Volumen de solidos_de_revolucion

60
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
CAPÍTULO 4
Volumen de Sólidos Revolución

61
Volumen de sólidos de revolución
Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l , se
genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta l se
denomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de
estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados.
4.1.- Cálculo del Volumen de Sólidos de Revolución mediante
el Método del Disco
Este método permite determinar el volumen de sólidos de revolución como la suma
del volumen de cilindros circulares rectos de corta altura (discos). Recuerde que el
volumen de un cilindro se calcula por la fórmula: V  r2h , donde r es el radio del
cilindro y h su altura.
Sea la región R
acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, el
eje x , y las rectas verticales x  a y x  b como se muestra en la figura 4.1a, si
dicha región gira alrededor del eje x , se genera un sólido compacto como el que se
muestra en la figura 4.1b.
Sea un plano perpendicular al eje x , que corta al sólido de la figura 4.1b, la
intersección es una sección transversal circular. Si este plano pasa por el punto en
el eje x con abscisa i w , entonces el radio del círculo formado se denomina radio de
giro Rg
y su longitud es   i f w , y el área del círculo es   2
i   f w  . Se puede
deducir la integral definida que permite calcular el volumen de sólidos de revolución,
usando sumas de Riemann, de manera análoga al procedimiento utilizado para
calcular áreas en el capítulo 2.
y y
x x
Figura 4.1a
Representación grafica de la región R
Figura 4.1b
Representación gráfica del Sólido que se
forma cuando R gira alrededor del eje x
a w b
y=f(x)
b
a wi b
f(w)=Rg f(w)=Rg

62
Sea f continua y no negativa en a,b . Sea  
1
n
i i
i
f w x

  una suma de Riemann,
donde i w es un número arbitrario en el i-ésimo subintervalo   1, i i x x  de una
partición P de a,b . Ésta es una suma de áreas de rectángulos como los que se
muestran en la figura 4.2a. Al girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje x se
genera un cilindro rectangular recto de poca altura (disco), cuyo radio de la base es
  i f w y su altura es i x . El volumen de este disco es   2
i i   f w  x . la suma de
todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que se
muestra en la figura 4.2b. y está dado por:
  2
1
n
i i
i
 f w x

  
Esta es una suma de Riemann para   2
  f x  . A medida que P 0 , n ,
entonces la suma de los volúmenes de los cilindros se acerca al volumen del sólido
formado cuando la función gira alrededor del eje de revolución representado en la
figura 3.1b. Por tanto, el volumen de un sólido de revolución se define como sigue:
Sea f continua en el intervalo cerrado a,b, y sea R
la región acotada por la gráfica
de f , el eje x , y las rectas x  a y x  b . El volumen V del sólido de revolución
generado al girar R alrededor del eje x está dado por:
    2 2
1
lim
n b
i i
n a
i
V  f w x  f x dx


        
Figura 4.2a
Representación grafica de una suma
de Riemann para la región R
Figura 4.2b
de Riemann para la región R cuando
ésta gira alrededor del eje x
a wi b
y=f(x)
b
a wi b
y
x x
y
f(wi)
b
... ...

63
A continuación se resuelve un ejercicio donde el sólido formado gira alrededor del
eje x formando un sólido compacto.
Ejemplo 4.1.
Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región
     2 R  x, y   y  ln x ; x 1; x  e; y  0 gira alrededor del eje x .
Solución
La región y los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo 2 y se
representan en la figura 4.3a.
El sólido formado se representa en la figura 4.3b y su volumen se determina
sumando los volúmenes de los cilindros con radio de giro Rg  ln x y base dx ,
desde x 1 hasta x  e , mediante la solución de la integral:
  2
1
ln
e
V    x  dx
Aplicando la técnica de integración por partes:
    2
1
ln 2 ln 2
e
V  x x  x x  x
Evaluando:
V  e  2  2,257
f(x)=ln(x)
Sombreado 1
x(t )=1 , y(t )=t
x(t )=e , y(t )=t
f(x)=0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-0.5
0.5
1
1.5
Figura 4.3a
Representación gráfica de la región R
x
x
y
y
y  ln x
x 1
x  e
Figura 4.3b
Representación gráfica del sólido que se genera
cuando la región R gira alrededor del eje x
x  e
x 1
  3 P e,1
  1 P 1,0   2 P e,0
Rg Rg

