Este documento explica la transformada de Fourier y la serie de Fourier. La serie de Fourier describe señales periódicas como una combinación de señales sinusoidales. La transformada de Fourier amplía este concepto a señales no periódicas mediante la aproximación de una señal no periódica como una señal continua de período infinito. La transformada de Fourier relaciona el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia y viceversa, permitiendo analizar el contenido espectral de una señal.

1. Transformada de
Fourier

2. Serie de Fourier (I)
 Las series de Fourier describen señales periódicas
como una combinación de señales armónicas
(sinusoidales).
 Con esta herramienta podemos analizar una señal
periódica en términos de su contenido de
frecuencias o espectro.
 Nos permitió establecer la dualidad o equivalencia
entre tiempo y frecuencia de forma que
operaciones realizadas en el dominio del tiempo
tienen su dual en el dominio de la frecuencia.

3. Serie de Fourier (II)
 La forma exponencial de la serie de Fourier
describe una función periódica f (t)
de período T
w 2 p y frecuencia fundamental 0 = = 2 p
f
0 de la
T
siguiente manera:
( )
å w
jn t
f t C e
= =
n
0
- w w w
2
=+ + + + + +
-
- w
-
+¥
-¥
j t j t j t j t
C e C e C C e C e
0 0 0 0
1 0 1 2
2
2

4. Cálculo de los coeficientes:
T
0 1
ò ( ) = - w
jn t
n f t e dt
T
C
0
Relación de Parseval:
+¥
T
1 2
ò ( ) å
= = 2
P
f f t dt C
-¥
0
n
T
 La potencia contenida en una señal puede
evaluarse a partir de los coeficientes de su
correspondiente serie de Fourier.

5.  Espectro de señales periódicas: los coeficientes
Cn son los coeficientes espectrales de la señal
f (t)
 La gráfica de esos coeficientes en función de n
(índice armónico) o de la frecuencia w = nw0
se
denomina espectro.
 Tenemos dos tipos de gráficos, uno de magnitud
o amplitud con los Cn y otro de fase
f(n)
 La función Cn como la función f(n)
son
funciones discretas de la frecuencia.

6.  Forma de la señal
f (t)
0 V
a
- a 2
T t
- T 2
2
2
 Espectro discreto de amplitud
1
20
1
10
=
=
a
T
= 1
T
2
a
w = 2p = 2p = 20p
0 T 1
10
V0
2
- w
40
2 0
- p
Cn
0
2 0 nw0
w
40
p

7.  Forma de la señal
f (t)
T t
- a 2
- T 2
2
 Espectro discreto de amplitud
1
20
1
4
=
=
a
T
= 1
T
5
a
w = 2p = 2p = 8p
4
0 T 1
2
a
V0
5
- w
40
5 0
- p
Cn
0
w
80
10 0
5 0 nw0
w
40
p
p
- w
80
10 0
- p

8.  Forma de la señal
f (t)
- a 2
- T 2
2
a = 1 T = 1
a =
1
w = 2p = 2p = 4p
 Espectro discreto de amplitud
T t
10
2
20
T
2
0 T 1
2
a
V
20 0
- w
40
10 0
- p
Cn
0
w
80
20 0
10 0 nw0
w
40
p
p
- w
80
20 0
- p

9. Transformada de Fourier (I)
 Queremos ampliar el concepto de serie de Fourier
a señales no periódicas.
Podemos visualizar una señal no periódica como
una señal continua de período infinito:
o El espaciado entre frecuencias se aproxima a
cero y es por lo tanto una función continua.
o Los coeficientes Cn
disminuyen y tienden a
cero.

10. Transformada de Fourier (II)
 Se define la transformada de Fourier de y se
indica como:
+¥ F w = F f t = f t e j tdt
 Sujeto a la condición suficiente pero no necesaria
de
espectro continuo de
+¥ f t dt
ò ( ) < ¥
-¥
F(w) = Re2 F(w) + Im2 F(w)
F
Re
f amplitud
w = - w
espectro continuo de fase
f (t)
F(w)
( ) [ ( )] ò ( ) - w
-¥
F(w) = F(w) e jf(w)
( ) ( )
(w)
F
tg 1 Im

11.  Forma de la señal
f (t)
a
- a 2
2
<
a
V t
0 2
0;
w = = w
 Espectro continuo de amplitud
t
Cuando 0 0 T ®¥ w ®
( )
î í ì
>
=
2
;
a
t
f t
( ) ( )
2
2
0
sen
a
a
F F f t V a
w
2p
a
-2p
a
F(w)
w
V0
a

12. Relación entre la serie y la
transformada de Fourier
F(w)
 es la función envolvente de
 Si tomamos una muestra de F(w)
a intervalos
regulares la función resultante es el espectro de
amplitud de una señal periódica de período
 Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se
corresponde con señales periódicas en el dominio
del tiempo.
Cn
1
0
f0
0 f T =

13. Transformada inversa de Fourier para
una función
+¥
ò
j t
F f e dt
+¥
j t
2 1
 Las expresiones (1) y (2) constituyen el par de
transformadas de Fourier.
 La expresión (1) transforma la función f (t)
en el
dominio del tiempo en su función equivalente en el
dominio de la frecuencia y viceversa.
F(w)
( ) ( w ) = ( w
)
( ) ( ) = (w) w
w
-¥
p
- w
-¥
ò
f t F e d
2
1

14. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (I)
1. Linealidad o superposición:
F[ f1(t)] = F1(w); F[ f2 (t)] = F2 (w)
F[a1 f1(t) + a2 f2 (t)] = a1F1(w) + a2F2 (w)
2. Derivada: si
a1 y a2 constantes arbitrarias
F[ f (t)] = F(w)
( ) = w (w) úû
F df t
é ù
j F
dt
êë

15. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (II)
3. Cambio de escala o escalonamiento:
[ ( )] ( ) a a F f at = 1 F w
4. Desplazamiento en el tiempo:
F[ f (t - t )] = e- jwt0 F(w)
0
F[ f (t)] = F(w)
a = factor
F[ f (t)] = F(w)

16. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (III)
5. Modulación:
a.
b.
F[ f (t)] = F(w); w0 = constante real
( ) ( ) 0 F[ f t e jw0t ] = F w- w
[ ( ) ] ( ) ( ) 2 0
F f t cosw0t = 1
F w- w + F w+ w
6. Convolución: F[ f1(t)] = F1(w); F[ f2 (t)] = F2 (w)
F[ f1(t) Å f2 (t)] = F1(w) × F2 (w)
1
2 0

17. Aplicaciones: calculamos la transformada
de Fourier de algunas funciones
 Forma de la serie:
( )
î í ì <
e t
 Espectro continuo de amplitud:
 Espectro continuo de fase:
³
=
-a
0
0 t
0
f t
t
e-at
f (t)
t
( )
( ) 1
2 2
1
a +w
w =
a + w
w =
F
j
F
f w = tg-1 - w
æ
ö a
çè
( ) ÷ø
F(w)
- 4a a 0
f(w)
1
a
w
a
- 3a - 2a 2a 3a 4a
w

18.  Forma de la serie:
f (t) p (t) t a 0 = × cosw
f (t)
t
( )
- a 2
 Espectro continuo de amplitud:
( ) ( w+ w
)
0
0
w-w
0
0
2
sen
2
sen
w+ w
+
w-w
w =
a a
F
F(w)
t 0 cosw
p (t) a
2
a
t
t
w

19. Transformada de
Fourier