Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

PREFACIO
En un curso ordinario de Geometría Analítica es imprescindible abordar el estudio
de dos problemas fundamentales: 1) construir la curva denida por una ecuación y
2) hallar la ecuación de un lugar geométrico. Ambos problemas están íntimamente
relacionados y constituyen el pilar para cualesquiera cursos posteriores, de Matemá-
tica Superior, que se desarrollan en las diferentes facultades de cualquier Universidad
del país.
Dada la importancia de los dos problemas mencionados se ha decidido elaborar
este libro, que contiene una serie de ejercicios resueltos y otra de ejercicios propues-
tos, a manera de material de consulta; el cual está dirigido a estudiantes de los
primeros niveles de enseñanza universitaria.
Todo el aspecto algebraico relacionado con los dos problemas fundamentales se
aborda con el Sistema de Cálculo Simbólico libre: Maxima 5.27, y el aspecto geo-
métrico con el Software Matemático Interactivo libre: GeoGebra 4.0.27.0.
R. Ipanaqué
E. J. Ojeda
Piura, Perú
1

CONTENIDO
1. Construcción de curvas denidas por ecuaciones, 5
1. Proceso a seguir, 5
2. Ejercicios desarrollados, 6
3. Ejercicios propuestos, 40
2. Construcción de curvas denidas por ecuaciones con Maxima, 42
1. Introducción, 42
2. El módulo ganalitica, 42
3. El módulo solve_rat_ineq, 43
4. Inicialización del módulo ganalitica, 44
5. Inicialización del módulo solve_rat_ineq, 44
6. Ejemplos, 44
3. Ecuaciones de Lugares geométricos, 90
1. Lugar geométrico, 90
2. Ejercicios desarrollados, 90
3. Ejercicios propuestos, 110
4. Rastro de lugares geométricos con Geogebra, 116
1. Introducción, 116
2. Ejemplos, 117
Respuestas, 159
Bibliografía, 162
A. El módulo ganalitica, 163
1. Comandos implementados, 163
2. Generando el módulo ganalitica, 166
3

CAPÍTULO 1
CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DEFINIDAS POR ECUACIONES
Conociendo la ecuación que dene una curva en el plano cartesiano pueden cons-
truirse de ésta tantos puntos como convenga, asignando valores a una de ambas
coordenadas, calculando los valores correspondientes de la otra, y trazando los pun-
tos que resulten. Cuando se hayan determinado las dos coordenadas de un número
de puntos suciente, puede aceptarse como bosquejo de la curva que se busca, una
curva continua (al menos en la región de valores admisibles de ambas coordenadas)
que pase por dichos puntos. En general, se desea obtener un bosquejo de la manera
más rápida posible.
1.1 Proceso a seguir
Para construir una curva denida por una ecuación, en el plano cartesiano, conviene
atenerse a las siguientes normas:
1. Determinar los puntos de intersección de la curva con los ejes coordenados.
2. Determinar los conjuntos de valores admisibles para ambas variables de la ecua-
ción.
3. Determinar la simetría de la curva con respecto a los ejes coordenados y al
origen.
4. Determinar las ecuaciones de las asíntotas lineales que pueda tener la curva.
5. Calcular las coordenadas de un número suciente de puntos para obtener una
gráca adecuada (tabulación).
6. Trazar la gráca de la curva.
5

1.1 Observaciones. Sea C : P(x, y) = 0 una curva en R2
, donde P(x, y) es un
polinomio en las variables x e y.
1. Las intersecciones de C con el eje Ox se encuentran resolviendo la ecuación
P(x, 0) = 0 y las intersecciones de C con el eje Oy, resolviendo la ecuación
P(0, y) = 0 .
2. Si P(x, y) = 0 ≡ P(x, −y) = 0, la curva C es simétrica respecto al eje Ox. En
forma similar, si P(x, y) = 0 ≡ P(−x, y) = 0, la curva C es simétrica respecto
al eje Oy. Adicionalmente, si P(x, y) = 0 ≡ P(−x, −y) = 0, la curva C es
simétrica respecto al origen de coordenadas.
3. Para determinar las asíntotas verticales de C se ordena P(x, y) en términos de la
variable y y se iguala a cero el coeciente de la potencia más alta. Similarmente,
para determinar las asíntotas horizontales de C, se ordena P(x, y) en términos
de la variable x y se iguala a cero el coeciente de la potencia más alta. Por otra
parte, para determinar las asíntotas oblicuas de C se ordena P(x, mx + b) en
términos de la variable x y se igualan a cero los coecientes de las dos potencias
más altas.
1.2 Ejercicios desarrollados
2.1 Ejercicio. Construir la curva C : 2xy2
− x3
+ 8 = 0.
Solución. Considérese la identicación
P(x, y) = 2xy2
− x3
+ 8 .
La ecuación P(x, 0) = 0 produce −x3
+ 8 = 0 cuya única solución real es x = 2. En
tanto que, P(0, y) = 0 conduce al absurdo 8 = 0, lo que indica que la curva C no se
intersecta con el eje Ox. Por lo antes expuesto, la curva C únicamente intersecta al
eje Ox en el punto (2, 0).
Para determinar los valores admisibles de la variable x se procederá a despejar y
en términos de x,
y = ±
x3 − 8
2x
. (1.1)
Según se aprecia en (1.1) la variable y asumirá valores reales, siempre y cuando
6

los valores de la variable x pertenezcan al conjunto solución de la inecuación
x3
− 8
2x
≥ 0 . (1.2)
Luego, los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ −∞, 0 ∪ [2, +∞ .
Por otra parte, (1.2) implica
x3 − 8
2x
≥ 0 ∨ −
x3 − 8
2x
≤ 0 ,
o, de acuerdo con (1.1), esto es y ≥ 0 ∨ y ≤ 0 . Entonces, los valores admisibles
para y serán todos los valores y ∈ [0, +∞ ∪ −∞, 0], es decir, todos los valores
y ∈ R.
Seguidamente, como puede apreciarse a continuación
P(x, −y) = 0 ≡ 2x(−y)2
− x3
+ 8 = 0 ,
≡ 2xy2
− x3
+ 8 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
de manera que, la curva C es simétrica con respecto al eje Ox. No obstante,
P(−x, y) = 0 ≡ 2(−x)y2
− (−x)3
+ 8 = 0 ,
≡ −2xy2
+ x3
+ 8 = 0 ,
≡ 2xy2
− x3
− 8 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión no es simetríca con respecto al eje Oy. Y dado que,
P(−x, −y) = 0 ≡ 2(−x)(−y)2
− (−x)3
+ 8 = 0 ,
≡ −2xy2
+ x3
+ 8 = 0 ,
≡ 2xy2
− x3
− 8 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
la curva C tampoco es simétrica con respecto al origen.
7

Ahora, dado que después de igualar a cero el coeciente de la mayor potencia de
y en
P(x, y) = 2xy2
− x3
+ 8
se obtiene la ecuación 2x = 0, entonces la única asíntota vertical de C es la recta
x = 0. Sin embargo, después de igualar a cero el coeciente de la mayor potencia de
x en
P(x, y) = −x3
+ 2y2
x + 8
se obtiene el absurdo −1 = 0, de modo que la curva C no posee asíntota horizontal.
Por otro lado, después de igualar a cero los coecientes de las dos potencias más
altas de x en
P(x, mx + b) = 2x(mx + b)2
− x3
+ 8 ,
= (2m2
− 1)x3
+ 4bmx2
+ 2b2
x + 8 ,
se obtiene el sistema ⎧
⎪⎨
⎪⎩
2m2
− 1 = 0 ,
4bm = 0 .
cuyas soluciones permiten obtener las ecuaciones de las asíntotas oblicuas de la
forma y = mx + b, esto es,
y = −
x
√
2
, y =
x
√
2
.
A continuación, teniendo en cuenta (1.1) se ha elaborado la siguiente tabla
x −2 −1 −1
2 3 5
y ±2 ± 3√
2
± 65
8 ± 19
6 ±3 13
10
la cual contiene las coordenadas de los puntos que servirán como referencia para
trazar la gráca de la curva C.
Y, nalmente, se traza la gráca de la curva C tal y como se muestra en la gura
1.1.
8

Fig. 1.1
2.2 Ejercicio. Construir la curva C : yx2
− xy2
− 1 = 0.
P(x, y) = yx2
− xy2
− 1 .
La ecuación P(x, 0) = 0 conduce al absurdo −1 = 0, lo que indica que la curva C no
se intersecta con el eje Ox. Similarmente, P(0, y) = 0 conduce al mismo absurdo,
es decir, la curva C tampoco se intersecta con el eje Oy.
en términos de x,
y =
x2
±
√
x4 − 4x
2x
. (1.3)
Esto indica que la variable y asumirá valores reales, siempre y cuando los valores de
la variable x pertenezcan al conjunto solución de la inecuación
x4
− 4x ≥ 0 ∧ x = 0 .
Luego, los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ −∞, 0 ∪ 3
√
4, +∞ .
De modo similar, se procederá a despejar x en términos de y,
x =
y2
± y4 + 4y
2y
.
Esto indica que la variable x asumirá valores reales, siempre y cuando los valores de
9

la variable y pertenezcan al conjunto solución de la inecuación
y4
+ 4y ≥ 0 ∧ y = 0 .
Luego, los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ −∞, − 3
√
4 ∪
0, +∞ .
P(x, −y) = 0 ≡ (−y)x2
− x(−y)2
− 1 = 0 ,
≡ −yx2
− xy2
− 1 = 0 ,
≡ yx2
+ xy2
+ 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
de manera que, la curva C no es simétrica con respecto al eje Ox. Igualmente,
P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)2
− (−x)y2
− 1 = 0 ,
≡ yx2
+ xy2
− 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión tampoco presenta simetría con respecto al eje Oy. Y
dado que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−y)(−x)2
− (−x)(−y)2
− 1 = 0 ,
≡ −yx2
+ xy2
− 1 = 0 ,
≡ yx2
− xy2
+ 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
y en
P(x, y) = −xy2
+ yx2
− 1
se obtiene la ecuación −x = 0, entonces la única asíntota vertical de C es la recta
x = 0. De la misma forma, después de igualar a cero el coeciente de la mayor
10

potencia de x en
P(x, y) = yx2
− xy2
− 1
se obtiene la ecuación y = 0, de modo que la única asíntota horizontal de la curva
C es la recta y = 0. Por otro lado, después de igualar a cero los coecientes de las
dos potencias más altas de x en
P(x, mx + b) = (mx + b)x2
− x(mx + b)2
− 1 ,
= m(1 − m)x3
+ b(1 − 2m)x2
− b2
x − 1 ,
⎪⎨
⎪⎩
m(1 − m) = 0 ,
b(1 − 2m) = 0 .
cuyas soluciones permiten obtener las ecuaciones de las asíntotas oblicuas de la
forma y = mx + b, esto es,
y = 0†
, y = x .
x −3 −1 −1
4
3
√
4 3 4
y −9±
√
93
6
−1±
√
5
2
−1±
√
257
8
3
√
4
2
9±
√
69
6
4±
√
15
2
1.2.
2.3 Ejercicio. Construir la curva C : yx − x2
+ y − 2 = 0.
P(x, y) = yx − x2
+ y − 2 .
†
Esta asíntota es la asíntota horizontal que ya fue detectada. Note que este fenómeno se va a dar
siempre que m = 0.
11

Fig. 1.2
− 2 = 0 cuyas raíces son complejas, lo que
indica que la curva C no se intersecta con el eje Ox. En tanto que, P(0, y) = 0
produce y − 2 = 0 cuya única solución real es y = 2. Por lo antes expuesto, la curva
C únicamente intersecta al eje Oy en el punto (0, 2).
en términos de x,
y =
x2
+ 2
x + 1
. (1.4)
Esto indica que los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ R − {−1}.
x =
y ± y2 + 4y − 8
2
.
y2
+ 4y − 8 ≥ 0 .
Esto indica que los valores admisibles para y serán todos los valores
y ∈ −∞, −2
√
3 − 2 ∪ 2
√
3 − 2, +∞ .
12

