1. La masa de un sólido es una medida de la materia que contiene y su volumen es
una medida del espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la
misma en todo el cuerpo se dice que éste es homogéneo o que tiene densidad
constante.
En mecánica se simplifican mucho los cálculos cuando se puede considerar a la
masa del cuerpo concentrada en un punto que se denomina centro de masas. En
un cuerpo homogéneo este punto coincide con el centro geométrico o centroide.
Por ejemplo, el centro de masas de una pelota de goma homogénea coincide con
el centro geométrico de la pelota considerada como una esfera.
LA MASA DE UN SÓLIDO
El centro geométrico de una hoja de papel rectangular estará situado entre las
dos superficies en la mitad del espesor pero, en este caso, se puede considerar
situado sobre una de las superficies en el punto de intersección de las
diagonales. Así, pues, el centro de masas de una hoja delgada coincide con el
centro geométrico de la hoja considerada como un área plana.
Segundo Espín

2. EL MOMENTO (DE PRIMER ORDEN) MLDE UN ÁREA PLANA
El momento (de primer orden) ML de un área plana con respecto a una recta L es
el producto del área por la distancia de su centro geométrico a dicha recta. El
momento de un área compuesta de otras varias con respecto a una recta es
igual a la suma de los momentos de las áreas individuales con respecto a dicha
recta.
FORMULARIO
Momento con respecto a 0 (origen) Masa total M0
Momento con respecto al eje y My
Momento con respecto al eje x Mx
Centro de masas Cm (x, y )
),( yxCm
00
,
M
M
y
M
M
x xy
==
i
n
i
mM ∑=
=
1
0
ii
n
i
y xmM ∑=
=
1
ii
n
i
x ymM ∑=
=
1
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3. Procedimiento para hallar el momento de masas de un área plana
PASO 1: Se dibuja el área y se traza una franja representativa y su rectángulo
genérico correspondiente.
PASO 2: Se efectúa el producto del área del rectángulo por la distancia de su
centro geométrico o centroide al eje, y se escribe la suma correspondiente a
todos los rectángulos.
PASO 3: Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo
integral, suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.
NOTA: Para un área plana A cuyo centro geométrico es el punto y cuyos
momentos con respecto a los ejes x e y son Mx y My, respectivamente se tiene:
),( yx
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4. CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA (Cm)
FORMULARIO
Momento con respecto al eje y My
Momento 0 (Masa total M0)
Momento con respecto al eje x Mx Centro de masas Cm (x, y )
),( yxCm
00
,
M
M
y
M
M
x xy
==
∫=
b
a
dxxfMasa )(ρ
∫=
b
a
y dxxfxM )(ρ
∫=
b
a
x dxxfM )(
2
1 2
ρ
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5. EJEMPLO 1: Dada el área plana de la figura, hallar (a) su momento con
respecto a los ejes coordenados y (b) las coordenadas de su centro geométrico.
SOLUCIÓN
(a) El área del rectángulo superior es 5 x 2 = 10 unidades
y su centro geométrico es el punto A(2.5,9).
Análogamente, las áreas y centros de los otros
rectángulos son: 12 unidades, B(1, 5); 2 unidades,
C(2.5, 5); 10 unidades, (2.5, 1).
Los momentos con respecto al eje x son: 10(9); 12(5); 2(5)
y 10(1). Por lo tanto. El momento del área de la figura con
respecto al eje x es
170)1(10)5(2)5(12)9(10 =+++=xM
Análogamente, el momento del área de la figura con respecto al eje y es
67)5.2(10)5.2(2)1(12)5.2(10 =+++=yM
(b) El área de la figura es A = 10+12+2+10 =34. Por tanto, las coordenadas del
centro geométrico es
5
34
170
,
34
67
=====
M
M
y
M
M
x xy )5,3467(),(: mm CyxC →
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6. EJEMPLO 2: Encontrar el centro de masa de la región limitada por un arco de la
función y el eje x. Tomando el arco definido en el intervalo [ ]π,0senxy =
SOLUCIÓN
)8,2(),(: ππmm CyxC →
CÁLCULO DEL CENTRO DE MASAS
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7. EJEMPLO 3: Hallar el momento con respecto a los ejes coordenados del área
plana del segundo cuadrante limitada por la curva 92
−= yx
SOLUCIÓN
El área del rectángulo genérico de la figura es , su centro geométrico es,
y su momento con respecto al eje x vale . Por tanto
xx ∆⋅−
( )yx,
2
1 ),( xxy ∆⋅−
Análogamente, el momento del rectángulo genérico con
respecto al eje y es En consecuencia( ),
2
1 yxx ∆⋅−
8
9
72
81
18
4
81
,
5
18
90
324
18
5
324
====−=−=
−
==
M
M
y
M
M
x xy
CÁLCULO DEL CENTRO DE MASAS
∫ ∫ =−−=⋅−=
3
0
3
0
2
4
81
)9( dyyydyxyMx
∫ ∫ −=−−=−=
3
0
3
0
222
5
324
)9(
2
1
2
1
dyydyxM y
18)9(
3
0
3
0
2
∫ ∫ =−−=−= dyydyxM
)89,518(),(: −→ mm CyxC
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8. FÓRMULAS PARA CALCULAR LOS MOMENTOS DE MASA UTILIZANDO EL
CÁLCULO VECTORIAL
1. Momento de masa (M)
2. Momento de masa respecto del eje x M (x)
3. Momento de masa respecto del eje y M (y)
FÓRMULAS PARA ENCONTRAR EL CENTRO DE MASA Cm (x, y )
∫∫∫∫ ==
RR
dxdyyxdAyxM ),(),( ρρ
∫ ∫∫ ∫ ==
RR
x dydxyxydAyxyM ),(),( ρρ
∫ ∫∫ ∫ ==
RR
y dxdyyxxdAyxxM ),(),( ρρ
),( yxCm
M
M
y
M
M
x xy
== ,
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9. EJERCICIOS PARA LA CARPETA
EJERCICIO 1: Hallar el centro geométrico del área del primer cuadrante limitada
por la parábola
2
4 xy −=
EJERCICIO 2: Dada el área plana de la figura, hallar (a) su momento con
respecto a los ejes coordenados y (b) las coordenadas de su centro geométrico.
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10. EJERCICIOS PARA LA CARPETA
EJERCICIO 1: Hallar el centro geométrico del área del primer cuadrante limitada
por la parábola
2
4 xy −=
EJERCICIO 2: Dada el área plana de la figura, hallar (a) su momento con
respecto a los ejes coordenados y (b) las coordenadas de su centro geométrico.
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