64
Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una
región gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, la deducción
teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de
giro (Rg) se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta al eje x, es decir,
  i Rg  f w  k , donde y  k es el eje de giro, como se observa en las figuras 4.4a
y 4.4b).
La definición del volumen vendrá dada por:
En el siguiente ejemplo se calcula el volumen de un sólido que gira alrededor de una
recta paralela al eje x pero distinta de él, sin embargo, el sólido formado sigue
siendo un sólido compacto.
Sea f continua en el intervalo cerrado a,b, y sea R
de f , y las rectas x  a , x  b y y  k . El volumen V del sólido de revolución
generado al girar R alrededor del eje y  k es:
 
b 2
a x
V  Rg  dx
  
Donde x Rg es la distancia entre f  x
y el eje de revoluciónxa,b , denominada
radio de giro.
y y
x x
Figura 4.4a
Representación grafica de una
región R
Figura 4.4b
Representación gráfica del Sólido
que se forma cuando R gira
alrededor del eje y=k
a wi b
y=f(x)
b
a wi b
Rg
y = k
Rg

65
1 2 3
1
2
3
4
5
P1 1,2   2 P 3,2
  3 P 3,3 3
y  3 x
  4 P 1,3
y  2
Ejemplo 4.2.
   2 R  x, y  , y  3 x; x 1; x  3; y  2 gira alrededor a la recta y  2.
Solución
La región y los puntos de intersección se representan en la figura 4.5a.
El volumen del disco representado en la figura 4.5b se obtiene mediante la
expresión:
   2
x dV  Rg dx
Donde el radio de giro Rg es:
    3 2 x Rg  f x  k  x 
Entonces:
 2
dV  3 x  2 dx
El volumen del sólido de la figura 4.5b se determina mediante la solución de la
integral:
 3 2
1
V   3 x  2 dx
Integrando y evaluando:
V  32,769
Figura 4.5a
Representación grafica
de la región R
Figura 4.5b
que se forma cuando R gira
alrededor de la recta y=2
x
y
y
x
Rg
Rg

66
En esta sección se considera una región acotada por las rectas verticales x  a y
x  b y por las graficas de las dos funciones continuas f y g con f  x  g  x
xa,b , como se muestra en la figura 4.6a. Si esta región gira alrededor de la
recta y  k , genera el sólido que se muestra en la figura 4.6b. (Observe que el
sólido tiene un hueco o agujero central).
El volumen V de este sólido hueco, puede calcularse restando el volumen del sólido
formado por la región limitada por g  x (volumen interno) al volumen del solido
formado por la región limitada por f  x (volumen externo). Desarrollando la
definición de volumen de sólidos utilizada anteriormente para el sólido de la figura
4.6b se obtiene:
    b 2 b 2
a a
V    f x  k dx   g x  k dx
Esto es:
      b 2 2
a
V    f x  k  g x  k dx
Esta última integral tiene su interpretación como límite de una suma de Riemann.
Como se ilustra en la figura 4.6a. el elemento de área comprendido entre la gráfica
de g y la gráfica de f tiene una altura igual a     i i f w  g w , genera al girar un
sólido con forma de arandela, como se observa en la figura 4.6b. Recuerde que el
volumen de una arandela se calcula por la formula:
    2 2
V   R  r H
 
Donde, R es el radio externo de la arandela, r es el radio interno y H es el
espesor de la arandela.
y y
x x
Figura 4.6a
Representación grafica de la región R
Figura 4.6b
Representación gráfica del sólido
hueco que se forma cuando R gira
alrededor del eje y=k
a wi b
y=f(x)
b
f(wi) - k
y = k
a wi b
y=g(x)
b

67
En el sólido de la figura 4.6b.,   i R  f w  k ,   i r  g w  k y i H  x . Entonces el
volumen de la arandela es i V y se determina por la fórmula:
      2 2
i i i i V   f w  k  g w  k x
Sumando los volúmenes de todas las arandelas se obtiene:
      2 2
1 1
n n
i i i i
i i
V  f w k g w k x
 
         
Tomando límite cuando n   , se llega a la siguiente expresión:
      2 2
1
lim
n
i i i
n
i
V  f w k g w k x


         
En conclusión, podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue:
Seguidamente, se resuelven dos ejemplos de cálculo de volumen de sólidos de
revolución huecos. En el primero, las funciones que delimitan la región están por
encima del eje de giro en todo el intervalo a,b, por lo cual, el radio de giro es:
    f x Rg  f x  k
El segundo, además de ser más complejo, presenta el caso contrario, en el que el
eje de giro está por encima de las funciones que delimitan la región en todo el
intervalo a,b, por lo tanto, el radio de giro viene dado por:
    f x Rg  k  f x
Sean f
y g
funciones continuas en el intervalo cerrado a,b, tal que f  x  g  x
xa,b y sea R
la región acotada por la gráfica de f , g
y las rectas x  a ,
x  b . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la
recta y  k está dado por:
      b 2 2
a f x g x
V  Rg   Rg  dx
    