P(x, −y) = 0 ≡ (−y)x − x2
+ (−y) − 2 = 0 ,
≡ −yx − x2
− y − 2 = 0 ,
≡ yx + x2
+ y + 2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
P(−x, y) = 0 ≡ y(−x) − (−x)2
+ y − 2 = 0 ,
≡ −yx − x2
+ y − 2 = 0 ,
≡ yx + x2
− y + 2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
dado que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−y)(−x) − (−x)2
+ (−y) − 2 = 0 ,
≡ yx − x2
− y − 2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
y en
P(x, y) = (x + 1)y − x2
− 2
se obtiene la ecuación x + 1 = 0, entonces la única asíntota vertical de C es la recta
x = −1. De la misma forma, después de igualar a cero el coeciente de la mayor
potencia de x en
P(x, y) = −x2
+ yx + y − 2
se obtiene el absurdo −1 = 0, de modo que la curva C no posee asíntota horizontal.
13

altas de x en
P(x, mx + b) = (mx + b)x − x2
+ (mx + b) − 2 ,
= (m − 1)x2
+ (m + b)x + b − 2 ,
⎪⎨
⎪⎩
m − 1 = 0 ,
m + b = 0 .
cuya solución permite obtener la ecuación de la asíntota oblicua de la forma
y = mx + b, esto es,
y = x − 1 .
x −6 −4 −2 −3
2 −1
2 2 5
y −27
4 −6 −6 −17
2
9
2 2 9
2
1.3.
Fig. 1.3
14

2.4 Ejercicio. Construir la curva C : xy + 2x2
y − y − 1 = 0.
P(x, y) = xy + 2x2
y − y − 1 .
La ecuación P(x, 0) = 0 conduce al absurdo −1 = 0, lo que indica que la curva C
no se intersecta con el eje Ox. Por otra parte, P(0, y) = 0 produce −y − 1 = 0,
cuya solución es y = −1. Lo anterior indica que la curva C únicamente se intersecta
con el eje Oy en el punto (0, −1).
en términos de x,
y =
1
2 x2 + x − 1
. (1.5)
Esto indica que los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ R− −1, 1
2 .
x =
−y ± 9 y2 + 8 y
4 y
.
9y2
+ 8y ≥ 0 ∧ y = 0 .
Luego, los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ −∞, −8
9 ∪ 0, +∞ .
P(x, −y) = 0 ≡ x (−y) + 2 x2
(−y) − (−y) − 1 = 0 ,
≡ −x y − 2 x2
y + y − 1 = 0 ,
≡ x y + 2 x2
y − y + 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
P(−x, y) = 0 ≡ (−x) y + 2 (−x)2
y − y − 1 = 0 ,
15

P(−x, y) = 0 ≡ −x y + 2 x2
y − y − 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
dado que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−x) (−y) + 2 (−x)2
(−y) − (−y) − 1 = 0 ,
≡ x y − 2 x2
y + y − 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
y en
P(x, y) = (2x2
+ x − 1)y − 1
se obtiene la ecuación 2x2
+ x − 1 = 0, entonces las dos asíntotas verticales de C
son las rectas x = −1 y x = 1
2. De la misma forma, después de igualar a cero el
coeciente de la mayor potencia de x en
P(x, y) = yx2
− y2
x − 1
se obtiene la ecuación y = 0, de modo que la única asíntota horizontal de la curva
C es la recta y = 0. Por otro lado, después de igualar a cero los coecientes de las
dos potencias más altas de x en
P(x, mx + b) = x(mx + b) + 2x2
(mx + b) − (mx + b) − 1 ,
= 2mx3
+ (2b + m)x2
+ (b − m)x − b − 1 ,
⎪⎨
⎪⎩
2m = 0 ,
2b + m = 0 .
16

y = 0†
.
x −2 −5
4 −3
4
1
4
3
4
3
2
y 1
5
8
7 −8
5 −8
5
8
7
1
5
1.4.
Fig. 1.4
2.5 Ejercicio. Construir la curva C : y2
x − y2
− x3
= 0.
P(x, y) = y2
x − y2
− x3
.
= 0, cuya solución es x = 0. Similarmente,
P(0, y) = 0 produce −y2
= 0, cuya solución es y = 0. Lo anterior indica que la
curva C pasa por el origen de coordenadas O(0, 0).
†
Esta es la asíntota horizontal que ya fue detectada; esta situación se dará siempre que m = 0.
17

en términos de x,
y = ±
x3
x − 1
. (1.6)
x3
x − 1
≥ 0 . (1.7)
Luego, los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ −∞, 0] ∪ 1, +∞ .
Por otra parte, (1.7) implica
x3
x − 1
≥ 0 ∨ −
x3
x − 1
≤ 0 ,
o, de acuerdo con (1.6), esto es
y ≥ 0 ∨ y ≤ 0 .
Así que, los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ [0, +∞ ∪ −∞, 0],
es decir, todos los valores y ∈ R.
P(x, −y) = 0 ≡ (−y)2
x − (−y)2
− x3
= 0 ,
≡ y2
x − y2
− x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
de manera que, la curva C es simétrica con respecto al eje Ox. Sin embargo,
P(−x, y) = 0 ≡ y2
(−x) − y2
− (−x)3
= 0 ,
≡ −y2
x − y2
+ x3
= 0 ,
≡ y2
x + y2
− x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión no es simétrica con respecto al eje Oy. Y dado que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−y)2
(−x) − (−y)2
− (−x)3
= 0 ,
18

P(−x, −y) = 0 ≡ y2
x + y2
− x3
= 0 ,
≡ −y2
x − y2
+ x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
y en
P(x, y) = (x − 1)y2
− x3
se obtiene la ecuación x−1 = 0, entonces la asíntota vertical de C es la recta x = 1.
De la misma forma, después de igualar a cero el coeciente de la mayor potencia de
x en
P(x, y) = −x3
+ y2
x − y2
se obtiene el absurdo −1 = 0, es decir, la curva C no posee asíntota horizontal. Y,
después de igualar a cero los coecientes de las dos potencias más altas de x en
P(x, mx + b) = (mx + b)2
x − (mx + b)2
− x3
,
= (m2
− 1)x3
+ m(2b − m)x2
+ b(b − 2m)x − b2
,
⎪⎨
⎪⎩
m2
− 1 = 0 ,
m(2b − m) = 0 .
y = x +
1
2
, y = −x −
1
2
.
x −1 −1
2
9
8 2
y ± 1√
2
± 1
2
√
3
±27
8 ±
√
8
19

1.5.
Fig. 1.5
2.6 Ejercicio. Construir la curva C : yx3
− y − 5x2
= 0.
P(x, y) = yx3
− y − 5x2
.
La ecuación P(x, 0) = 0 produce −5x2
= 0, cuya solución es x = 0. Similarmente,
P(0, y) = 0 produce −y = 0, cuya solución es y = 0. Lo anterior indica que la curva
C pasa por el origen de coordenadas O(0, 0).
en términos de x,
y =
5x2
x3 − 1
. (1.8)
Esto indica que los valores admisibles para x serán todos los valores
x ∈ R − {1} . (1.9)
Por otra parte, (1.9) permite hacer las siguientes deducciones
−∞ x 1 ⇒ 0 ≤ x2
+∞
⇒ 0 ≤ 5x2
+∞ (1.10)
20

−∞ x 1 ⇒ −∞ x3
1
⇒ −∞ x3
− 1 0
⇒ 0 1 − x3
+∞
⇒ 0
1
1 − x3
+∞ (1.11)
y multiplicando (1.10) y (1.11) se deduce
0
5x2
1 − x3
+∞
−∞
5x2
x3 − 1
0
−∞ y 0 (1.12)
También, (1.9) permite hacer estas otras deducciones
1 x +∞ ⇒ 1 x2
+∞
⇒ 5 5x2
+∞ (1.13)
1 x +∞ ⇒ 1 x3
+∞
⇒ 0 x3
− 1 +∞
⇒ 0
1
1 − x3
+∞ (1.14)
y, nuevamente, multiplicando (1.13) y (1.14) se deduce
0
5x2
x3 − 1
+∞
0 y +∞ (1.15)
Así que, teniendo en cuenta (1.12), (1.15) y el hecho que la curva C pasa por el
origen de coordenadas, los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ R.
P(x, −y) = 0 ≡ (−y)x3
− (−y) − 5x2
= 0 ,
≡ −yx3
+ y − 5x2
= 0 ,
21

P(x, −y) = 0 ≡ yx3
− y + 5x2
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
de manera que, la curva C no es simétrica con respecto al eje Ox. Similarmente,
P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)3
− y − 5(−x)2
= 0 ,
≡ −yx3
− y − 5x2
= 0 ,
≡ yx3
+ y + 5x2
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión tampoco es simétrica con respecto al eje Oy. Y dado
que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−y)(−x)3
− (−y) − 5(−x)2
= 0 ,
≡ yx3
+ y − 5x2
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
y en
P(x, y) = (x3
− 1)y − 5x2
se obtiene la ecuación x3
− 1 = 0, cuya única solución real es x = 1, entonces la
asíntota vertical de C es la recta x = 1. De la misma forma, después de igualar a
cero el coeciente de la mayor potencia de x en
P(x, y) = yx3
− 5x2
− y
se obtiene la ecuación y = 0, entonces la asíntota horizontal de C es la recta y = 0.
altas de x en
P(x, mx + b) = (mx + b)x3
− (mx + b) − 5x2
,
= mx4
+ bx3
− 5x2
− mx − b ,
22

⎪⎨
⎪⎩
m = 0 ,
b = 0 .
y = 0†
.
x −4 −2 −1
2
1
2
7
4 3
y −16
3 −20
9 −10
9 −10
7
980
279
45
26
1.6.
Fig. 1.6
†
Esta asíntota es la asíntota horizontal que ya fue detectada. Note que este fenómeno se va a dar
siempre que m = 0.
23

2.7 Ejercicio. Construir la curva C : x2
y3
+ y3
− 2x2
+ 1 = 0.
P(x, y) = x2
y3
+ y3
− 2x2
+ 1 .
La ecuación P(x, 0) = 0 produce −2x2
+ 1 = 0, cuyas soluciones son x = − 1√
2
y
x = 1√
2
. Por otra parte, P(0, y) = 0 produce y3
+ 1 = 0, cuya única solución real es
y = −1. Lo anterior indica que la curva C se intersecta con el eje Ox en los puntos
− 1√
2
, 0 y
1√
2
, 0 ; y con el eje Oy en el punto (0, −1).
en términos de x,
y =
3 2x2 − 1
x2 + 1
. (1.16)
Esto indica que los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ R. De modo
similar, se procederá a despejar x en términos de y,
x = ±
y3 + 1
2 − y3
.
y3
+ 1
2 − y3
≥ 0 .
Luego, los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ −1, 3
√
2 .
P(x, −y) = 0 ≡ x2
(−y)3
+ (−y)3
− 2x2
+ 1 = 0 ,
≡ −x2
y3
− y3
− 2x2
+ 1 = 0 ,
≡ x2
y3
+ y3
+ 2x2
− 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
de manera que, la curva C no es simétrica con respecto al eje Ox. No obstante,
P(−x, y) = 0 ≡ (−x)2
y3
+ y3
− 2(−x)2
+ 1 = 0 ,
24

