 sin n x 1 sin n x an = cos n2 x dx + e 1 cos n2 x dx = n 2 j1 + e 0 n 2 j2 1 2 2 0 1 sin n 1 sin n sin n sin n 1 =2 n 2 + 2e n 2 =2 n 2 1 e Finalmente, la serie es: 1 1 X sin n 1+e 1 2 n x + 2(1 e ) cos 2 n=1 n 2 1 ii) Convergencia de x0 = 2 punto de discontinuidad con límites laterales ese tiene convergencia: 1 1 X sin n 1 1+e 1 2 e = + 2(1 e ) cos n 2 n=1 n 1 1 X sin n e 1 1 2 = 2(1 e ) cos n 2 n=1 n 1 X 1 = n=1 2n 1 41.5 Problema 5Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica 3 1 sin3 (x) = sin(x) sin(3x) 4 4 Solución: Se calcula la serie de Fourier de f (x) = sin3 (x) en [ ; ] : Como f (x) esimpar la serie será: 1 X Z 2 bn sin n con bn = sin3 (x) sin(nx)dx n=1 0 5
  6. 6. En primer lugar, calculemos la integral para n 6= 1 R R sin3 x sin nxdx = sin3 x cos nx j0 + n sin2 x cos x cos nxdx n 3 0 0 Usando la identidad trigométrica: cos x cos nx = cos(n 1)x 2 cos(n+11)x R = 2n sin2 x [cos(n 1)x cos(n + 1)x] dx 3 (1) 0 En segundo lugar, calculemos el valor del coe…ciente b1 para n = 1 en (1) R R R b1 = 1 3 sin2 x cos 2xdx = 43 (1 cos 2x) cos 2xdx = 43 1 cos 4x dx 2 2 0 0 0 23 3 b1 = 4 2 = 4 En tercer lugar, para n > 1 en (1) sin(n+1)x sin(n 1)x R sin(n+1)x sin(n 1)x bn = 3 2n sin2 x n+1 + n 1 j0 n+1 + n 1 sin 2xdx 0 3 R sin(n+1)x sin(n 1)x bn = 2n n+1 + n 1 sin 2xdx 0 Usando la identidad trigonometrica 3 1 1 R bn = 2n n+1 2 (cos(n + 1)x cos(n + 3)x) dx 0 3 1 1 R 2n n 1 2 (cos(n 3)x cos(n + 1)x)dx = 0; 8 n 6= 3 0 Para n = 3 el cálculo directo, produce: b3 = 2 3 2 2 2 = 1 3 4 Por lo tanto, la serie de Fourier resultante es: 3 1 sin(x) sin(3x) 4 4 Luego, por el teorema de la convergencia dada la continuidad de f se tienelo requerido.1.6 Problema 6Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (t) = e at sit > 0 considerando una extensión par de f (t) y estudie la convergencia en R: Solución: e at si t > 0 Sea fp (t) = ;así de…nida es una función par, luego: eat si t < 0 6
  7. 7. Z1 Z1 au A(w) = 2 f (u) cos(wu)du = 2 e cos(wu)du 0 0 Zb au = 2 lim e cos(wu)du b!1 0 au b e = 2 lim ( a cos(wu) + w sin(wu)) b!1 a2 + w2 0 ab e a = 2 lim ( a cos(wb) + w sin(wb)) + b!1 a2 + w2 a2 + w2 2a = a2 + w2 Entonces la integral de Fourier de f (t) es: Z1 Z1 1 2a 2a cos(wx) cos(wx)dw = dw a2 + w2 a2 + w2 0 0 Como la funcion es continua en R;aplicando el criterio de la convergencia, laintegral converge a f (t): Z1 cos(wx) ax dw = e a2 + w2 2a 01.7 Problema 7 jxjHalle la representación de la integral de Fourier de la función f (x) = xe six 2 ( 1; 1) y estudie su convergencia en R: Solución: Se tiene que f (x) es una función impar. Examinemos, si se cumplen lascondiciones de existencia de integral de Fourier. En primer lugar Z1 Z1 jxj x xe dx = 2 xe dx 1 0 2 3 Z1 = 2 4 xe x 1 j0 + e x dx5 0 = 2 1=2 7
