Este documento presenta los conceptos fundamentales para el cálculo del volumen de un sólido de revolución

1. Volumen de un sólido de revolución
Una aplicación importante de la integral definida es el cálculo del volumen de
un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese mismo plano, se
obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado
por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución.
Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en
procesos de producción como por ejemplo los embudos, pilares, botellas y
émbolos.
Existen muchos métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución,
aquí se expondrá el método de discos; para esto se dibuja un rectángulo
representativo dentro de la región plana, perpendicular al eje de revolución.
La integral definida a utilizar dependerá de si el eje de revolución es
horizontal o vertical.
En las siguientes figuras R y r representan las distancias máxima y mínima
respectivamente de la gráfica al eje de giro.

2. Rotación alrededor de un eje horizontal
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑅2
− 𝑟2)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑅2
− 𝑟2)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
c
d
R(y)
r(y)
x
y
a b
R(x)
r(x)
x
y

3. Ejercicios:
1. Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al girar
alrededor del eje x la región limitada por 𝑦 = √ 𝑥, entre 0 y 2.
1 2
-1
1
x
y
𝑉 = 𝜋 ∫ [(√ 𝑥)
2
− 02
] 𝑑𝑥 =
2
0
𝜋 ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
2
0
𝜋 [
𝑥2
2
]
0
2
= 𝜋
4
2
= 𝟐𝝅
𝒚 = √ 𝒙

4. 2. Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región
limitada por 𝑥 = √ 𝑦 y 𝑥 = 𝑦2
alrededor del eje y.
1 2
-1
1
x
y
En este caso, se deben igualar las dos funciones para determinar los
puntos de intersección:
√ 𝑦 = 𝑦2
⟹ 𝑦 = 𝑦4
⟹ 𝑦4
− 𝑦 = 0
𝑦(𝑦3
− 1) = 0 ⟹ 𝑦 = 0 , 𝑦 = 1
𝑉 = 𝜋 ∫ [(√ 𝑦)
2
− (𝑦2)2
] 𝑑𝑦 =
1
0
𝜋 ∫ (𝑦 − 𝑦4)𝑑𝑦 =
1
0
𝜋 [
𝑦2
2
−
𝑦5
5
]
0
1
=
= 𝜋 (
1
2
−
1
5
) =
𝟑𝝅
𝟏𝟎
𝒙 = √ 𝒚
𝒙 = 𝒚 𝟐

5. 3. Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región
limitada por 𝑦 = 𝑥2
y 𝑦 = 4 alrededor de la recta 𝑦 = −1.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Se igualan las dos funciones para determinar los puntos de intersección:
𝑥2
= 4 ⟹ 𝑥 = ±√4 ⟹ 𝑥 = ±2
Como la gráfica es simétrica, se calcula la mitad del volumen y la integral
se multiplica por dos.
𝑉 = 2𝜋 ∫ [(4 + 1)2
− (𝑥2
+ 1)2]𝑑𝑥 =
2
0
2𝜋 ∫ (52
− 𝑥4
− 2𝑥2
− 1)𝑑𝑥
2
0
= 2𝜋 ∫ (24 − 𝑥4
− 2𝑥2)𝑑𝑥
2
0
= 2𝜋 [24𝑥 −
𝑥5
5
− 2
𝑥3
3
]
0
2
=
= 2𝜋 (48 −
25
5
− 2
23
3
) = 2𝜋 (48 −
32
5
−
16
3
) = 2𝜋 (
544
15
) =
𝟏𝟎𝟖𝟖𝝅
𝟏𝟓
𝒚 = 𝒙 𝟐
𝒚 = 𝟒
𝒚 = −𝟏