P(−x, y) = 0 ≡ x2
y3
+ y3
− 2x2
+ 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión es simétrica con respecto al eje Oy. Y dado que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−x)2
(−y)3
+ (−y)3
− 2(−x)2
+ 1 = 0 ,
≡ −x2
y3
− y3
− 2x2
+ 1 = 0 ,
≡ x2
y3
+ y3
+ 2x2
− 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
la curva C no es simétrica con respecto al origen.
y en
P(x, y) = (x2
+ 1)y3
− 2x2
+ 1
+ 1 = 0, que no posee soluciones reales, entonces la curva
C no posee asíntota vertical. Sin embargo, después de igualar a cero el coeciente
de la mayor potencia de x en
P(x, y) = (y3
− 2)x2
+ y3
+ 1
se obtiene la ecuación y3
− 2 = 0, de modo que la única asíntota horizontal de la
curva C es la recta y = 3
√
2. Por otro lado, después de igualar a cero los coecientes
de las dos potencias más altas de x en
P(x, mx + b) = x2
(mx + b)3
+ (mx + b)3
− 2x2
+ 1 ,
= m3
x5
+ 3bm2
x4
+ m(m2
+ 3b2
)x3
+
+(3mb2
+ b3
− 2)x2
+ 3b2
mx + b3
+ 1 ,
⎪⎨
⎪⎩
m3
= 0 ,
3bm2
= 0 .
el cual, por admitir innitas soluciones para b, indica que la curva C no posee
asíntotas oblicuas.
25

Fig. 1.7
x −4 −2 −1
2
1
2 2 4
y 3 31
17
3 7
5 − 3 2
5 − 3 2
5
3 7
5
3 31
17
1.7.
2.8 Ejercicio. Construir la curva C : xy2
+ x − y2
+ 2 = 0.
P(x, y) = xy2
+ x − y2
+ 2 .
La ecuación P(x, 0) = 0 produce x + 2 = 0, cuya solución es x = −2. Por otra
parte, P(0, y) = 0 produce −y2
+ 2 = 0, cuyas soluciones son y = −
√
2 y y =
√
2.
Lo anterior indica que la curva C se intersecta con el eje Ox en el punto (−2, 0); y
con el eje Oy en los puntos 0, −
√
2 y 0,
√
2 .
26

en términos de x,
y = ±
x + 2
1 − x
. (1.17)
x + 2
1 − x
≥ 0 . (1.18)
Luego, los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ [−2, 1 . De modo
x =
y2
− 2
y2 + 1
.
Esto indica que los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ R.
P(x, −y) = 0 ≡ x(−y)2
+ x − (−y)2
+ 2 = 0 ,
≡ xy2
+ x − y2
+ 2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
P(−x, y) = 0 ≡ (−x)y2
+ (−x) − y2
+ 2 = 0 ,
≡ −xy2
− x − y2
+ 2 = 0 ,
≡ xy2
+ x + y2
− 2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión no es simétrica con respecto al eje Oy. Y dado que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−x)(−y)2
+ (−x) − (−y)2
+ 2 = 0 ,
≡ −xy2
− x − y2
+ 2 = 0 ,
≡ xy2
+ x + y2
− 2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
la curva C no es simétrica con respecto al origen.
27

y en
P(x, y) = (x − 1)y2
+ x + 2
se obtiene la ecuación x − 1 = 0, cuya solución es x = 1, entonces la curva C tiene
por asíntota vertical a la recta x = 1. Sin embargo, después de igualar a cero el
coeciente de la mayor potencia de x en
P(x, y) = (y2
+ 1)x − y2
+ 2
+1 = 0, que no posee soluciones reales, así que la curva C no
posee asíntotas horizontales. Por otro lado, después de igualar a cero los coecientes
P(x, mx + b) = x(mx + b)2
+ x − (mx + b)2
+ 2 ,
= m2
x3
+ m(2b − m)x2
+ (b2
− 2bm + 1)x − b2
+ 2
⎪⎨
⎪⎩
m2
= 0 ,
m(2b − m) = 0 .
x −3
2 −1
2
1
2
y ± 1√
5
±1 ±
√
5
1.8.
28

Fig. 1.8
2.9 Ejercicio. Construir la curva C : x2
y2
− 4xy + x2
+ y2
= 0.
P(x, y) = x2
y2
− 4xy + x2
+ y2
.
La ecuación P(x, 0) = 0 produce x2
= 0, cuya solución es x = 0. De forma similar,
P(0, y) = 0 produce y2
= 0, cuya solución es y = 0. Lo anterior indica que la curva
C pasa por el origen de coordenadas O(0, 0).
en términos de x,
y =
−2x ±
√
3x2 − x4
x2 + 1
. (1.19)
3x2
− x4
≥ 0 .
29

Luego, los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ −
√
3,
√
3 . De
modo similar, se procederá a despejar x en términos de y,
x =
−2y ± 3y2 − y4
y2 + 1
.
3y2
− y4
≥ 0 .
Luego, los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ −
√
3,
√
3 .
P(x, −y) = 0 ≡ x2
(−y)2
− 4x(−y) + x2
+ (−y)2
= 0 ,
≡ x2
y2
+ 4xy + x2
+ y2
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
de manera que, la curva C no es simétrica con respecto al eje Ox. De forma parecida,
P(−x, y) = 0 ≡ (−x)2
y2
− 4(−x)y + (−x)2
+ y2
= 0 ,
≡ x2
y2
+ 4xy + x2
+ y2
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión no es simétrica con respecto al eje Oy. No obstante,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−x)2
(−y)2
− 4(−x)(−y) + (−x)2
+ (−y)2
= 0 ,
≡ x2
y2
− 4xy + x2
+ y2
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
la curva C es simétrica con respecto al origen.
y en
P(x, y) = (x2
+ 1)y2
− 4xy + x2
+1 = 0, que no posee soluciones reales, entonces la curva C
no posee asíntotas verticales. Similarmente, después de igualar a cero el coeciente
30

de la mayor potencia de x en
P(x, y) = (y2
+ 1)x2
− 4yx + y2
+1 = 0, que no posee soluciones reales, así que la curva C no
posee asíntotas horizontales. Por otro lado, después de igualar a cero los coecientes
P(x, mx + b) = x2
(mx + b)2
− 4x(mx + b) + x2
+ (mx + b)2
,
= m2
x4
+ 2bmx3
+ (m2
− 4m + b2
+ 1)x2
+
+2b(m − 4)x + b2
⎪⎨
⎪⎩
m2
= 0 ,
2bm = 0 .
x −3
2 −1
2
1
2
1
2
y −12±
√
27
13
−4±
√
11
5
−4±
√
11
5
−12±
√
27
13
1.9.
− 8 + x3
= 0.
P(x, y) = y3
− 8 + x3
.
La ecuación P(x, 0) = 0 produce −8 + x3
= 0, cuya única solución real es x = 2.
31

Fig. 1.9
De modo similar, P(0, y) = 0 produce y3
−8 = 0, cuya única solución real es y = 2.
Lo anterior indica que la curva C intersecta al eje Ox en el punto (2, 0) y al eje Oy,
en puto (0, 2).
en términos de x,
y =
3
8 − x3 . (1.20)
Esto indica que los valores admisibles para x serán todos los valores x ∈ R. De modo
x = 3
8 − y3 .
Esto indica que los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ R.
P(x, −y) = 0 ≡ (−y)3
− 8 + x3
= 0 ,
≡ −y3
− 8 + x3
= 0 ,
≡ y3
+ 8 − x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
32

P(−x, y) = 0 ≡ y3
− 8 + (−x)3
= 0 ,
≡ y3
− 8 − x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−y)3
− 8 + (−x)3
= 0 ,
≡ −y3
− 8 − x3
= 0 ,
≡ y3
+ 8 + x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
y en
P(x, y) = y3
− 8 + x3
se obtiene el absurdo 1 = 0, entonces la curva C no posee asíntotas verticales. De la
misma forma, después de igualar a cero el coeciente de la mayor potencia de x en
P(x, y) = x3
− 8 + y3
se obtiene el mismo absurdo 1 = 0, entonces la curva C tampoco posee asíntotas
horizontales. Por otro lado, después de igualar a cero los coecientes de las dos
potencias más altas de x en
P(x, mx + b) = (mx + b)3
− 8 + x3
,
= (m3
+ 1)x3
+ 3bm2
x2
+ 3b2
mx + b3
− 8 ,
⎪⎨
⎪⎩
m3
+ 1 = 0 ,
3bm2
= 0 .
33

y = −x .
x −4 −2 3
2
5
2 4
y 2 3
√
9 3
√
16
3
√
37
2 −
3
√
61
2 −2 3
√
7
1.10.
Fig. 1.10
− 4x + x3
= 0.
P(x, y) = y3
− 4x + x3
.
La ecuación P(x, 0) = 0 produce −4x + x3
= 0, cuya soluciones real son x = −2,
34

x = 0 y x = 2. Similarmente, P(0, y) = 0 produce y3
= 0, cuya solución es y = 0.
Lo anterior indica que la curva C intersecta al eje Ox en los puntos (−2, 0) y (2, 0);
y además pasa por el origen O(0, 0).
en términos de x,
y =
3
4x − x3 . (1.21)
Esto indica que los valores admisibles para x serán todos los valores
x ∈ R . (1.22)
Y desde que (1.22) se puede escribir como
−∞ x +∞ ,
se tiene
−∞ 4x +∞ (1.23)
y
−∞ x3
+∞ (1.24)
Ahora, sumando (1.23) y (1.24) se obtiene
−∞ 4x − x3
+∞
−∞
3
4x − x3 +∞
−∞ y +∞
Esto indica que los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ R
P(x, −y) = 0 ≡ (−y)3
− 4x + x3
= 0 ,
≡ −y3
− 4x + x3
= 0 ,
≡ y3
+ 4x − x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
35

P(−x, y) = 0 ≡ y3
− 4(−x) + (−x)3
= 0 ,
≡ y3
+ 4x − x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
que,
P(−x, −y) = 0 ≡ (−y)3
− 4(−x) + (−x)3
= 0 ,
≡ −y3
+ 4x − x3
= 0 ,
≡ y3
− 4x + x3
= 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
y en
P(x, y) = y3
− 4x + x3
P(x, y) = x3
− 4x + y3
P(x, mx + b) = (mx + b)3
− 4x + x3
,
= (m3
+ 1)x3
+ 3bm2
x2
+ 3b2
mx − 4x + b3
,
⎪⎨
⎪⎩
m3
+ 1 = 0 ,
3bm2
= 0 .
36

Fig. 1.11
y = −x .
x −4 −1 1 4
y 2 3
√
6 − 3
√
3 3
√
3 −2 3
√
6
1.11.
2.12 Ejercicio. Construir la curva C : 4y2
x2
− x3
− 4 = 0.
P(x, y) = 4y2
x2
− x3
− 4 .
− 4 = 0, cuyas soluciones son x = − 3
√
4. En
tanto que, P(0, y) = 0 produce el absurdo −4 = 0. Lo anterior indica que la curva
C únicamente intersecta al eje Ox en los puntos (− 3
√
4, 0).
37

en términos de x,
y = ±
√
x3 + 4
2x
. (1.25)
Esto indica que los valores admisibles para x serán todos los valores que pertenecen
al conjunto solución de la inecuación
x3
+ 4 ≥ 0 . (1.26)
Luego, los valores admisibles para x serán todos los valores
x ∈ −
3
√
4, +∞ . (1.27)
Por otra parte (1.26) implica
0 ≤ x3 + 4 +∞ . (1.28)
Además (1.27) permite hacer las siguientes deducciones
−
3
√
4 ≤ x +∞ ⇒ −2
3
√
4 ≤ 2x +∞
⇒ 0
1
2x
≤ −
1
2 3
√
4
(1.29)
Ahora, multiplicando (1.28) y (1.29) se deduce
0
√
x3 + 4
2x
+∞ ∨ −∞ −
√
x3 + 4
2x
0
0 y +∞ ∨ −∞ y 0 (1.30)
De modo que, teniendo en cuenta (1.30) y el hecho que la curva pasa por el punto
(− 3
√
4, 0), los valores admisibles para y serán todos los valores y ∈ R.
P(x, −y) = 0 ≡ 4(−y)2
x2
− x3
− 4 = 0 ,
≡ 4y2
x2
− x3
− 4 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
38