  8. 8. Además, f es continua y diferenciable 8x. Los coe…cientes de Fourier de f son: A(w) = 0 ya que f es una función impar Z1 4w B(w) = ue juj sin(wu)du = 2 (1 + w2 ) 1 Entonces, para todo x la integral de Fourier converje a: Z1 x 4 w xe = 2 sin(wx)dw (1 + w2 ) 01.8 Problema 8 Sea f la función pulso rectangular unitario de período 2 de…nida 1 2 si <x<por f (x) = a) Representar gra…ca- 0 si 1 x< ó <x 1mente f (x) b) Obtener la serie de Fourier de f (x) . c) Si an ( ) es el coe…ciente n-ésimo de la serie anterior, calcular los límites: lim ( lim+ (an ( )) ; lim+ ( lim (an ( ))) n!1 !0 !0 n!1 Solución: b) Como f es una función par de período 2 ,entonces : Z1 Z 1 1 a0 = f (x) dx = dx = 2 2 0 0 Z1 Z 1 1 sen(n ) an = 2 f (x) cos(n x)dx = 2 cos (n x) dx = = an ( ) 2 n 0 0 bn = 0 8n Luego, se tiene que: 1 1 1 X sen(n ) f (x) + cos (n x) ; x 2 [ 1; 1] 2 n=1 n c) En primer lugar calculemos: 8
  9. 9. 1 sen(n ) lim+ ( lim (an ( ))) = lim+ ( lim ) = lim+ (0) = 0 !0 n!1 !0 n!1 n !0 n!1 En segundo lugar 1 sen(n ) lim ( lim+ (ak ( )) = lim ( lim+ ) = lim (1) = 1 n!1 !0 n!1 !0 n n!11.9 Problema 9.Dada la función f (x) = xe x con x > 0; a) Veri…que que considerando las extensiones par e impar de la función f : Z 1 Z 1 1 w2 2w 2 )2 cos wx dw = senwx dw 0 (1 + w 0 (1 + w2 )2 b) Estudiar la convergencia de la IF parar deducir que: Z 1 Z 1 1 w2 dw = dw 0 (1 + w2 )2 0 (1 + w2 )2 Solución Consideremos para f (x) = xex con x > 0 la extensión par xe x si x > 0 fp (x) = =) xex si x < 0 Z 1 Z 1 1 x fp (x) A (w) cos wxdw con A (w) = 2 xe cos wx dx 0 0 Ahora, consideremos la extensión impar de f xe x si x > 0 fi (x) = =) xex si x < 0 Z 1 Z 1 1 x fi (x) B (w) senwxdw con B (w) = 2 xe senwx dx 0 0 Podemos calcular los coe…cientes A (w) y B (w) integrando por partes: 9
  10. 10. Z 1 xA (w) = 2 xe cos wx dx =) 0 " #1 x xe x ( cos wx + wsenwx) e ( 1 w2 cos wx 2wsenwx)A (w) = 2 2 (1 + w2 ) (1 + w2 ) 0 2 1 wA(w) = 2 (1 + w2 )2 Z 1 xB (w) = 2 xe senwx dx =) 0 " #1 x xe x ( senwx w cos wx) e ( 1 w2 senwx + 2w cos wx)B (w) = 2 2 (1 + w2 ) (1 + w2 ) 0 2wB(w) = 2 (1 + w2 )2 Construyendo las respectivas integrales de Fourier y aplicando el teoremade la convergencia , puesto que f es una función seccionalmente 8x > 0 ,se tieneque : Z 1 x 2 1 w2 xe = cos wxdw (1 + w2 )2 0 Z 1 x 2 2w xe = senwxdw (1 + w2 )2 0 Por lo tanto, las extensiones son iguales: Z 1 Z 1 1 w2 2w cos wx dw = senwx dw (1 + w2 )2 (1 + w2 )2 0 0 b) En x = 0 se tiene un punto en que estas extensiones son continuas, luegoambas integrales convergen a f (0) = 0 Z 1 Z 1 Z 1 1 w2 1 w2 dw = 0 =) dw = dw (1 + w2 )2 (1 + w2 )2 (1 + w2 )2 0 0 0 10
  11. 11. 1.10 Problema 10. Z 1 1 Si f (x)es una función par ,con integral de Fourier f (x) = A (w) cos(wx)dw, 0 Z 1 1 dA(w)demuestre que: a) xf (x) = A (w) cos(wx)dw; donde A (w) = dw 0 Z 1 1 d2 A(w) b) x2 f (x) = A (w) cos(wx)dw; donde A (w) = dw2 0 Solución Z 1 1 a) Se tiene que xf (x) = A (w) sen(wx)dw; es una función impar, 0 Z 1 entonces A (w) = 2 v f (v) sen(wv)dv (1): 0 Z 1 Z 1 1 Como f (x) = A (w) cos(wx)dw con A (w) = 2 f (v) cos(wv)dv: 0 0 Z 1 dA(w) Entonces, derivando el coe…ciente queda dw = 2 vf (v) sen(wv)dv (2) 0 Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene dA(w) = A (w) dw Z 1 b) Como x2 f (x) = 1 A (w) cos(wx)dw; es una función par, 0 Z 1 2 entonces A (w) = v 2 f (v) cos(wv)dv (1) 0 Z 1 Z 1 1 Como, f (x) = A (w) cos(wx)dw con A (w) = 2 f (v) cos(wv)dv: 0 0 Z 1 dA(w) Por consiguiente dw = 2 vf (v) sen(wv)dv =) 0 Z 1 2 d A(w) dw2 = 2 v 2 f (v) cos(wv)dv (2) 0 2 Por lo tanto, comparando (1) y (2)se tiene d dw2 = A(w) A (w) : 11

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