El documento describe el método de variación de parámetros para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Presenta la formulación matemática necesaria y un ejemplo detallado que ilustra la obtención de la solución general de una ecuación diferencial no homogénea. Se destacan los pasos para calcular la solución complementaria y particular, finalizando con la respuesta de la ecuación utilizada en el ejemplo.

1. Ecuaciones Diferenciales
Método: Variación De Parámetros
Por: Jorge A. Frías Hernández.
Prof. Martínez Padilla Cesar Octavio.

2. Variación De Parámetros
DEBES DE SABER
Que para resolver un sistema de ecuaciones por el método de
Variación De Parámetros.
y ' '+ p( x) y '+ q( x) y = g ( x)
Necesitamos encontrar una solución de la forma:
y p = u1 y1 + u2 y2 Y de este modo que satisfaga la ecuación y ' '+ p( x) y '+ q( x) y = g ( x)
Son dos funciones a determinar.
Son dos soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada.

3. Variación De Parámetros
• Lo primero que debemos saber es lo siguiente.
y1 y2
1) yc = C1 y1 + C2 y 2 Solución Complementaria 2) W ( y1 + y 2 ) = Wroskiano
y1 ' y2 '
W1 y f ( x)
3) y ' '+Py + Qy = f ( x ) Ecuación Standard 4) u1 ' = =− 2 Determinar f(x)
W W
W2 y f ( x) 0 y2
5) u 2 ' = =− 1 Determinar f(x) 6) W1 = Wroskiano 1
W W f ( x) y2 '
7) y p = u1 y1 + u 2 y2 Solución Particular
y1 0
6) W2 = Wroskiano 2
y1 ' f ( x)
8) yG = yc + y p Solución General

4. Variación De Parámetros
Resolución de un problema por el método del anulador en una
ecuación de segundo orden
Sea y '' + y = cos( x) No Homogénea
Recordemos que estamos buscando
Segundo Orden
yG = y c + y p
Paso 1: Sacar yc igualando a 0 el primer miembro de la ecuación.
Y se resuelve por el método de coeficientes
y c = y '' + y = 0 Constantes,

5. Variación De Parámetros
λ2 + 1 = 0 λ = ±i
∴ λ1 = λ2 = ±1 yc = C1 cos( x) + C2 sen( x)
Ya que tenemos yc . sacamos yp De la siguiente forma
Paso 2: Encontrar primero el Wroskiano.
cos( x ) sen(c )
W (cos( x ) + sen( x )) = = cos 2 ( x ) + sen( x ) =1
− sen( x ) cos( x )
- +
Identidad trigonométrica

6. Variación De Parámetros
Paso 3:Encontrar u1’ y u2’ de la siguiente forma.
0 sen( x )
W1
u1 ' = = cos( x ) Cos ( x ) = cos( x ) sen( x )
W
1
cos( x) 0
W2
u2 ' = = − sen( x) cos( x) = = cos 2 ( x )
W
1

7. Variación De Parámetros
Paso 4:Integramos el u1’ y u2’.
u2 sen 2 ( x )
u1 = ∫ cos( x ) sen( x ) = ∫ udu = = +C
2 2
1
u 2 = ∫ cos 2 ( x) = x + sen( x ) cos( x)
2
1
y p = u1 y1 + u 2 y2 = sen 2 (cos x) + ( x + sen( x ) cos( x)) sen( x )
2
2
sen ( x) cos( x ) 1
yp = + xsen( x) + sen 2 ( x) cos( x)
2 2
1
y p = (3 + sen 2 ( x) cos( x ) + xsen( x)
2

8. Variación De Parámetros
Paso 4: Una vez que hallamos derivado vamos a sustituir en nuestra ecuación
Original y resolvemos
y '' + 3 y ' + 2 y = x 2 → 2C + 3( B + 2Cx ) + 2( A + Bx + Cx 2 ) = x 2
2Cx 2 + (6C + 2 B ) x + (2C + 3B + 2 A) = x 2
2C = 1 → C = 1
2
6C + 2 B = 0 → 6( 1 ) + 2 B = 0 → B =
2
−3
2
2C + 3B + 2 A = 0 → 2 1 + 3 −23 + 2 A = 0 → A =
2
7
4
y p = 1 + −23 + 7
2 4

9. Variación De Parámetros
Paso 5: Respuesta. Recordemos que yG = yc + y p
∴ yG = C1 cos( x) + C2 sen( x) + (3 + sen ( x) cos( x) + xsen( x)
1
2
2
Esta es la respuesta de nuestra ecuación diferencial de segundo
Orden por el método de Variación De Parámetros.

10. Variación De Parámetros
Gracias por su atención.