Donde:
f  x Rg
es el radio de giro de la función f (externo)
g x Rg es el radio de giro de la función g (interno)

68
Ejemplo 4.3.
Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la
curva 2 y 1 2x  x y la recta y  x 1 gira alrededor de la recta y=-2
Solución
La arandela formada se representa en la figura 4.7b y su volumen se determina
mediante la expresión:
    2 2
externo interno dV   Rg  Rg dx
 
Esto es:
          2 2 2 dV   1 2x  x  2    x 1  2  dx  
Luego, el volumen del sólido de revolución viene dado por la resolución de la
siguiente integral:
      2 2 2 2
1
V  1 2x x 2 x 1 2 dx

             
-1 1 2
-2
-1
1
2
Figura4.7a
Representación grafica de la región
comprendida entre la curva
y=1+2x-x2 y la recta y=x-1
Figura 4.7b
que se forma cuando la región
gira alrededor de la recta y=-2
  1 P -1,-2
2 y 1 2x  x
y  x 1
  2 P 2,1
y  2
y
x
y
x
y  2
interno Rg
externo Rg

69
 
2
5
2
2 3 4 2 3 4
1
1
8 10 3 4 8 5
5
x
V  x x x x dx  x x x x


 
           
 

108
67,858
5
V

 
Ejemplo 4.4.
   2 3 2 R  x, y  , y  5; y  x ; y  x  2; y  x  2x 1 gira alrededor a la recta y=5.
Solución
Los puntos de intersección determinados son:
          1 2 3 4 5 P  1;1 P  1;1 P  0,303;1,697 P  3.236;5 P  7;5
Figura 4.8a
Representación grafica de una
región R
Figura 4.8b
Representación gráfica del Sólido que se forma
cuando R gira alrededor de la recta y=5
x x
y
2 P
5 P
3 P
1 P
4 P
y
y  5
1 Rg
2 Rg
3 Rg 4 Rg

70
mediante la solución de cuatro integrales:
1 V es el volumen del sólido generado entre 5 P
y P1 , donde: Rg1  5 2  x
   
1 2
1
7
V  5 2 x dx


      
1 V  226,195
y 3 P , donde:     2
2 Rg  5  x  2x 1
      0,303 2
2
2
3.236
V  5 x 2x 1 dx

     
  
2 V 175,195
y 3 P , donde:     3
3 Rg  5  x
  1 2
3
3
1
V  5 x dx

   
  
3 V 157,978
y 2 P , donde:     4 Rg  5  2  x
   
1 2
4
0.303
V    5  2  x  dx
4 V  29,285
1 3 2 4 V V V V V
V 179,693

71
Sea g una función continua en el intervalo cerrado c,d , y sea R
la región acotada
por la gráfica de g , el eje y , y las rectas y  c y y  d . El volumen V del sólido
de revolución generado al girar R alrededor del eje y está dado por:
    2 2
1
lim
n b
i i
n a
i
V  g w y  g y dy


        
Para calcular el volumen de sólidos que se generan al hacer girar regiones del plano
alrededor de rectas paralelas al eje y, se debe integrar respecto a y. Considere una
región acotada por la gráfica x  g  y , donde g es una función continua y no
negativa para c,d , las rectas horizontales y  c y y  d , por el eje y y. Si esta
región gira alrededor de y, genera un sólido cuyo volumen V se puede calcular
intercambiando x y y en la definición anterior. Así, sea P una partición del intervalo
c,d determinada por los elementos 0 1 2 , , ,... n c  y y y y . Sea wi cualquier número en
el i-ésimo subintervalo, se forman rectángulos de longitud (radio de giro)   i g w y
altura i i i 1 y y y     que se ilustran en la figura 4.9a. El sólido generado al girar
estos rectángulos alrededor del eje y se representa en la figura 4.9b.
El volumen del disco formado por el i-ésimo rectángulo es   2
i i  g w  y . La suma
de todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que
se muestra en la figura 4.9b. y está dado por:   2
1
n
i i
i
 g w y

  
Mediante el límite de sumas se obtiene la siguiente definición:
y
Figura 4.9a
de Riemann para la región R
Figura 4.9b
Representación grafica de una suma de Riemann para la
región R cuando ésta gira alrededor del eje y
x
d
wi
c
x=g(y)
b
y
x
g(wi)
b
x
.
.
.
.
.
.