P(−x, y) = 0 ≡ 4y2
(−x)2
− (−x)3
− 4 = 0 ,
≡ 4y2
x2
+ x3
− 4 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
así que, la curva en cuestión es simétrica con respecto al eje Oy. Y, dado que
P(−x, −y) = 0 ≡ 4(−y)2
(−x)2
− (−x)3
− 4 = 0 ,
≡ 4y2
x2
+ x3
− 4 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
la curva C no presenta simetría con respecto al origen.
y en
P(x, y) = y3
− 4x + x3
P(x, y) = x3
− 4x + y3
P(x, mx + b) = (mx + b)3
− 4x + x3
,
= (m3
+ 1)x3
+ 3bm2
x2
+ (3b2
m − 4)x + b3
,
⎪⎨
⎪⎩
m3
+ 1 = 0 ,
3bm2
= 0 .
y = −x .
39

Fig. 1.12
x −1 −1
2
1
2 2 4
y ±
√
3
2 ± 31
8 ± 33
8 ±
√
3
2 ±
√
17
4
1.12.
1.3 Ejercicios propuestos
A continuación se pide discutir y trazar la gráca de cada una de las ecuaciones
propuestas.
1. x2
y − xy2
+ 5 = 0
2. x2
y − x2
+ 6x = 2
3. y =
x2
x2 − 9
4. y2
=
9x
x2 − 9
40

5. y =
2x
x2 − 5
6. y =
x2
− 2
x + 2
7. y =
x3
x2 − 2x + 8
8. x2
y2
+ 2x3
y − 2x − 1 = 0
9. x4
y2
+ 2x5
y − 2 = 0
10. y2
=
x3
x2 − 9
11. y2
=
100x
x3 − 27
12. y2
=
9x
x + 2
13. x2
+ y2
+ x2
y2
= 9
14. yx2
+ 2xy = 1
15. x2
+ y2
− xy2
= 9
16. x(4 + y2
) = 8
17. x3
= y2
(16 − x)
18. (x2
+ y2
)2
= 9x3
41

CAPÍTULO 2
CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DEFINIDAS POR ECUACIONES
CON MAXIMA
2.1 Introducción
Maxima es un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas
que constituye una seria alternativa gratuita a sus descendientes comerciales Mat-
hematica o Maple. La iniciación o migración a Maxima se facilita en gran manera
graciasalaabundantebibliografíaquecirculalibrementeenlaInternet.Ladescarga
de Maxima puede hacerse desde su página ocial
http://maxima.sourceforge.net/
en la cual también pueden hallarse vínculos para descargar libros (en inglés, chino,
francés, alemán, griego, italiano, koreano, polaco, portugués, eslovaco y español),
vídeos, proyectos relacionados, etc.
En este capítulo se hará uso del módulo ganalitica*
elaborado por Robert
Ipanaqué y del módulo solve_rat_ineq elaborado por Volker Van Nek.
2.2 El módulo ganalitica
El módulo ganalitica es un archivo que contiene las funciones
resolver, ordenar,
tabular, trazar.
La sintaxis, así como una breve descripción, de dichas funciones se explica a conti-
nuación.
*El código del módulo ganalitica esta incluido en el apéndice de este libro.
42

2.2.2.1 La función resolver
Esta función esta basada en la función solve incorporada en Maxima y devuelve
las soluciones reales de una ecuación o de un sistema de ecuaciones. Su sintaxis es
la siguiente
resolver(ecuacion,variable)
resolver([ecuacion1, . . . ecuacionn],[variables])
2.2.2.2 La función ordenar
Esta función se encarga de ordenar los polinomios ingresados en términos de la
variable indicada. Su sintaxis es la siguiente
ordenar(polinomio,variable)
2.2.2.3 La función tabular
Esta función devuelve una tabla que contiene las abcisas y ordenadas de algunos
puntos de la curva a construir. Su sintaxis es la siguiente
tabular(ecuacion,[abcisas])
2.2.2.4 La función trazar
Esta función permite gracar objetos afectados por las funciones identicadoras:
ecuacion, asintotas y puntos. Su sintaxis es la siguiente
trazar(objeto1, . . ., objeton, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax)
Adicionalmente la función trazar permite gracar salidas obtenidas con la fun-
ción tabular.
2.3 El módulo solve_rat_ineq
El módulo solve_rat_ineq es un archivo que contiene una función del mismo
nombre. La sintaxis de dicha función es la siguiente:
solve_rat_ineq(inecuacion)
43

2.4 Inicialización del módulo ganalitica
Para utilizar las funciones descritas en la sección 2 es preciso cargar (inicializar) el
módulo ganalitica de la forma que se indica a continuación
Maxima
De esta forma se carga el módulo ganalitica.
( %i1) load(ganalitica) $
El lector debe tener presente que el archivo ganalitica.lisp debe estar guar-
dado en la dirección
C:Archivos de programaMaxima-5.27.0share
maxima5.27.0share
de lo contrario la sentencia de la entrada ( %i1) no cargará el mencionado módulo.
2.5 Inicialización del módulo solve_rat_ineq
Para utilizar la función descrita en la sección 3 es necesario cargar el respectivo
módulo.
Maxima
De esta forma se carga el módulo solve_rat_ineq.
( %i2) load(solve_rat_ineq) $
2.6 Ejemplos
6.1 Ejemplo. Construir la curva
C : 2xy2
− x3
+ 8 = 0
utilizando Maxima.
Solución. El proceso a seguir es el siguiente:
44

Maxima
Primeramente se almacena la ecuación dada en la variable P.
( %i3) P:2*x*y^2-x^3+8=0 $
Maxima
Luego, con la función resolver se calculan las intersecciones con los ejes x e y, respectivamente.
( %i4) resolver(ev(P,y=0),x);
( %o4) [x = 2]
( %i5) resolver(ev(P,x=0),y);
( %o5) [ ]
Maxima
Seguidamente, con la función solve (propia de Maxima), se despeja y en términos de x, lo que permite
visualizar la expresión subradical que posibilitará el establecimiento de la inecuación cuya solución nos
proporcionará los valores admisibles de la variable x. Después se usa la función solve_rat_ineq para
resolver dicha inecuación.
( %i6) solve(P,y);
( %o6) y = −
√
x2− 8
x√
2
, y =
√
x2− 8
x√
2
( %i7) solve_rat_ineq(x^2-8/x=0);
( %o7) [[x 0], [x = 2]]
Este ejemplo especíco requiere un análisis adicional de parte del lector para
establecer los valores admisibles para la variable y**
, ya que si se despeja x en
términos de y, mediante la función solve, y se procede con ligereza puede incurrirse
en un error, tal y como se verá a continuación.
**Tal análisis puede verse en la solución propuesta para la construcción de esta misma curva en el
ejercicio 2.1.
45

Maxima
Al despejar x en términos de y se aprecia una expresión subradical que aparentemente permitirá
establecer los valores admisibles de la variable y. Más aún, al resolver la inecuación que se plantea
bajo esta consideración se obtiene una intervalo que, como se verá más adelante, no representa el
conjunto de valores admisibles buscado.
( %i8) solve(P,y);
( %o8)
⎡
⎢
⎢
⎣x = −
√
3 i
2 − 1
2
2
3
2
√
54−y6
3
3
2
+ 4
1
3
+
2
√
3 i
2 −1
2 y2
3
2
3
2
√
54−y6
3
3
2
+4
1
3
,
x =
√
3 i
2 − 1
2
2
3
2
√
54−y6
3
3
2
+ 4
1
3
+
2 −
√
3 i
2 −1
2 y2
3
2
3
2
√
54−y6
3
3
2
+4
1
3
,
x =
2
3
2
√
54−y6
3
3
2
+ 4
1
3
+ 2 y2
3
2
3
2
√
54−y6
3
3
2
+4
1
3
⎤
⎥
⎥
⎦
( %i9) solve_rat_ineq(54-y^6=0);
( %o9) [[y = −1.94416, y = 1.94416]]
Maxima
No obstante, las evaluaciones hechas en las entradas ( %i10) e ( %i16) indican que para algún
y ∈ [−1.94416, 1.94416] es posible hallar valores reales para x, en otras palabras los valores admisibles
para y no obedecen a la restricción 54 − y6
≥ 0 que se propuso, erróneamente, en la entrada ( %i9) .
Todo esto corrobora el análisis hecho previamente en la solución del ejercicio 2.1.
( %i10) ev(solve(P,x),y=-5),rectform,ratsimp$ %,numer;
( %o11) [x = −0.16008204608743, x = −6.989667620450047,
x = 7.149749666537473]
46

( %i12) ev(solve(P,x),y=-1),rectform$ %,numer;
( %o13) [x = −1.440237129256727 i − 1.165373043062415,
x = 1.440237129256727 i − 1.165373043062415,
x = 2.33074608612483]
( %i14) ev(solve(P,x),y=1),rectform$ %,numer;
( %o15) [x = −1.440237129256727 i − 1.165373043062415,
x = 1.440237129256727 i − 1.165373043062415,
x = 2.33074608612483]
( %i16) ev(solve(P,x),y=5),rectform,ratsimp$ %,numer;
( %o17) [x = −0.16008204608743, x = −6.989667620450047,
x = 7.149749666537473]
Maxima
Aunque la discusión de las simetrías es relativamente sencilla, el lector tiene la posibilidad de utilizar
Maxima para dicho n.
( %i18) ev(P,y=-y);
( %o18) 2 x y2
− x3
+ 8 = 0
( %i19) -ev(P,x=-x);
( %o19) 2 x y2
− x3
− 8 = 0
( %i20) -ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o20) 2 x y2
− x3
− 8 = 0
47

Maxima
A continuación se determinan las ecuaciones de las asíntotas verticales y se almacenan en la variable
verticales.
( %i21) expr:ordenar(P,y);
( %o21) 2 x y2
− x3
+ 8 = 0
( %i22) gry:hipow(expr,y)$ coeff(expr,y,gry);
( %o23) 2 x = 0
( %i24) verticales:resolver( %,x);
( %o24) [x = 0]
Maxima
Después se determinan las ecuaciones de las asíntotas horizontales y se almacenan en la variable
horizontales (note que en este caso se obtiene una lista vacía).
( %i25) expr:ordenar(P,x);
( %o25) 2 x y2
− x3
+ 8 = 0
( %i26) gry:hipow(expr,x)$ coeff(expr,x,grx);
( %o27) −1 = 0
( %i28) horizontales:resolver( %,y);
( %o28) [ ]
48

Maxima
Posteriormente se determinan las ecuaciones de las asíntotas oblicuas y se almacenan en la variable
oblicuas.
( %i29) expr:ordenar(ev(P,y=m*x+b),x);
( %o29) 2 m2
− 1 x3
+ 4 b m x2
+ 2 b2
x + 8 = 0
( %i30) grx:hipow(expr,x)$
[eq1,eq2]:[coeff(expr,x,grx),coeff(expr,x,grx-1)];
( %o31) 2 m2
− 1 = 0, 4 b m = 0
( %i32) sol:resolver([eq1,eq2],[b,m]);
( %o32) b = 0, m = − 1√
2
, b = 0, m = 1√
2
( %i33) oblicuas:map(lambda([h],ev(y=m*x+b,h)),sol);
( %o33) y = − x√
2
, y = x√
2
Maxima
Después se tabula un número suciente de puntos para obtener una gráca adecuada de la curva.
( %i34) lista:[-2,-1,-1/2,3,4]$
ap:tabular(P,lista);
( %o35)
⎡
⎢
⎣
x −2 −1 −1
2 3 4
y [−2, 2] [− 3√
2
, 3√
2
] [−
√
65
2
3
2
,
√
65
2
3
2
] [−
√
19√
6
,
√
19√
6
] [−
√
7,
√
7]
⎤
⎥
⎦
Como el lector observará en la salida ( %o34) los valores devueltos por la función
tabular, aparecen en forma simbólica. Si el lector estuviera interesado en conocer
los respectivos equivalentes numéricos de tales valores, entonces deberá utilizar la
variable opcional numer, tal como muestra a continuación.
49

