2. TALLER DE FACTORIZACIÓN
DUMAR GUTIÉRREZ PÉREZ
tutor
GIOVANNI SALAZAR OVALLE
FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES
PROGRAMA CIENCIA DE LA INFORMACIÓN Y LA DOCUMENTACIÓN,
BIBLIOTECOLOGÍA Y ARCHIVÍSTICA
MATEMÁTICA BÁSICA G3
BOGOTÁ
2013
3. CASOS DE FACTORIZACIÓN.
1. Factor
común.
2. Factor común por agrupación de términos.
3. Trinomio cuadrado perfecto.
4. Diferencia de cuadrados perfectos.
5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y
sustracción.
6. Trinomio de la forma x2 + bx + c.
7. Trinomio de la forma ax2 + bx + c.
8. Cubo perfecto de un binomio.
9. Suma o diferencia de cubos.
10.Suma o diferencias de dos potencias iguales.
4. FACTOR COMÚN.
Características y cuando aplicarlo.
El
factor común es aquello que se encuentra
multiplicando en cada uno de los términos del
polinomio algebraico .
Puede ser un numero, una letra , varias letras, un
signo negativo, una expresión algebraica encerrada
en paréntesis, o combinaciones de todo lo anterior.
Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de
cuatro términos mas. No aplica para monomios.
Es el primer caso de factorización que se debe
inspeccionar cuando se trata de factor de un
polinomio.
5. COMO REALIZAR LA FACTORIZACIÓN.
De los coeficientes de los términos se extrae el MCD.
De las letras o expresiones encerradas en paréntesis, se
extrae la de menor exponente.
Se escribe el factor común seguido de un paréntesis donde
se anota el polinomio que queda después de que el factor
común ha abandonado cada termino.
EJEMPLO 1.
9B+15C = 3(3B+5C)
MCD (9, 15)= 3
9
15 3
3
5
7. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
características y cuando aplicarlo.
El primero y el tercer termino deben ser positivos. También estos dos
términos deben ser cuadrados perfectos ósea que tienen raíz cuadrada
exacta y estar organizados de forma ascendente o descendente.
Como
debemos realizar la factorización.
debemos verificar que cumple con los requisitos para ser un TCP
entonces extraemos la raíz cuadrada tanto del primero como la del tercer
término luego multiplicamos las raíces obtenidas por 2 y este resultado
debe ser igual al segundo termino en este caso no nos fijamos en el
signo.
Para terminar el trinomio anotamos las raíces cuadradas del primer y
tercer término y entre ellas el signo del segundo término.
8. Ejemplo 3.
(X+Y)2 – 2 (X+Y)(Y+K) + (Y+K)2
(X+Y)
(Y+K)
2(X+Y)(Y+K)
Con lo anterior podemos decir que si es TCP.
(X+Y)2 – 2 (X+Y) (Y+K) + (Y+K)2 =
[(X+Y)
- (Y+K)]2
agrupación.
[x + y – y – k]2=
[x – k]2
= podemos destruir signos de
9. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Ejemplo 1.
25F4+16-40F2 este trinomio no esta organizado entonces lo hacemos en forma descendente:
= 25f4 - 40f2 + 16
40f2
5f2
4
2.5f2.4
Ejemplo 2.
1
25
x
+
x4 - 2
25 36
=
3
1 x 2 25
36
25 - 3 +
1
5
2.(
x2
3
5
6
1 5
5 )( 6 x2)
= (5m2 - 4)2
tenemos que el tercer termino es negativo entonces pasamos a ordenarlo:
X4 =
x2
5 1
= ( 6 - 5 x2)2
10. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O
SUSTRACCIÓN.
Características y cuando aplicarlo.
En este caso debemos aplicar los mismos principios par
el trinomio cuadrado perfecto solo que le sumamos o
restamos para que el resultado sea igual al segundo
termino.
para esto seguimos los siguientes pasos:
Revisar si el trinomio cumple con los requisitos para ser
un TCP.
Hacer la completación para que sea un TCP.
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto.
Realizar la operación con el resultante.
Ordenar términos de las expresiones.
11. EJEMPLO 1.
Y4 + 3Y2 + 4 debemos probar si es un cuadrado perfecto:
4Y2
Y2
2 comprobamos que no cumple la condición para ser TCP
2.Y2.2
Entonces le sumamos lo que nos hacia falta para ser TCP.
y4 + 3y2 + 4 =
y4 + 3y2 + y2 + 4 – y2 = como le sumamos también debemos restar.
(y4 + 4y2 + 4) – y2 =
(y2+2)2 - y2 = diferencia de cuadrados perfectos.
[ (y2 + 2) + y ] [ (y2 + 2) –y ]
= destruimos paréntesis.