72
En el ejemplo siguiente se determina el volumen de un sólido compacto formado
cuando una región gira alrededor del eje y.
Ejemplo 4.5.
   2 R  x, y  , x  y;1 y  9; x  0 gira alrededor a la recta x  0 .
Solución
La región se representa en la figura 4.10a.
El sólido formado se representa en la figura 4.10, su radio de giro es:
Rg  y
Su volumen se determina mediante la solución de la integral:
9 2 9
1 1
V   y  dy  ydy
   
9
2
1
81
2 2 2
y
V
 

 
    
 
V  40
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
  1 P 0,1
  3   P 3,9 4 P 0,9
  2 P 1,1
Figura 4.10b
Representación gráfica del Sólido que se forma
cuando R gira alrededor de eje y
x
y
y  9
y 1
x
y  9
x  y
y 1
y
Figura 4.10a
Representación grafica
de la región R
Rg

73
Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una
recta gira alrededor de una recta l paralela al eje y, la deducción teórica de la
integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro se debe
tomar en cuenta la distancia de esta recta l al eje y. De manera análoga a lo
realizado en la sección anterior e intercambiando la variable x por y , la definición
del volumen vendrá dada por:
En el próximo ejemplo, se determina el volumen de un sólido compacto formado
cuando una región gira alrededor de un eje paralelo al eje y.
Ejemplo 4.6.
     2 R  x, y  , y  ln x ; x 1; x  e; y  0 gira alrededor de la recta x  e .
Solución
La región se representa en la figura 4.11a.
Sea g continua en el intervalo cerrado c,d , y sea R
de g , y las rectas y  c , y  d y x  k . El volumen V del sólido de revolución
generado al girar R alrededor del eje x  k es:
 
d 2
c y
V  Rg  dy
  
Donde y Rg es la distancia entre g  y
y el eje de giro yc,d, denominada radio de
giro.
x
y
y x  e
x 1 x  e
Figura 4.11a
x
y
x  e
x 1
Figura 4.11b
Representación gráfica del sólido que se
genera cuando la región R gira alrededor de
la recta x=e
Rg

74
El sólido formado se representa en la figura 4.11d y su radio de giro viene dado por
la siguiente expresión:
y Rg  e  e
Entonces, su volumen se determina mediante la solución de la integral:
1 2 1
2 1 2
0 0
2 y y y V  e e dy  e e e dy            
2
2 3,902
2 2
e
V e
 
    
Se considerará ahora una región acotada por las rectas verticales y  c y y  d y
por las graficas de las dos funciones continuas f y g con f  y  g  y
yc,d ,
si esta región gira alrededor de la recta x  k se genera un sólido hueco, cuyo
volumen V , puede calcularse restando el volumen del sólido formado por la región
limitada por g  y (volumen interno) al volumen del solido formado por la región
limitada por f  y (volumen externo). Mediante la definición de volumen de sólidos
de revolución utilizada anteriormente se obtiene:
    d 2 d 2
c c
V    f y  k dx   g y  k dy
Esto es:
      d 2 2
c
V    f y  k  g y  k dy
La interpretación de esta integral como una suma de Riemann, se obtiene de
manera análoga a lo realizado en la sección anterior para sólidos huecos, entonces,
podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue:
Sean f
y g
funciones continuas en el intervalo cerrado c,d , tal que f  y  g  y
yc,dy sea R
la región acotada por la gráfica de f , g
y las rectas y  c ,
y  d . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la
recta x  k está dado por:
     b 2 2
x x
a
V   Rg f  Rg g dx
Donde:
x Rg f
es el radio de giro de la función f (externo)
x Rg g es el radio de giro de la función g (interno)

75
En los próximos dos ejemplos, se determina el volumen de sólidos huecos. En el
primero, el eje de giro se encuentra a la derecha de la función, y en el segundo, el
eje de giro se encuentra a la izquierda de la región.
Ejemplo 4.7.
Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la
curva 2 y 1 2x  x y la recta y  x 1 gira alrededor de la recta x=2
Solución
Despejando x de la parábola 2 y 1 2x  x ;
x 1 2  y
Los puntos de intersección y la región se representan en la figura 4.12a
mediante la solución de tres integrales:
y el vértice de la parábola (se invita
al lector a calcularlo), donde:     1 Rg  2  1 2  y
Entonces:
    2 2
1
1
V   2  1 2  y  dy
  
1 6
V


-1 1 2
-2
-1
1
2
Figura 4.12b
Representación gráfica del Sólido que se
forma cuando la región gira
alrededor de la recta x=2
  1 P -1,-2
  2 P 2,1
y
x
x  2
1 Rg
3 Rg
2 Rg
Figura 4.12a
x
y x  2

76
y el vértice de la parábola, donde:
Rg2  2 1 2  y 
Luego:
    2 2
2
2
V  2 1 2 y dy

