Calculo Diferencial e Integral de una Variable ccesa007
1. Cálculo diferencial e integral de una variable
1
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE
UNA VARIABLE
DEMETRIO CCESA RAYME
2. Cálculo diferencial e integral de una variable
2
A
h
Cilindro Recto
V = Ah
r
h
Cilindro circular
V = r2h
a
b
c
Paralelepípedo
Rectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá
descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos
elementales como los anteriores
3. Cálculo diferencial e integral de una variable
3
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Sólido de revolución es el que se obtiene al
girar una región del plano alrededor de una
recta del plano llamada eje de revolución.
4. Cálculo diferencial e integral de una variable
4
Diferencial de
volumen
∆xi
f(xi)
2
[ ( )]i i iV f x x =
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
5. Cálculo diferencial e integral de una variable
5
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo
[a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del
sólido obtenido al girar alrededor del eje X la
región limitada por la curva y= f(x), las rectas
x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i i
n
i
b
a
V f x x
f x dx
→
=
=
=
6. Cálculo diferencial e integral de una variable
6
Método de los discos
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos,
usar una de las fórmulas siguientes, como se muestra en la figura 7.15.
15. Cálculo diferencial e integral de una variable
15
Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
16. Cálculo diferencial e integral de una variable
16
Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,
y = 1.
y
17. Cálculo diferencial e integral de una variable
3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R,
alrededor del eje y.
( )
=
y
xyyxR
2
0412
;/,
17
18. Cálculo diferencial e integral de una variable
18
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región
limitada por la curva x = g(y) y las rectas
x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y
será igual a:
2
[ ( )]
d
c
V g y dy=
19. Cálculo diferencial e integral de una variable
19
MÉTODO DE LA ARANDELA
Cuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las
rectas x=a y x=b.
a bx
y
x
(*)
Diferencial de
volumen
f(xi)
g(xi)
xi
i
22
i x))]x(g[)]x(f[(V −=
20. Cálculo diferencial e integral de una variable
20
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales
que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen
del sólido generado al rotar alrededor del eje X la
región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y
x=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i i
n
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx
→
=
= −
= −
28. Cálculo diferencial e integral de una variable
28
Ejemplo 4:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje X la región acotada por la
parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
30. Cálculo diferencial e integral de una variable
30
Ejemplo 6:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y la región limitada por las curvas
x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
31. Cálculo diferencial e integral de una variable
31
x
xi
A(b)A(a)
ba xi
A(xi)
El diferencial
de volumen
A(xi)
xi
Vi = A(xi) xi
Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución
32. Cálculo diferencial e integral de una variable
32
El volumen del sólido será aproximadamente:
1 1
Δ ( )Δ
n n
i i i
i i
V A x x
= =
=
Se define el volumen V como el límite de la suma
de Riemann
→
=
=
=
1
lim ( )Δ
( )
n
i i
n
i
b
a
V A x x
A x dx
33. Cálculo diferencial e integral de una variable
33
Volumen de sólidos con secciones transversales conocidas
40. Cálculo diferencial e integral de una variable
40
Ejemplo 7: Calcular el volumen de una esfera de
radio R.
x
y
x
R
y
41. Cálculo diferencial e integral de una variable
41
Ejemplo 8: Utilice la definición anterior para
calcular el volumen de una pirámide de altura h y
base cuadrada de lado b.
h
b
yi
42. Cálculo diferencial e integral de una variable
42
Ejemplo 9:
Halle el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3,
alrededor del eje y.
MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS
43. Cálculo diferencial e integral de una variable
43
MÉTODO DE LOS CASCARONES
CILINDRICOS
En algunos casos se desea calcular el volumen de
una región limitada por una función y = f(x) al
girar alrededor del eje y, para lo cual se deben
hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en
términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es
muy complicado por lo que se usará otro método:
los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el
elemento diferencial
de volumen?
44. Cálculo diferencial e integral de una variable
44
xi
xi
f(xi)
Diferencial de
volumen
xi
xi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el
volumen será igual a:
iiii xxfxV = )(2
46. Cálculo diferencial e integral de una variable
46
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo
[a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en
[a, b], si la región limitada por la curva
y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira
alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:
1
lim 2 ( )
2 ( )
n
i i i
n
i
b
a
V x f x x
x f x dx
→
=
=
=
47. Cálculo diferencial e integral de una variable
47
Método de las capas
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de las capas,
usar alguna de las fórmulas siguientes
51. Cálculo diferencial e integral de una variable
51
Comparación de los métodos de los discos y de las capas
Los métodos de los discos y de las capas pueden distinguirse porque para usar el método de los
discos, el rectángulo representativo siempre es perpendicular al eje de revolución, y para el
método de las capas, el rectángulo representativo siempre es paralelo al eje de revolución,
como se muestra en la figura 7.32.
59. Cálculo diferencial e integral de una variable
59
Ejemplo 10:
Determine el volumen del sólido de revolución
generado al girar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la
recta y = 2.
60. Cálculo diferencial e integral de una variable
60
Ejemplo 11:
La región limitada por la curva y = x2, las rectas
y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.
Calcule el volumen generado.
y = -3