Maxima
Utilizando la variable opcional numer es posible obtener valores numéricos.
( %i36) transpose( %),numer;
( %o36)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x y
−2 [−2, 2]
−1 [−2.121320343559642, 2.121320343559642]
−0.5 [−2.850438562747844, 2.850438562747844]
3 [−1.779513042005219, 1.779513042005219]
4 [−2.645751311064591, 2.645751311064591]
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Maxima
Finalmente se traza la gráca de la curva conjuntamente con las respectivas asíntotas, el punto de
intersección con el eje x y los puntos obtenidos en la tabulación.
( %i37) trazar(ecuacion(P),asintotas(verticales,horizontales,
oblicuas),ap,puntos([[2,0]]),x,-3,5,y,-5,5)$
( %t37)
50

C : yx2
− xy2
− 1 = 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i38) P:y*x^2-x*y^2-1=0 $
Maxima
Luego se calculan las intersecciones con los ejes x e y, respectivamente.
( %o39) [ ]
( %o40) [ ]
Maxima
Seguidamente se determinan los valores admisibles de la variable x.
( %i41) solve(P,y);
( %o41) y = −
√
x4−4 x−x2
2 x , y =
√
x4−4 x+x2
2 x
( %i42) solve_rat_ineq(x^4-4*x=0);
( %o42) [[x ≤ 0], [x ≥ 1.5874]]
51

Maxima
Un proceso similar se usa para determinar los valores admisibles de la variable y.
( %i43) solve(P,x);
( %o43) x = −
√
y4+4 y−y2
2 y , x =
√
y4+4 y+y2
2 y
( %i44) solve_rat_ineq(y^4+4*y=0);
( %o44) [[y ≤ 0], [y ≥ 1.5874]]
Maxima
Ahora se determinan las simetrías con los ejes y el origen.
( %i45) -ev(P,y=-y);
( %o45) x y2
+ x2
y + 1 = 0
( %i46) ev(P,x=-x);
( %o46) x y2
+ x2
y − 1 = 0
( %i47) ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o47) x y2
− x2
y − 1 = 0
Maxima
A continuación se determinan las ecuaciones de las asíntotas verticales.
( %o48) −x y2
+ x2
y − 1 = 0
52

( %o50) −x = 0
( %o51) [x = 0]
Maxima
Después se determinan las ecuaciones de las asíntotas horizontales.
( %o52) −x y2
+ x2
y − 1 = 0
( %o54) y = 0
( %o55) [y = 0]
Maxima
Posteriormente se determinan las ecuaciones de las asíntotas oblicuas.
( %o56) m − m2
x3
+ (b − 2 b m) x2
− b2
x − 1 = 0
( %o58) m − m2
= 0, b − 2 b m = 0
( %o59) [[b = 0, m = 0], [b = 0, m = 1]]
53

( %o60) [y = 0, y = x]
Maxima
Después se obtiene la tabulación.
( %i61) lista:[-3,-1,-1/4,4^(1/3),3,4]$
ap:transpose(tabular(P,lista));
( %o62)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x y
−3 [−
√
93+9
6 ,
√
93−9
6 ]
−1 [−
√
5+1
2 ,
√
5−1
2 ]
−1
4 [−
√
257+1
8 ,
√
257−1
8 ]
4
1
3 [4
1
3
2 ]
3 [−
√
69−9
6 ,
√
69+9
6 ]
4 [−
√
15−4
2 ,
√
15+4
2 ]
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Maxima
Finalmente se traza la gráca de la curva, sus asíntotas y los puntos tabulados.
( %i63) trazar(ecuacion(P),
asintotas(verticales,horizontales,oblicuas),
ap,x,-3,5,y,-5,5)$
54

( %t63)
C : yx − x2
+ y − 2 = 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i64) P:y*x-x^2+y-2=0 $
Maxima
( %o65) [ ]
55

( %o66) [y = 2]
Maxima
En este caso, la expresión resultante después de despejar y no amerita el uso de la función solve_rat_ineq
para determinar los valores admisibles de la variable x.
( %i67) solve(P,y);
( %o67) y = x2
+2
x+1
Maxima
Mientras que, el proceso para determinar los valores admisibles de la variable y si requiere de la función
solve_rat_ineq.
( %i68) solve(P,x);
( %o68) x = −
√
y2+4 y−8−y
2 , x =
√
y2+4 y−8+y
2
( %i69) solve_rat_ineq(y^2+4*y-8=0);
( %o69) [[y ≤ −2
√
3 − 2], [y ≥ 2
√
3 − 2]]
Maxima
( %i70) -ev(P,y=-y);
( %o70) x y + y + x2
+ 2 = 0
( %i71) ev(P,x=-x);
( %o71) x y − y + x2
+ 2 = 0
56

( %i72) ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o72) x y − y − x2
− 2 = 0
Maxima
( %o73) x y + y − x2
− 2 = 0
( %o75) x + 1 = 0
( %o76) [x = −1]
Maxima
( %i77) expr:ordenar(P,x);
( %o77) (x + 1) y − x2
− 2 = 0
( %o79) −1 = 0
( %o80) [ ]
57

Maxima
( %o81) (m − 1) x2
+ (m + b) x + b − 2 = 0
( %o83) [m − 1 = 0, m + b = 0]
( %o84) [[b = −1, m = 1]]
( %o85) [y = x − 1]
Maxima
( %i86) lista:[-6,-4,-2,-3/2,-1/2,2,5]$
( %o87)
⎡
⎢
⎣
x −6 −4 −2 −3
2 −1
2 2 5
y [−38
5 ] [−6] [−6] [−17
2 ] [9
2] [2] [9
2]
⎤
⎥
⎦
Maxima
Finalmente se traza la gráca de la curva, sus asíntotas, los puntos tabulados y el punto de intersección
con el eje y.
( %i88) trazar(ecuacion(P),
ap,puntos([[0,2]]),x,-8,5.75,y,-12,8)$
58

( %t88)
C : xy + 2x2
y − y − 1 = 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i89) P:x*y+2*x^2*y-y-1=0 $
Maxima
( %o90) [ ]
59

( %o91) [y = −1]
Maxima
( %i92) solve(P,y);
( %o92) y = 1
2 x2+x−1
Maxima
Mientras que, el proceso para determinar los valores admisibles de la variable y si requiere de la función
solve_rat_ineq.
( %i93) solve(P,x);
( %o93) x = −
√
9 y2+8 y+y
4 y , x =
√
9 y2+8 y−y
4 y
( %i94) solve_rat_ineq(9*y^2+8*y=0);
( %o94) [[y ≤ −8
9], [y ≥ 0]]
Maxima
( %i95) -ev(P,y=-y);
( %o95) 2 x2
y + x y − y + 1 = 0
( %i96) ev(P,x=-x);
( %o96) 2 x2
y − x y − y − 1 = 0
60

( %i97) -ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o97) 2 x2
y − x y − y + 1 = 0
Maxima
( %o98) 2 x2
+ x − 1 y − 1 = 0
( %o100)2 x2
+ x − 1 = 0
( %i101)verticales:resolver( %,x);
( %o101) x = 1
2, x = −1
Maxima
( %i102)expr:ordenar(P,x);
( %o102)2 x2
y + x y − y − 1 = 0
( %i103)gry:hipow(expr,x)$ coeff(expr,x,grx);
( %o104)2 y = 0
( %i105)horizontales:resolver( %,y);
( %o105)[y = 0]
61

Maxima
( %i106)expr:ordenar(ev(P,y=m*x+b),x);
( %o106)2 m x3
+ (m + 2 b) x2
+ (b − m) x − b − 1 = 0
( %i107)grx:hipow(expr,x)$
( %o108)[2 m = 0, m + 2 b = 0]
( %i109)sol:resolver([eq1,eq2],[b,m]);
( %o109)[[b = 0, m = 0]]
( %i110)oblicuas:map(lambda([h],ev(y=m*x+b,h)),sol);
( %o110)[y = 0]
Maxima
( %i111)lista:[-2,-5/4,-3/4,1/4,3/4,3/2]$
( %o112)
⎡
⎢
⎣
x −2 −5
4 −3
4
1
4
3
4
3
2
y [1
5] [8
7] [−8
5] [−8
5] [8
7] [1
5]
⎤
⎥
⎦
62

Maxima
Finalmente se traza la gráca de la curva, sus asíntotas, los puntos tabulados y el punto de intersección
con el eje y.
( %i113)trazar(ecuacion(P),
ap,puntos([[0,-1]]),x,-2.5,2,y,-3,3)$
( %t113)
C : y2
x − y2
− x3
= 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i114)P:y^2*x-y^2-x^3=0 $
63

Maxima
( %i115)resolver(ev(P,y=0),x);
( %o115)[x = 0]
( %i116)resolver(ev(P,x=0),y);
( %o116)[y = 0]
Maxima
( %i117)solve(P,y);
( %o117) y = −x x
x−1, y = x x
x−1
( %i118)solve_rat_ineq(x/(x-1)=0);
( %o118)[[x ≤ 0], [x 1]]
Puesto que la ecuación propuesta es cúbica, en la variable x, se sugiere que los
valores admisibles de la variable y se determinen mediante el análisis que se hizo
en el ejercicio 2.5. Si el lector desea utilizar Maxima, vea como se aborda un caso
similar en la solución del ejemplo 6.1.
Maxima
( %i119)ev(P,y=-y);
( %o119)x y2
− y2
− x3
= 0
64

( %i120)-ev(P,x=-x);
( %o120)x y2
+ y2
− x3
= 0
( %i121)-ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o121)x y2
+ y2
− x3
= 0
Maxima
( %i122)expr:ordenar(P,y);
( %o122)(x − 1) y2
− x3
= 0
( %i123)gry:hipow(expr,y)$ coeff(expr,y,gry);
( %o124)x − 1 = 0
( %o125)[x = 1]
Maxima
( %o126)x y2
− y2
− x3
= 0
( %o128)−1 = 0
65

( %o129)[ ]
Maxima
( %o130) m2
− 1 x3
+ 2 b m − m2
x2
+ b2
− 2 b m x − b2
= 0
( %o132)[m2
− 1 = 0, 2 b m − m2
= 0]
( %o133) b = 1
2, m = 1 , b = −1
2, m = −1
( %o134) y = x + 1
2, y = −x − 1
2
Maxima
( %i135)lista:[-1,-1/2,9/8,2]$
( %o136)
⎡
⎢
⎣
x −1 −1
2
9
8 2
y [− 1√
2
, 1√
2
] [− 1
2
√
3
, 1
2
√
3
] [−27
8 , 27
8 ] [−2
3
2 , 2
3
2 ]
⎤
⎥
⎦
66

Maxima
Finalmente se traza la gráca de la curva, sus asíntotas, el punto intersección con los ejes coordenados
(en este caso, el origen) y los puntos tabulados.
ap,puntos([[0,0]]),
x,-1.5,3,y,-5,5)$
( %t137)
C : yx3
− y − 5x2
= 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i138)P:y*x^3-y-5*x^2=0 $
67

Maxima
( %o139)[x = 0]
( %o140)[y = 0]
Maxima
En este caso, la expresión resultante después de despejar y no amerita el uso de la función
solve_rat_ineq para determinar los valores admisibles de la variable x.
( %i141)solve(P,y);
( %o141) y = 5 x2
x3−1
Puesto que la ecuación propuesta es cúbica, en la variable x, se sugiere que los
valores admisibles de la variable y se determinen mediante el análisis que se hizo
en el ejercicio 2.6. Si el lector desea utilizar Maxima, vea como se aborda un caso
similar en la solución del ejemplo 6.1.
Maxima
( %i142)-ev(P,y=-y);
( %o142)x3
y − y + 5 x2
= 0
68

( %i143)-ev(P,x=-x);
( %o143)x3
y + y + 5 x2
= 0
( %i144)ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o144)x3
y + y − 5 x2
= 0
Maxima
( %o145) x3
− 1 y − 5 x2
= 0
( %o147)x3
− 1 = 0
( %o148)[x = 1]
Maxima
( %o149)x3
y − y − 5 x2
= 0
( %o151)y = 0
69

