ntegrales en_coordenadas_polares

1. 89
Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.4 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares
(Estudiar la Sección 15.4 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 21)
Cuando se va a calcular una integral doble en coordenadas polares, podemos
considerar tres tipos diferentes de regiones: (a) Regiones de Rectángulos
Polares, en las que los 4 límites son constantes, (b) Regiones Tipo I, en las
que debe integrarse primero la variable r, y (c) Regiones Tipo 2, en las que
debe integrarse primero la variable θ.
Ambas regiones se ilustran gráficamente, y simbólicamente, en la Tabla de la
página 86. Esta tabla debe estudiarse detenidamente antes de proceder a
resolver los ejercicios siguientes
Diferencial de área en coordenadas polares: Recordando la relación entre
el radio y la longitud de arco en un sector circular está dada por: θrs = ,
tenemos entonces que el diferencial de área en coordenadas polares está
dado por ( )( )θrddrdA = como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir
como θddrrdA =
Ejemplo 1: Evalúe la integral dAe
D
yx
∫∫
−− 22
, en donde D es la región limitada
por el semicírculo 2
4 yx −= y el eje y , pasando a coordenadas polares.
Solución:
[ ]
( ) ( ) ( )
2
1
222
1
2
1
2
1
44
2
2
4
2
2
2
0
2
2
2
0
2222
πππ
θ
θθ
π
π
π
π
π
π
−−
−
−
−
−
−
−−−
−
=










 −
−
−
=
−
=
−
==
∫
∫∫ ∫∫∫
ee
d
e
deddrredAe rr
D
yx
s
θ
r
s=rθ
dθ
r
dr
rdθ
dA=(rdθ)(dr)
dA=rdrdθ
-2
2

2. 90
Ejemplo 2: Encuentre el volumen del sólido limitado por el plano 0=z , y el
paraboloide 22
1 yxz −−= .
La curva de
intersección de las
superficies es:
1
1
1
01
2
22
22
21
=
=
=+
=−−
=
r
r
yx
yx
zz
( ) ( )
( ) 2
2
4
1
42
11
2
0
1
0
422
0
1
0
3
2
0
1
0
222
π
πθθ
θ
ππ
π
=⋅=





−=−=
−=−−=
∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
d
rr
ddrrr
ddrrrdAyxV
D
Ejemplo 3: Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide 22
yxz += ,
arriba del plano xy, y dentro del cilindro xyx 222
=+
La base del volumen es:
( )
( )
( ) 1;0,1
11
112
2
22
22
22
=
=+−
=++−
=+
rCcírculo
yx
yxx
xyx
Su ecuación en c. polares:
θ
θ
cos2
cos2
2
2
22
=
=
=+
r
rr
xyx
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3
2
2cos1
4cos4
cos16
4
1
4
,
2
2
2
2
2
22
2
2
42
2
cos2
0
4
2
2
cos2
0
32
2
cos2
0
2
2
2
cos2
0
22
π
θ
θ
θθ
θθθ
θθ
θθθ
π
π
π
π
π
π
π
π
θ
π
π
θ
π
π
θ
π
π
θ
==





 +
==
=





=
==
+==
∫∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
−−
−−
−−
−
L
dd
dd
r
ddrrddrrr
ddrryxddrrrfV
D

3. 91
Ejemplo 4: Use coordenadas polares para calcular el volumen del sólido dentro
de la esfera 16222
=++ zyx y fuera del cilindro 422
=+ yx
2
4
4
16
16
16
2
22
2
22
222
=
=
=+
−±=
=+
=++
r
r
yx
cilindroEl
rz
zr
zyx
esferaLa
( )
[ ] ( )
( ) ( ) ( ) 332324
3
4
212
3
2
16
3
2
162
2
3
4
2
2
0
2
0
2
3
2
4
2
2
2
0
4
2
16
16
2
2
π
π
π
θθ
θθ
π π
π
===




−−=−=
===
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫
−+
−−
V
drddrrV
ddrdzrrdrddzdVV
r
r
Para la próxima clase estudiar las secciones
15.4 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
15.7 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas
Tarea para entregar la próxima clase
Tarea No. 21 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
z
2=r
2
16 rz −+=
x
2
16 rz −−=

4. 92
Integrales Dobles en Coordenadas Polares
Región
Rectangular
Polar
( )






≤≤
≤≤
βθα
θ
bra
r,
( )
( )∫ ∫
∫ ∫
=
=
=
=
=
=
=
=
br
ar
br
ar
drrdrf
rdrdrf
βθ
αθ
βθ
αθ
θθ
θθ
,
,
Región
Tipo 1
( )
( ) ( )






≤≤
≤≤
βθα
θθ
θ 21
,
hrh
r ( )
( )
( )
∫ ∫
=
=
=
=
βθ
αθ
θ
θ
θθ
2
1
,
hr
hr
rdrdrf
Región
Tipo 2
( )
( ) ( )






≤≤
≤≤
bra
rgrg
r 21
,
θ
θ ( )
( )
( )
∫ ∫
=
=
=
=
br
ar
rg
rg
drrdrf
2
1
,
θ
θ
θθ
θ=β
θ=α
r=b
r=a
r=h1(θ)
θ=β
θ=α
r=h2(θ)
r=a
θ=g2(r)
r=b
r=a
θ=g1(r)

5. 93
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 21 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares
(Sección 15.4 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 al 2 evalúe la integral doble pasando a coordenadas polares:
∫∫R
dAxyP :1 en donde R es la región del primer cuadrante que
se encuentra entre los círculos
25;4 2222
=+=+ yxyx
8
609
:1R
( )∫∫ +
R
dAyxP 22
:2 en donde R es la región limitada por las
espirales:
πθθθ 20;2; ≤≤== pararr
5
24:2 πR
En los problemas 3 y 4 utilice coordenadas polares para hallar el volumen del
sólido dado:
P3: Debajo del paraboloide
22
yxz += y arriba del
disco 922
≤+ yx 2
81
:3
π
R
P4: Arriba del cono
22
yxz += y debajo de la
esfera 1222
=++ zyx






−
2
1
1
3
2
:4
π
R
En los problemas 5 y 6 evalúe la integral iterada pasando a coordenadas polares:
∫ ∫
−
+
1
0
1
0
2
22
:5
x
yx
dydxeP ( )1
4
:5 −eR
π
∫ ∫
−
−−
2
0
4
4
22
2
2
:6
y
y
dxdyyxP
3
4
:6
π
R