1. Universidad de Valparaíso
Ingeniería Ambiental
6to Control PAUTA
Cálculo I
11 de noviembre de 2009
Prof. Juan Carlos Morgado.
Observaciones
Tiempo 60 minutos
Sea ordenado al responder
20 puntos cada respuesta correcta
Justi…que toda su respuesta, de lo contrario no tendrá el puntaje máximo.
El control es SIN FORMULARIO, el que sea sorprendido obtiene nota 1.0
NOMBRE: ............................................................................................
1. Calcule las siguientes integrales:
R ln (x 1)
(a) dx
x2
Solución:
Utilizando el método de integración por partes se tiene:
dx
u = ln(x 1) du =
x 1
dx 1
dv = 2 v=
x x
Quedando
R ln (x 1) ln(x 1) R dx
dx = +
x2 x x(x 1)
ln(x 1) R dx
= +
x x(x 1)
ln(x 1) R 1 1
= + dx
x x 1 x
ln(x 1)
= + ln jx 1j ln jxj + c
x
ln(x 1) jx 1j
= + ln +c
x jxj
R dx
(b)
sin (x) cos (x) + 1
Solución:
x
Utilizando el cambio de variable u = tan se tiene que:
2

2. 2du
R 1 + u2
2u 1 u2
2
+1
1+u 1 + u2
2du
R 1 + u2
=
2u 1 + u2 + 1 + u2
1 + u2
2du
R 1 + u2
=
2u2 + 2u
1 + u2
R 2du
=
2u2+ 2u
R du
=
u(u + 1)
R 1 1
= du
u u+1
= ln juj ln ju + 1j + c
R dx x x
De ahí que, = ln tan ln tan +1 +c
sin (x) cos (x) + 1 2 2
R p
(c) x2 3 1 + xdx
Solución:
Sea u3 = 1 + x ! 3u2 du = dx
De ahí que
2
x2 = u3 1
Quedando la integral de la siguiente manera
R 3 2
u 1 u 3u2 du
R
= 3 u9 2u6 + u3 du
u10 2u7 u4
=3 + +c
10 7 4
Finalmente, la integral pedida nos queda:
p 10 p 7 p 4
!
R 2p 3
3
1+x 2 31+x 3
1+x
x 1 + xdx = 3 + +c
10 7 4
R ex + 1
(d) dx
ex 1
Solución:
R ex + 1
dx
ex 1
R ex 1 + 2
= dx
ex 1
2

3. R ex 1 2
= + dx
ex 1 ex 1
R 2
= 1+ dx
ex 1
R 2
=x+ dx
ex (1 e x)
R e x
=x+2 x
dx
1 e
x
= x + 2 ln j1 e j+c
3