( %o152)[y = 0]
Maxima
( %o153)m x4
+ b x3
− 5 x2
− m x − b = 0
( %o155)[m = 0, b = 0]
( %o156)[[b = 0, m = 0]]
( %o157)[y = 0]
Maxima
( %i158)lista:[-4,-2,-1/2,1/2,7/4,3]$
( %o159)
⎡
⎢
⎣
x −4 −2 −1
2
1
2
7
4 3
y [−16
13] [−20
9 ] [−10
9 ] [−10
7 ] [980
279] [45
26]
⎤
⎥
⎦
70

Maxima
Finalmente se traza la gráca de la curva, sus asíntotas, el punto de intersección con los ejes coorde-
nados (en este caso, el origen) y los puntos tabulados.
ap,puntos([[0,0]]),
x,-5,5,y,-5,5)$
( %t160)
C : x2
y3
+ y3
− 2x2
+ 1 = 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i161)P:x^2*y^3+y^3-2*x^2+1=0 $
71

Maxima
( %o162) x = − 1√
2
, x = 1√
2
( %o163)[y = −1]
Maxima
( %i164)solve(P,y);
( %o164) y =
(
√
3 i−1)(2 x2
−1)
1
3
2 (x2+1)
1
3
, y = −
(
√
3 i+1)(2 x2
−1)
1
3
2 (x2+1)
1
3
,
y =
(2 x2
−1)
1
3
(x2+1)
1
3
Maxima
Seguidamente se determinan los valores admisibles de la variable y. Note que la salida ( %o166) tiene
una mejor apariencia que la salida ( %o165) , esto gracias al uso de la función factor.
( %i165)solve(P,x);
( %o165) x = − − y3
y3−2 − 1
y3−2, x = − y3
y3−2 − 1
y3−2
( %i166)solve(P,x),factor;
72

( %o166) x = − −y3+1
y3−2, x = −y3+1
y3−2
( %i167)solve_rat_ineq(-(y^3+1)/(y^3-2)=0);
( %o167)[[y ≥ −1, y 1.259921]]
Maxima
( %i168)-ev(P,y=-y);
( %o168)x2
y3
+ y3
+ 2 x2
− 1 = 0
( %i169)ev(P,x=-x);
( %o169)x2
y3
+ y3
− 2 x2
+ 1 = 0
( %i170)-ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o170)x2
y3
+ y3
+ 2 x2
− 1 = 0
Maxima
( %o171) x2
+ 1 y3
− 2 x2
+ 1 = 0
( %o173)x2
+ 1 = 0
73

( %o174)[ ]
Maxima
( %o175)y3
+ x2
y3
− 2 + 1 = 0
( %o177)y3
− 2 = 0
( %o178) y = 2
1
3
Maxima
( %o179)m3
x5
+ 3 b m2
x4
+ m3
+ 3 b2
m x3
+
+ 3 b m2
+ b3
− 2 x2
+ 3 b2
m x + b3
+ 1 = 0
( %o181) m3
= 0, 3 b m2
= 0
( %o182)[ ]
74

( %o183)[ ]
Maxima
( %i184)lista:[-4,-2,-1/2,1/2,7/4,3]$
( %o185)
⎡
⎢
⎣
x −4 −2 −1
2
1
2 2 4
y [31
1
3
17
1
3
] [7
1
3
5
1
3
] [−2
1
3
5
1
3
] [−2
1
3
5
1
3
] [7
1
3
5
1
3
] [31
1
3
17
1
3
]
⎤
⎥
⎦
Maxima
Finalmente se traza la gráca de la curva, sus asíntotas, los puntos tabulados y los puntos de inter-
sección con los ejes coordenados.
( %i186)trazar(ecuacion(P), asintotas(verticales,horizontales,
oblicuas),ap,puntos([[-1/sqrt(2),0],[1/sqrt(2),0],
[0,-1]]),x,-5,5,y,-2,2)$
( %t186)
75

C : xy2
+ x − y2
+ 2 = 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i187)P:x*y^2+x-y^2+2=0 $
Maxima
( %o188)[x = −2]
( %o189) y = −
√
2, y =
√
2
Maxima
( %i190)solve(P,y),factor;
( %o190) y = − −x+2
x−1, y = −x+2
x−1
( %i191)solve_rat_ineq(-(x+2)/(x-1)=0);
76

( %o191)[[x ≥ −2, x 1]]
Maxima
En este caso, la expresión resultante después de despejar x no amerita el uso de la función solve_rat_ineq
para determinar los valores admisibles de la variable y.
( %i192)solve(P,x);
( %o192) x = y2
−2
y2+1
Maxima
( %i193)ev(P,y=-y);
( %o193)x y2
− y2
+ x + 2 = 0
( %i194)-ev(P,x=-x);
( %o194)x y2
+ y2
+ x − 2 = 0
( %i195)-ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o195)x y2
+ y2
+ x − 2 = 0
Maxima
77

( %o196)(x − 1) y2
+ x + 2 = 0
( %o198)x − 1 = 0
( %o199)[x = 1]
Maxima
( %o200)x y2
+ 1 − y2
+ 2 = 0
( %o202)y2
+ 1 = 0
( %o203)[ ]
Maxima
( %o204)m2
x3
+ 2 b m − m2
x2
+ −2 b m + b2
+ 1 x − b2
+ 2 = 0
( %o206) m2
= 0, 2 b m − m2
= 0
78

( %o207)[ ]
( %o208)[ ]
Maxima
( %i209)lista:[-3/2,-1/2,1/2]$
( %o210)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x y
−3
2 [− 1√
5
, 1√
5
]
−1
2 [−1, 1]
1
2 [−
√
5,
√
5]
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Maxima
ap,puntos([[-2,0],[0,-sqrt(2)],[0,sqrt(2)]]),
x,-3,2,y,-4,4)$
79

( %t211)
C : x2
y2
− 4xy + x2
+ y2
= 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i212)P:x^2*y^2-4*x*y+x^2+y^2=0 $
Maxima
( %o213)[x = 0]
80

( %o214)[y = 0]
Maxima
( %o215) y = −x
√
3−x2−2 x
x2+1 , y = x
√
3−x2+2 x
x2+1
( %i216)solve_rat_ineq(3-x^2=0);
( %o216)[[x ≥ −
√
3, x ≤
√
3]]
Maxima
Similarmente se determinan los valores admisibles de la variable y.
( %o217) x = −
y
√
3−y2−2 y
y2+1 , x =
y
√
3−y2+2 y
y2+1
( %i218)solve_rat_ineq(3-y^2=0);
( %o218)[[y ≥ −
√
3, y ≤
√
3]]
81

Maxima
( %i219)ev(P,y=-y);
( %o219)x2
y2
+ y2
+ 4 x y + x2
= 0
( %i220)ev(P,x=-x);
( %o220)x2
y2
+ y2
+ 4 x y + x2
= 0
( %i221)ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o221)x2
y2
+ y2
− 4 x y + x2
= 0
Maxima
( %o222) x2
+ 1 y2
− 4 x y + x2
= 0
( %o224)x2
+ 1 = 0
( %o225)[ ]
82

Maxima
( %o226)x2
y2
+ 1 + y2
− 4 x y = 0
( %o228)y2
+ 1 = 0
( %o229)[ ]
Maxima
( %o230)m2
x4
+ 2 b m x3
+ m2
− 4 m + b2
+ 1 x2
+
+ (2 b m − 4 b) x + b2
= 0
( %o232) m2
= 0, 2 b m = 0
( %o233)[ ]
( %o234)[ ]
83

Maxima
( %i235)lista:[-3/2,-1/2,1/2,3/2]$
( %o236)
⎡
⎢
⎣
x −3
2 −1
2
1
2
3
2
y [−3
3
2 +12
13 , 3
3
2 −12
13 ] [−
√
11+4
5 ,
√
11−4
5 ] [−
√
11−4
5 ,
√
11+4
5 ] [−3
3
2 −12
13 , 3
3
2 +12
13 ]
⎤
⎥
⎦
Maxima
ap,puntos([[0,0]]),
x,-2,2,y,-2,2)$
( %t237)
84

C : y3
− 8 + x3
= 0
utilizando Maxima.
Maxima
( %i238)P:y^3-8+x^3=0 $
Maxima
( %o239)[x = 2]
( %o240)[y = 2]
Maxima
( %o241) y =
(
√
3 i−1)(8−x3
)
1
3
2 , y = −
(
√
3 i+1)(8−x3
)
1
3
2 , y = 8 − x3
1
3
85

Maxima
Algo similar ocurre con la expresión resultante después de despejar x.
( %o242) x =
(
√
3 i−1)(8−y3
)
1
3
2 , x = −
(
√
3 i+1)(8−y3
)
1
3
2 , x = 8 − y3
1
3
Maxima
( %i243)-ev(P,y=-y);
( %o243)y3
− x3
+ 8 = 0
( %i244)ev(P,x=-x);
( %o244)y3
− x3
− 8 = 0
( %i245)-ev(P,[x=-x,y=-y]);
( %o245)y3
+ x3
+ 8 = 0
Maxima
( %o246)y3
+ x3
− 8 = 0
( %o248)1 = 0
86

( %o249)[ ]
Maxima
( %o250)y3
+ x3
− 8 = 0
( %o252)1 = 0
( %o253)[ ]
Maxima
( %o254) m3
+ 1 x3
+ 3 b m2
x2
+ 3 b2
m x + b3
− 8 = 0
( %o256) m3
+ 1 = 0, 3 b m2
= 0
( %o257)[[b = 0, m = −1]]
87

( %o258)[y = −x]
Maxima
( %i259)lista:[-4,-2,3/2,5/2,4]$
( %o260)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x y
−4 [2 9
1
3 ]
−2 [2
4
3 ]
3
2 [37
1
3
2 ]
5
2 [−61
1
3
2 ]
4 [−2 7
1
3 ]
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Maxima
ap,puntos([[2,0],[0,2]]),
x,-5,5,y,-5,5)$
88

CAPÍTULO 3
ECUACIONES DE LUGARES GEOMÉTRICOS
3.1 Lugar geométrico
Si un lugar geométrico y una ecuación son tales que: 1°, cada punto del lugar geo-
métrico tenga coordenadas que satisfagan la ecuación; y 2°, cada punto, cuyas coor-
denadas satisfagan la ecuación, pertenezca al lugar geométrico: se dice entonces que
la ecuación representa el lugar geométrico y que éste a su vez, está representado por
aquélla.
Generalmente el lugar geométrico se dene por una propiedad común que tenga
cada uno de sus puntos. Así, una circunferencia es el lugar geométrico de todos
los puntos equidistantes de un punto jo. Para encontrar la ecuación de un lugar
geométrico, se expresa esta propiedad mediante una ecuación que una las coordena-
das de cada punto del lugar geométrico. La gráca se construye de acuerdo con la
denición o la ecuación.
3.2 Ejercicios desarrollados
2.1 Ejercicio. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que el pro-
ducto de sus distancias a dos puntos dados F1(−c; 0) y F2(c; 0) es una cantidad
constante, igual a a2
. Este lugar geométrico de puntos se llama óvalo de Cassini
(g. 3.1).
Solución. Sea M(x0, y0) un punto arbitrario que satisface las condiciones dadas,
entonces
(x0 + c)2 + y2
0 (x0 − c)2 + y2
0 = a2
90

Fig. 3.1
[(x0 + c)2 + y2
0] [(x0 − c)2 + y2
0] = a2
c4 − 2c2x2
0 + x4
0 + 2c2y2
0 + 2x2
0y2
0 + y4
0 = a2
c4 − 2c2(x2
0 − y2
0) + (x2
0 + y2
0)2 = a2
(x2
0 + y2
0)2
− 2c2
(x2
0 − y2
0) = a4
− c4
Finalmente, generalizando, se obtiene la ecuación del lugar geométrico
(x2
+ y2
)2
− 2c2
(x2
− y2
) = a4
− c4
. (3.1)
La gráca del óvalo de Cassini depende de los valores de a y c. Si éstos son jados
se obtienen diferentes formas (g. 3.2).
2.2 Ejercicio. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que el produc-
to de sus distancias a dos puntos dados F1(−a; 0) y F2(a; 0) es una cantidad cons-
tante, igual a a2
. Este lugar geométrico de puntos se llama lemniscata de Bernoulli
(g. 3.3). (Hallar, primero, la ecuación de la lemniscata directamente y, después,
considerándola como un caso particular del óvalo de Cassini).
Solución. Sea M(x0, y0) un punto arbitrario que satisface las condiciones dadas,
entonces
91