     
  
2
68
3
V


y 2 P , donde:     3 Rg  2  y 1
El volumen 3 V se calcula mediante la solución de la integral:
   
1 2
3
2
V  2 y 1 dy

     
3 V  9
Observe que la segunda integral representa el volumen del sólido externo, y las
siguientes la de los sólidos internos. Por lo tanto, El volumen del sólido se calcula de
la siguiente manera:
2 1 3 V V V V
Evaluando;
27
2
V


4.2.- Aplicación Práctica
A continuación, se resuelve otro tipo de ejercicio, donde es necesario determinar la
altura del nivel del líquido contenido en un depósito, si este no ocupa todo el
volumen del recipiente.
Ejemplo 4.8.
Sea la región    2 2 R  x, y  , y  x ; x  0; y  x  6 . Determinar:
a) El volumen del depósito que se obtiene cuando la región gira alrededor del
eje y. (considere las medidas del depósito en metros).
b) La altura del nivel del líquido si este ocupa el 10% del volumen del depósito.

77
Solución
El gráfico de la región y del sólido formado cuando esta gira alrededor del eje y se
representan en las figuras 4.20a. y 4.20b:
Los puntos de intersección se determinan mediante la solución de las siguientes
ecuaciones:
1 P es la intersección entre y  x2
y y  x  6 , igualando las ecuaciones:
2 x  x  6
2 x  x  6  0
1
2
1 5 3
2 2
x
x
x
    
 
 
Sustituyendo;
y  4
Luego;
  1 P  2,4
X

  2 P 0,6
x x
y y
  3 P 0,0
  1 P 2,4
Figura 4.20a
Representación gráfica
de la región R
Figura 4.20b
Representación grafica del sólido
formado cuando la región R gira
alrededor del eje y
1 Rg
2 Rg

78
2 P es la intersección entre x  0
y y  x  6 , sustituyendo:
y  6
Luego;
  2 P  0,6
2 P es la intersección entre x  0
y 2 y  x , sustituyendo:
y  0
Luego;
  3 P  0,0
Entonces, el volumen del sólido de revolución formado, vendrá dado por la suma de
los volúmenes 1 V y 2 V , donde:
y 1 P , donde:     1 Rg  y  0
Por lo que;
 4 2
1
0
V   y dy
3
1 V  8m
y 2 P , donde:     2 Rg  6  y  0
Por lo que;
 
6 2
2
4
V   6  y dy
3
2
8
3
V  m
Si el líquido ocupa el 10% del volumen del depósito, entonces este volumen se
calcula de la siguiente manera:
  3 3
10%
32 16
0,1
3 15
V m m
   
   
 
Como
16
8
15

  , la altura del líquido residual estará ubicada en la sección
parabólica del depósito, entonces;
  10% 2
10%
0
h
V   y dy

79
10%
0
16
15
h
ydy

 
2 10%
0
16
15 2
h
 y 
  
 
10%
32
1,461
15
h  m  m

80
Ejercicios Propuestos
En los siguientes ejercicios, plantear la integral que permita calcular el volumen del
sólido de revolución formado, cuando la región dada gira alrededor de la recta
indicada.
1)    2 2
1 R  x, y  , y  x ; y  5x  6; y  x  6 , gira alrededor de:
a) y  0 b) x  1 c) y  7 d) x  3
2)    2
2 R  x, y  , x  2 y;2y  x  4; x  5; y  0
a) y  0 b) x  2 c) y  5 d) x  5
3)    2 2
3 R  x, y  , y  x 1; x  0; x  2; y  1
a) y  3 b) x  4 c) y  5 d) x  0
4)     2 2
4
1
, , 4; 2 4 0; 5 1 0
2
R x y y x y x y x
 
           
 
a) y  4 b) x  2 c) y  2 d) x  3
5)    2
5 R  x, y  , y 1 x 1; y  x 1  2
a) y  2 b) x  1 c) y  4 d) x  3
6)    2
6 R  x, y  , x  4  y; y  4x  4;4y  5x 5
a) y  5 b) x  1 c) y  4 d) x  3
7)     2 2 2
7 R  x, y  , x  y ; y  9 x  2
a) y  3 b) x  6 c) y  4 d) x  0
8)    2 2
8 R  x, y  , y  2x ; y 14x 3; y  7
a) y  1 b) x  2 c) y  7 d) x  0
9) Determinar la altura del nivel del líquido cuando el depósito formado si
   2 2 R  x, y   y  2x ; y 14x 3; x  0 gira alrededor de x  0 , está lleno
hasta un 60% de su capacidad.

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