1. SUBTEMA 4.7 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo La masa de un sólido es una medida de la materia que contiene y su volumen es una medida del espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo el cuerpo se dice que éste es homogéneo o que tiene densidad constante . En mecánica se simplifican mucho los cálculos cuando se puede considerar a la masa del cuerpo concentrada en un punto que se denomina centro de masas . En un cuerpo homogéneo este punto coincide con el centro geométrico o centroide . Por ejemplo, el centro de masas de una pelota de goma homogénea coincide con el centro geométrico de la pelota considerada como una esfera. LA MASA DE UN SÓLIDO El centro geométrico de una hoja de papel rectangular estará situado entre las dos superficies en la mitad del espesor pero, en este caso, se puede considerar situado sobre una de las superficies en el punto de intersección de las diagonales. Así, pues, el centro de masas de una hoja delgada coincide con el centro geométrico de la hoja considerada como un área plana.

2. EL MOMENTO (DE PRIMER ORDEN) M L DE UN ÁREA PLANA El momento (de primer orden) M L de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área por la distancia de su centro geométrico a dicha recta. El momento de un área compuesta de otras varias con respecto a una recta es igual a la suma de los momentos de las áreas individuales con respecto a dicha recta. FORMULARIO Momento con respecto a 0 (origen) Masa total M 0 Momento con respecto al eje y M y Momento con respecto al eje x M x Centro de masas C m (x, y )

3. Procedimiento para hallar el momento de masas de un área plana PASO 1: Se dibuja el área y se traza una franja representativa y su rectángulo genérico correspondiente. PASO 2: Se efectúa el producto del área del rectángulo por la distancia de su centro geométrico o centroide al eje, y se escribe la suma correspondiente a todos los rectángulos. PASO 3: Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integral, suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente. NOTA: Para un área plana A cuyo centro geométrico es el punto y cuyos momentos con respecto a los ejes x e y son M x y M y , respectivamente se tiene:

4. CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA ( C m ) FORMULARIO Momento con respecto al eje y M y Momento 0 (Masa total M 0 ) Momento con respecto al eje x M x Centro de masas C m (x, y )

5. EJEMPLO 1: Dada el área plana de la figura, hallar ( a ) su momento con respecto a los ejes coordenados y ( b ) las coordenadas de su centro geométrico. SOLUCIÓN ( a ) El área del rectángulo superior es 5 x 2 = 10 unidades y su centro geométrico es el punto A(2.5,9). Análogamente, las áreas y centros de los otros rectángulos son: 12 unidades, B(1, 5); 2 unidades, C(2.5, 5); 10 unidades, (2.5, 1). Los momentos con respecto al eje x son: 10(9); 12(5); 2(5) y 10(1). Por lo tanto. El momento del área de la figura con respecto al eje x es Análogamente, el momento del área de la figura con respecto al eje y es ( b ) El área de la figura es A = 10+12+2+10 =34 . Por tanto, las coordenadas del centro geométrico es

6. SOLUCIÓN CÁLCULO DEL CENTRO DE MASAS EJEMPLO 2: Encontrar el centro de masa de la región limitada por un arco de la función y el eje x . Tomando el arco definido en el intervalo

7. SOLUCIÓN CÁLCULO DEL CENTRO DE MASAS EJEMPLO 3: Hallar el momento con respecto a los ejes coordenados del área plana del segundo cuadrante limitada por la curva El área del rectángulo genérico de la figura es , su centro geométrico es, y su momento con respecto al eje x vale . Por tanto Análogamente, el momento del rectángulo genérico con respecto al eje y es En consecuencia

8. FÓRMULAS PARA CALCULAR LOS MOMENTOS DE MASA UTILIZANDO EL CÁLCULO VECTORIAL (CURSO DE MATEMÁTICAS III) 1. Momento de masa (M) 2. Momento de masa respecto del eje x M (x) 3. Momento de masa respecto del eje y M (y) FÓRMULAS PARA ENCONTRAR EL CENTRO DE MASA C m (x, y )

9. EJERCICIOS PARA LA CARPETA EJERCICIO 2: Dada el área plana de la figura, hallar ( a ) su momento con respecto a los ejes coordenados y ( b ) las coordenadas de su centro geométrico. EJERCICIO 1: Hallar el centro geométrico del área del primer cuadrante limitada por la parábola