-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
(a)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
(b)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
(c)
Fig. 3.2 Grácas de: (x2
+ y2
)2
− 2c2
(x2
− y2
) = a4
− c4
, cuando (a) a c (b) a = c y (c) a c.
Fig. 3.3
92

Fig. 3.4 Fig. 3.5
(x0 + a)2 + y2
0 (x0 − a)2 + y2
0 = a2
[(x0 + a)2 + y2
0] [(x0 − a)2 + y2
0] = a2
a4 − 2a2x2
0 + x4
0 + 2a2y2
0 + 2x2
0y2
0 + y4
0 = a2
a4 − 2a2(x2
0 − y2
0) + (x2
0 + y2
0)2 = a2
(x2
0 + y2
0)2
= 2a2
(x2
0 − y2
0)
(x2
+ y2
)2
= 2a2
(x2
− y2
) . (3.2)
Para considerar este lugar geométrico como un caso particular del óvalo de Cassini
hacemos la sustitución c = a en la ecuación (3.1) y el resultado obtenido es el mismo
que en la ecuación (3.2).
2.3 Ejercicio. Hallar la ecuación del lugar geométrico de las bases de las perpen-
diculares bajadas desde el origen de coordenadas a las rectas que interceptan en el
ángulo coordenado triángulos de un área constante, igual a S (g. 3.4).
Solución. Para facilitar la solución se elaborará un gráco con trazos auxiliares para
aplicar relaciones trigonométricas y obtener la solución deseada (g. 3.5).
Sea M(x0, y0) un punto arbitrario que satisface las condiciones dadas, entonces
de la gura 3.5 se tiene
93

AM = BM csc α ,
MD = MC sec α ;
esto es,
AM = x0
x2
0 + y2
0
y0
,
MD = y0
x2
0 + y2
0
x0
.
Además por condición del problema
1
2
AD · OM = S
o también
1
2
(AM + MD) · OM = S .
Ahora, sustituyendo AM y MD por las expresiones antes obtenidas se llega a
1
2
x0
x2
0 + y2
0
y0
+ y0
x2
0 + y2
0
x0
x2
0 + y2
0 = S .
Y después de simplicar
(x2
0 + y2
0)2
= 2Sx0y0 .
(x2
+ y2
)2
= 2Sxy .
La gráca de este lugar geométrico se muestra en la gura 3.6.
2.4 Ejercicio. Se da la recta x = 2r y una circunferencia de radio r que pasa
por el origen de coordenadas O y es tangente a la recta; desde el punto O se ha
trazado un rayo que corta a la circunferencia dada en el punto B y a la recta dada
en el punto C; en él se ha marcado un segmento OM = BC (Fig. 3.7). Al girar el
rayo, varía la longitud del segmento OM y el punto M describe una curva llamada
cisoide. Hallar la ecuación de la cisoide.
94

-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Fig. 3.6
Fig. 3.7 Fig. 3.8
95

Solución. Para facilitar la solución se elaborará un gráco con trazos auxiliares para
aplicar relaciones trigonométricas y obtener la solución deseada (Fig. 3.8).
Sea M(x0, y0) un punto arbitrario que satisface las condiciones dadas, entonces
de la gura 3.8 se tiene
CH = OH tan α ,
BC = CH sen α .
Y teniendo en cuenta el triángulo rectángulo MNO
BC = OH
sen2
α
cos α
=
2ry2
0
x0 x2
0 + y2
0
.
Ahora, por condición del problema y realizando las sustituciones respectivas
OM = BC
x2
0 + y2
0 =
2ry2
0
x0 x2
0 + y2
0
(2r − x0)y2
0 = x3
0
(2r − x)y2
= x3
.
2.5 Ejercicio. Se da la recta x = a (a 0) y una circunferencia de diámetro a que
pasa por el origen de coordenadas O y es tangente a la recta dada; desde el punto O
se ha trazado un rayo que corta a la circunferencia en el punto A y a la recta dada
en el punto B. Desde los puntos A y B se han trazado rectas paralelas a los ejes
Oy y Ox, respectivamente (Fig. 3.9). Al girar el rayo, el punto M de intersección
de estas rectas, describe una línea llamada curva de Agnesi. Hallar su ecuación.
Solución. Considérese el punto arbitrario M(x0, y0) que satisface las condiciones
dadas (Fig. 3.10). Entonces
AB = MB sec α = NH sec α
96

Fig. 3.9 Fig. 3.10
y, teniendo en cuenta el triángulo rectángulo BHO,
AB = (a − x0)
a2 + y2
0
a
. (3.3)
El problema no establece una condición, sin embargo existe un teorema de la
geometría elemental con respecto a una recta secante y una recta tangente a una
circunferencia que permite escribir
OB · AB = BH2
,
y que, después de efectuar las sustituciones respectivas se convierte en
a2 + y2
0 (a − x0)
a2 + y2
0
a
= y2
0 .
Ahora, simplicando
x0(a2
+ y2
0) = a3
.
97

Fig. 3.11 Fig. 3.12
x(a2
+ y2
) = a3
2.6 Ejercicio. Desde el punto A(−a; 0), en donde a 0, se ha trazado una recta
AB (Fig. 3.11), en el cual, a ambos lados del punto B, se han trazado unos segmentos
BM y BN de igual longitud b (b = const.). Al girar la recta, los puntos M y N
describen una curva, llamada concoide. Hallar su ecuación.
Solución. Consideremos el punto arbitrario M(x0, y0) que satisface las condiciones
dadas (Fig. 3.12) y el punto referencial N.
De acuerdo al gráco (Fig. 3.12),
AP = a + x0 ,
por lo cual
AM = (x0 + a)2 + y2
0 .
98

Además
AB = a sec α
y, ahora, teniendo en cuenta el triángulo rectángulo MPA obtenemos
AB = a
(a + x0)2 + y2
0
a + x0
.
También, del gráco, (Fig. 3.12) es posible extraer la siguiente identidad
AB ± b = AM
más aún
AB − AM = ∓b
y elevando al cuadrado
(AB − AM)2
= b2
.
Ahora, efectuando las sustituciones respectivas se obtiene
a
(a + x0)2 + y2
0
a + x0
− (a + x0)2 + y2
0
2
= b2
lo que después de simplicar nos da
x2
0y2
0 + (x0 + a)2
(x2
0 − b2
) = 0 .
x2
y2
+ (x + a)2
(x2
− b2
) = 0 .
La gráca de la concoide depende de los valores de a y b. Si éstos son jados se
obtienen diferentes grácas (Figs. 3.13).
2.7 Ejercicio. Desde el punto A(−a; 0), en donde a 0, se ha trazado una recta
AB (Fig. 3.14), en el cual, a ambos lados del punto B, se han trazado unos segmentos
BM y BN, iguales a OB. Al girar la recta, los puntos M y N describen una curva,
llamada estrofoide. Hallar su ecuación.
99

-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
y
x
(a)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
y
x
(b)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
y
x
(c)
Fig. 3.13 Grácas de: x2
y2
+ (x + a)2
(x2
− b2
) = 0, cuando (a) a b, (b) a = b y (c) a b.
100

Fig. 3.14 Fig. 3.15
AP = a + x0 ,
por lo cual
AM = (x0 + a)2 + y2
0 .
Además
AB = a sec α
BM = OB = a tan α
y, ahora, teniendo en cuenta el triángulo rectángulo MPA obtenemos
AB = a
(a + x0)2 + y2
0
a + x0
.
BM = a
y0
a + x0
101

AM ± BM = AM
más aún
AB − AM = ∓BM
(AB − AM)2
= BM2
.
a
(a + x0)2 + y2
0
a + x0
− (a + x0)2 + y2
0
2
= a
y0
a + x0
2
x2
0 (x0 + a)2
+ y2
0 = a2
y2
0
x2
(x + a)2
+ y2
= a2
y2
.
2.8 Ejercicio. Se da una circunferencia de diámetro 2a (a 0) que pasa por el
origen de coordenadas O y es tangente al eje Oy. Desde el punto O se ha trazado
una recta que corta a la circunferencia dada en el punto B (Fig. 3.16); en la recta,
a ambos lados del punto B, se han trazado unos segmentos, iguales a BM y BN
de longitud constante b. Al girar la recta, los puntos M y N describen una curva,
llamada caracol de Pascal. Hallar su ecuación.
OB = 2a cos α
102

Fig. 3.16 Fig. 3.17
y teniendo en cuenta el triángulo rectángulo MPO obtenemos
OB = 2a
x0
x2
0 + y2
0
.
OB ± b = OM
más aún
OB − OM = ∓b
(OB − OM)2
= b2
.
2a
x0
x2
0 + y2
0
− x2
0 + y2
0
2
= b2
(x2
0 + y2
0 − 2ax0)2
= b2
(x2
0 + y2
0) .
103

-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
y
x
(a)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
y
x
(b)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
y
x
(c)
Fig. 3.18 Grácas de: (x2
+ y2
− 2ax)2
= b2
(x2
+ y2
), cuando (a) a b, (b) a = b y (c)
a b.
(x2
+ y2
− 2ax)2
= b2
(x2
+ y2
) .
La gráca del caracol de Pascal depende de los valores de a y b. Si éstos son jados
se obtienen diferentes grácas (Figs. 3.18).
2.9 Ejercicio. Un segmento de longitud 2a se mueve de manera que sus extremos
están situados todo el tiempo en los ejes de coordenadas. Hallar la ecuación de la
trayectoria de la base M de la perpendicular bajada del origen de coordenadas al
segmento (Fig. 3.19). El punto M describe una curva llamada rosa de cuatro hojas.
CM = OM tan α ,
MB = OM cot α .
Y teniendo en cuenta el triángulo rectángulo OHM
CM = x2
0 + y2
0
y0
x0
,
MB = x2
0 + y2
0
x0
y0
.
104

Fig. 3.19 Fig. 3.20
El problema no establece una condición, sin embargo del gráco no es difícil deducir
que
CM + MB = 2a .
Y después de efectuar las sustituciones respectivas se obtiene
x2
0 + y2
0
y0
x0
+ x2
0 + y2
0
x0
y0
= 2a .
Ahora, simplicando
(x2
0 + y2
0)3
= 4a2
x2
0y2
0 .
(x2
+ y2
)3
= 4a2
x2
y2
.
2.10 Ejercicio. Un segmento de longitud a se mueve de manera que sus extremos
están situados todo el tiempo en los ejes de coordenadas (Fig. 3.21). Por los extre-
mos del segmento se han trazado rectas paralelas a los ejes coordenados hasta su
intersección en el punto P. Hallar la ecuación de la trayectoria de la base M de la
perpendicular bajada del punto P al segmento. Esta trayectoria se llama astroide.
105

Fig. 3.21 Fig. 3.22
PQ = ST = x0 tan α ,
MQ = NR = y0 cot α .
En el triángulo rectángulo PMR se cumple la siguiente relación
PQ · QR = MQ2
.
Efectuando las sustituciones respectivas y teniendo en cuenta que
QR = MN = y0 ,
obtenemos
x0 tan α · y0 = y2
0 cot2
α ,
es decir,
tan3
α =
y0
x0
;
o también
tan α =
y
1/3
0
x
1/3
0
. (3.4)
Por otra parte, del triángulo rectángulo SOR obtenemos
senα =
SO
a
=
PR
a
=
PQ + QR
a
106

es decir,
sen α =
x0
y
1/3
0
x
1/3
0
+ y0
a
=
y
1/3
0 (x
2/3
0 + y
2/3
0 )
a
. (3.5)
Y, puesto que de la ecuación 3.4 es posible deducir que
sen α =
y
1/3
0
x
2/3
0 + y
2/3
0
(3.6)
Sólo resta igualar 3.5 y 3.6 para obtener
y
1/3
0 (x
2/3
0 + y
2/3
0 )
a
=
y
1/3
0
x
2/3
0 + y
2/3
0
lo que nos conlleva a
x
2/3
0 + y
2/3
0 = a2/3
.
x2/3
+ y2/3
= a2/3
.
2.11 Ejercicio. Se da una circunferencia de diámetro a (a 0) que pasa por el
origen de coordenadas O y es tangente al eje Oy. Desde el punto O se ha trazado
un rayo que corta a la circunferencia dada en el punto B, desde el cual se ha bajado
una perpendicular BC al eje Ox. Desde el punto C se ha bajado una perpendicular
CM al rayo OB. Deducir la ecuación de la trayectoria del punto M.
OC = OM sec α ,
CH = a − OC ,
BC = OC tan α .
107