[Y2 + 2 + Y] [Y2 + 2 - Y] =organizamos en forma descendente .
(X2 + X + 2) (X2 – X + 2)
Y este es el resultado final.
12. EJEMPLO 2
m4 + m2n2 + n4
m2
n2
2.m2n2
= entonces debemos sumar m2n2 de igual manera
debemos restar.
m4 + m2n2 + n4 =
m4 + m2n2 + n4 + (m2n2 - m2n2 )=
(m4 + 2m2n2 + n4) - m2n2 = entonces factorizamos el TCP.
(m2 + n2 )2 - m2n2 = luego factorizamos la diferencia de cuadrados
(m2 + n2 + mn) (m2 + n2 – mn) = ordenamos
(m2 + mn + n2)(m2 – mn +n2)= este es el resultado final.
14. TRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C
Para este caso debemos tener en cuenta lo siguiente:
la forma x2+bx+c no necesariamente la x o la b van ha estar en todos los
ejercicios si no que esta podrá ser reemplazada por cualquier otra.
Para resolver:
Abrimos dos paréntesis, colocamos la raíz cuadrada del primer termino
en cada paréntesis, ponemos el signo del segundo termino en el primer
paréntesis y en el segundo ponemos la multiplicación del segundo y
tercer termino.
Si encontramos que los signos dentro del paréntesis son iguales
entonces buscamos dos números los cuales multiplicados den el tercer
termino y sumados el segundo.
Si los signos son diferentes buscamos dos números que restados den el
segundo y multiplicados den el tercer termino, recordando siempre que
el numero mayor va en el primer paréntesis.
15. Ejemplo 1
X2 + 7x + 10 raíz cuadrada es x
5+2=7
5 . 2 = 10
X2 + 7x + 10 = (x + 5 ) ( x + 2 )
Ejemplo 2.
n2 – 6 – n = debemos ordenarlo n2 – x – 6
raíz cuadrada es n
el primer termino es – y el segundo es el +
-3 + 2 = -1x = -x
-3 . 2 = -6 entonces
n2 – x – 6 = (x-3)(x+2)
16. Ejemplo 3.
y2 + 43y + 432
La raíz cuadrada de y2 = y
Los signos para ambos casos es el +
Los números son 27 y 16
27 + 16 = 43
27 . 16 = 432 entonces
y2 + 43y + 432 = (y + 27) (y + 16)
Para buscar los números, cuando las coeficientes del 2° y 3° términos
del trinomio, son más grandes, se puede hacer descomponiendo el
3° término del trinomio en sus factores primos cuyo resultado nos
indicaran los números que podemos utilizar tanto en la multiplicación
como en la suma.
17. TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C
en este caso el primer término tiene un coeficiente mayor que
1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
El segundo término tiene la misma letra que el primero pero
con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera
que puede ser positiva o negativa.
El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o
negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.
Para realizarlo se debe hacer así:
Descomponer el primero y el tercer termino en dos factores,
multiplicar en diagonal y sumar los resultados , si la suma da
el segundo termino ponemos cada fila entre paréntesis.
18. Ejemplo 1
2x2 +3x -2 primero multiplico por el primer termino:
(2x)2 + 3(2x) – 4 con esto podemos resolver por el VI caso:
buscamos dos números que son 4 y -1 por que :
4 – 1 = 3 y 4 . – 1 = -4 entonces:
(2x + 4) (2x – 1) pero como habíamos multiplicado por dos ahora
dividimos.
(2x + 4) (2x – 1)/2 entonces como no son divisibles descomponemos en 2
y1=
(2x + 4)/2 = (2x + 2) y (2x – 1)/1= (2x-1) =
(2x - 1) (x + 2)
Ejemplo 2.
5x2 + 13 + 6 = multiplicamos todo por 5 pero también lo dividimos:
(5x)2 + 13(5x) – 30 y esto lo dividimos en 5 y ya podemos resolver por el
caso VI =
(5X + 15) (5X – 2)/5 entonces quitamos el 5 que divide buscando factores
comunes =
5(X+3)(5X-2) /5 entonces podemos cancelar el cinco que multiplica y el
cinco que divide quedándonos (x+3)(5x-2)
19. Ejemplo 3.
15x2 + x – 6 multiplicamos todo por 15 pero también lo dividimos:
(15x)2 + 1 (15x) – 90 = entonces podemos trabajar con el VI caso =
15
10 – 9 = 1 y 10 . -9 = - 90
(15x + 10 ) ( 15 x – 9) = entonces sacamos factor común:
15
5(3x + 2).3 (5x - 3) entonces podemos cancelar:
15
(3x+2)(5x-3)