Fig. 3.23
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4
y
x
Fig. 3.24
En el triángulo rectángulo OBH se cumple
OC · CH = BC2
.
Así que, realizando las sustituciones respectivas obtenemos
OC · (a − OC) = OC2
tan2
α,
es decir,
a = sec3
α OM ;
que de acuerdo al triángulo rectángulo ONM nos da
(x2
0 + y2
0)2
= ax3
0 .
(x2
+ y2
)2
= ax3
. (3.7)
2.12 Ejercicio. Un segmento arbitrario se mueve de manera que sus extremos
están situados todo el tiempo en los ejes de coordenadas. Por los extremos del
segmento se han trazado rectas paralelas a los ejes coordenados hasta su intersección
en el punto M. Hallar la ecuación de la trayectoria de M cuando el segmento se
mueve de modo que su distancia al origen es siempre igual a a (a 0).
108

Fig. 3.25
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
y
x
Fig. 3.26
dadas (Fig. 3.25). Entonces, en el triángulo rectángulo AOB se tiene
tan α =
y0
x0
.
Por otra parte en el triángulo rectángulo OCA es posible aplicar el Teorema de
Pitágoras para obtener
AC = y2
0 − a2 ,
por lo cual, también, es válido escribir
tan α =
y2
0 − a2
a
.
Teniendo en cuenta los valores obtenidos para tan α se forma la igualdad
y0
x0
=
y2
0 − a2
a
lo que nos conlleva a
1
x2
0
+
1
y2
0
=
1
a2
.
1
x2
+
1
y2
=
1
a2
. (3.8)
109

Fig. 3.27 Fig. 3.28
3.3 Ejercicios propuestos
A continuación se pide encontrar las ecuaciones de los lugares geométricos descritos.
1. Se da la recta x = a (a 0) y una circunferencia de radio a/2 que pasa por el
origen de coordenadas O y es tangente a la recta dada; desde el punto O se ha
trazado un rayo que corta a la circunferencia en el punto A y a la recta dada en
el punto B. Desde los puntos A y B se han trazado rectas paralelas a los ejes
Oy y Ox, respectivamente, que se cortan en C. En el rayo se ha marcado un
segmento OM = BC (Fig. 3.27). Al girar el rayo varía la longitud del segmento
OM y el punto M describe una curva. Hallar la ecuación de esta curva.
2. Se da la recta x = 2a y una circunferencia de radio a que pasa por el origen de
coordenadas O y es tangente a la recta dada; desde el punto O se ha trazado un
rayo que corta a la circunferencia en el punto A y a la recta dada en el punto
B. Desde los puntos A y B se han trazado rectas paralelas a los ejes Oy y Ox,
respectivamente, que se cortan en C. En el rayo se ha marcado un segmento
OM = AC (Fig. 3.28). Al girar el rayo varía la longitud del segmento OM y el
punto M describe una curva. Hallar la ecuación de esta curva.
3. Se da la recta x = r y una circunferencia de radio r/2 que pasa por el origen de
110

Fig. 3.29 Fig. 3.30
rayo que corta a la circunferencia en el punto B y a la recta dada en el punto
C; en él se ha marcado un segmento MB = BC (Fig. 3.29). Al girar el rayo,
varía la longitud del segmento MB y el punto M describe una curva. Hallar la
ecuación de esta curva.
4. Se da una circunferencia de radio a que pasa por el origen de coordenadas O y
es tangente al eje Oy; desde el punto O se ha trazado un rayo que corta a la
circunferencia dada en el punto B; desde B se traza una perpendicular al eje
Oy, que corta a éste en C. En el rayo se ha marcado un segmento OM = BC
(Fig. 3.30). Al girar el rayo, varía la longitud del segmento OM y el punto M
describe una curva. Hallar la ecuación de esta curva.
5. Se da una circunferencia de radio a que pasa por el origen de coordenadas O y
circunferencia dada en el punto B; desde B se traza una perpendicular al eje
Oy, que corta a éste en C. En el rayo se ha marcado un segmento OM = OC
(Fig. 3.31). Al girar el rayo, varía la longitud del segmento OM y el punto M
describe una curva. Hallar la ecuación de esta curva.
111

Fig. 3.31 Fig. 3.32
C. En el rayo se ha marcado un segmento CM = BC (Fig. 3.32). Al girar el
rayo el punto M describe una curva. Hallar la ecuación de esta curva.
C. Desde B se ha trazado una recta paralela al eje Ox, que corta a éste en D.
En el rayo se ha marcado un segmento CM = BD (Fig. 3.33). Al girar el rayo
el punto M describe una curva. Hallar la ecuación de esta curva.
8. Se da una circunferencia de radio r que pasa por el origen de coordenadas O y
circunferencia en el punto B; desde B se traza una perpendicular al eje Oy, que
corta a éste en C. En el rayo se ha marcado un segmento BM = BC (Fig. 3.34).
Al girar el rayo, varía la longitud del segmento BM y el punto M describe una
curva. Hallar la ecuació de esta curva.
9. Se da una circunferencia de radio r que pasa por el origen de coordenadas O,
es tangente al eje Oy y corta al eje Ox en el punto E. Desde el punto O se
112

Fig. 3.33 Fig. 3.34
ha trazado un rayo que corta a la circunferencia dada en el punto B. Desde el
centro de la circunferencia, hasta el rayo, se ha trazado el segmento CD//EB.
En el rayo se ha marcado un segmento BM = CD (Fig. 3.35). Al girar el rayo,
varía la longitud del segmento BM y el punto M describe una curva. Hallar la
ecuación de esta curva.
10. Se da una circunferencia de radio r/2 que pasa por el origen de coordenadas O
y es tangente al eje Oy; desde el punto O se ha trazado un rayo que corta a la
circunferencia en el punto B; desde B se traza una paralela al eje Ox, sobre la
cual se ha marcado el segmento BM = OB (Fig. 3.36). Al girar el rayo, varía la
longitud del segmento BM y el punto M describe una curva. Hallar la ecuación
de esta curva.
11. Se da una circunferencia de radio r que pasa por el origen de coordenadas O,
es tangente al eje Oy y corta al eje Ox en D; desde el punto O se ha trazado
un rayo que corta a la circunferencia en el punto B; desde B se traza una
perpendicular al eje Ox, que corta a éste en C. Sobre el rayo se ha marcado
un segmento BM = BC + CD (g. 12). Al girar el rayo, varía la longitud
del segmento BM y el punto M describe una curva. Hallar la ecuación de esta
curva.
12. Un segmento de longitud a se mueve de manera que sus extremos están situados
113

Fig. 3.35
Fig. 3.36 Fig. 3.37
114

Fig. 3.38 Fig. 3.39
todo el tiempo en los ejes de coordenadas. Desde el origen O de coordenadas se
ha trazado un rayo perpendicular al segmento que lo corta en el punto B; en él
se ha marcado un segmento OC = CB. Desde los puntos B y C se han trazado
rectas paralelas a los ejes Oy y Ox, respectivamente, que se cortan en M (Fig.
3.38). Hallar la ecuación de la trayectoria del punto M.
13. Un segmento de longitud a se mueve de manera que sus extremos están situados
todo el tiempo en los ejes de coordenadas. Desde el origen O de coordenadas se
ha trazado un rayo perpendicular al segmento que lo corta en el punto B; en él
se ha marcado un segmento BC. Desde los puntos B y C se han trazado rectas
paralelas a los ejes Oy y Ox, respectivamente, que se cortan en M cumpliéndose
la igualdad OC = CM (Fig. 3.39). Hallar la ecuación de la trayectoria del punto
M.
115

CAPÍTULO 4
RASTRO DE LUGARES GEOMÉTRICOS CON GEOGEBRA
4.1 Introducción
GeoGebraesunsoftwarematemáticointeractivolibreparalaeducaciónencolegiosy
universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001
en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida.
GeoGebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas.
Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir,
un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra
y cálculo.
En GeoGebra puede hacerse construcciones con puntos y/o líneas; y todo eso
modicable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro
A, al modicar A, también se actualiza B. Pero también pueden denirse cónicas,
así como funciones reales de variable real. Además calcular y gracar derivadas e
integrales de dichas funciones, etc.
El lector puede descargar el Applet Start de GeoGebra desde su página ocial
http://www.geogebra.org/cms/
en la cual también pueden hallarse vínculos para materiales introductorios, foro de
usuarios y materiales de aprendizaje.
En este capítulo se hará uso de Geogebra para visualizar el lugar geométrico de un
punto que se mueve en un plano satisfaciendo una o más condiciones geométricas
dadas, todo esto sin utilizar la ecuación de dicho lugar geométrico. Para ello se
emplearán básicamente dos estrategias:
uso de la opción Activa Rastro o de la función Lugar Geométrico,
uso de la opción Color Dinámico.
116

Fig. 4.1
La primera estrategia se utilizará para aquellos lugares geométricos denidos de
tal manera que admitan una construcción mediante regla y compás; y la otra estra-
tegia, para aquellos que no lo admitan.
4.2 Ejemplos
2.1 Ejemplo. Visualizar el lugar geométrico de los puntos que el producto de sus
distancias a dos puntos dados F1(−c; 0) y F2(c; 0) es una cantidad constante, igual
a a2
, utilizando GeoGebra.
Solución. Este es un lugar geométrico cuya denición no admite una construcción
con regla y compás. El proceso a seguir, en este caso, se describe en las siguientes
chas:
FICHA DE BARRA DE ENTRADA
Acción Detalles
a = 3 Digitar a = 3 en la Barra de Entrada y luego
presionar la tecla
§
¦
¤
¥Enter .
c = 4 Digitar c = 4 en la Barra de Entrada y luego
presionar la tecla
§
¦
¤
¥Enter .
117

Acción Detalles
t = 0 Digitar t = 0 en la Barra de Entrada y luego
presionar la tecla
§
¦
¤
¥Enter .
F1 = (−c, 0) Digitar F_1 = (−c, 0) en la Barra de Entrada
y luego presionar la tecla
§
¦
¤
¥Enter .
F2 = (c, 0) Digitar F_2 = (−c, 0) en la Barra de Entrada
y luego presionar la tecla
§
¦
¤
¥Enter .
A = (−6, 3) Digitar A = (−6, 3) en la Barra de Entrada y
luego presionar la tecla
§
¦
¤
¥Enter . Tenga presente
que este punto únicamente es referencial.
Fig. 4.2
Fig. 4.3
118

FICHA DE PROPIEDADES
Acción Detalles
Mostrar el cuadro de diálo-
godelaopciónPropiedades
del número t
Clic derecho sobre el número t, de la Vista Al-
gebraica, y luego clic sobre la opción Propieda-
des (Fig. 4.2).
Activar la casilla Muestra
Objeto de la pestaña Bási-
co
Clic cobre la casilla de vericación Muestra ob-
jeto (Fig. 4.3). Con esto se consigue visualizar
un deslizador, asociado a t, en la Vista gráca.
Ajustar los valores mín:
0, máx: 12 e incremento:
0.01, de la pestaña Desli-
zador
Cambiar los valores por defecto digitando los
nuevosvalores,enlasrespectivascasillasdeen-
trada (Fig. 4.4).
Cerrar el cuadro de diálogo
de la opción Propiedades
Clic sobre el botón .
Fig. 4.4
Fig. 4.5
119

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