2. 2
Primeros Momentos de Áreas para Cuerpos Planos
Homogéneos.
Es recomendable que repases tus apuntes, o complementes
investigando, recuerda nunca te conformes con lo suministrado por el
facilitador debes ir mas allá, investigando construyes tu conocimiento.
Sea = xdA
A
xc * (y) = ydA
A
yc *
Se tiene que la integral xdA se conoce como el primer momento de
área A con respecto del eje y, se representa por y
Q .
Se tiene que la integral ydA define el primer momento de área A,
con respecto del eje x, se representa por x
Q .
Se tiene entonces lo siguiente:
= xdA
Qy A
x
Q c
y *
=
= ydA
Qx A
y
Q c
x *
=
Se concluye:
A
Q
x y
c =
A
Q
y x
c =
3. 3
Nota de Interés:
Si el Centróide de un área esta localizado sobre un eje coordenado,
entonces el primer momento del área con respecto de ese eje es igual a
cero. Inversamente, si el primer momento de un área con respecto de un
eje coordenado es igual a cero, entonces el Centróide del área esta
localizado sobre ese eje.
Ejercicio Resuelto:
Para el área plana mostrada en la figura, determínese:
a) El Centróide del área plana.
b) Los primeros momentos de área con respecto de los ejes
x (Y) y.
y
4. 4
Solución
Este ejercicio se podría resolver de muchas formas, a
continuación se presenta una manera de resolverlo.
En la figura se tiene un rectángulo y un triangulo (área hueca),
el área total se obtiene rectándole al rectángulo el triangulo (área
hueca). Luego utilizando los ejes coordenados mostrados, se
determinan, el área y las coordenadas del Centróide para cada
una de las áreas componentes, luego se aplican las ecuaciones
necesarias para realizar los cálculos.
a) El Centróide del área plana.
Ecuaciones a usar:
TOTAL
n
n
c
A
x
A
x
A
x
A
x
*
.
..........
*
* 2
2
1
1 +
+
+
=
( ) ( )
2
45
*
27
45
*
45
27 +
=
TOTAL
A 50
.
2632
=
TOTAL
A 2
mm
TOTAL
n
n
c
A
y
A
y
A
y
A
y
*
.
..........
*
* 2
2
1
1 +
+
+
=
5. 5
Para el rectángulo:
( )
2
45
27 +
=
O
cRECTANGUL
x 36
=
O
cRECTANGUL
x mm
( )
2
45
=
O
cRECTANGUL
y 5
.
22
=
O
cRECTANGUL
y mm
( ) 45
*
45
27 +
=
RECTANGULO
A 3240
=
RECTANGULO
A 2
mm
Para el Triangulo:
( )
3
27
=
cTRIANGULO
x 9
=
TRIANGULO
x mm
( )
3
45
=
cTRIANGULO
y 15
=
cTRIANGULO
y mm
( )
2
45
*
27
=
TRIANGULO
A 5
.
607
=
TRIANGULO
A 2
mm
Luego trabajando con la figura total:
50
.
2632
9
*
5
.
607
36
*
3240
=
c
x 23
.
42
=
c
x mm
50
.
2632
15
*
5
.
607
5
.
22
*
3240
=
c
y 23
.
24
=
c
y mm
6. 6
b) Los primeros momentos de área con respecto de los ejes
x (Y) y.
Ecuaciones a usar:
= xdA
Qy A
x
Q c
y *
=
= ydA
Qx A
y
Q c
x *
=
A
x
Q c
y *
= 50
.
2632
*
23
.
42
=
y
Q
48
.
111170
=
y
Q 3
mm
A
y
Q c
x *
= 50
.
2632
*
23
.
24
=
y
Q
48
.
63785
=
x
Q 3
mm
7. 7
Ejercicio Propuesto:
Para cada una de las áreas planas mostradas en las
figuras, determínese:
a) El Centróide del área plana.
b) Los primeros momentos de área con respecto de los ejes
x (Y) y.
Fig. 1
Fig. 2
8. 8
Referencia de Ejercicio Propuesto: Tomado de Ferdinand P. Beer y E.
Russell Johnston Jr (1997). “Mecánica Vectorial para Ingenieros,
Estática”, Sexta Edición.
Referencia Bibliográfica:
Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston Jr (1997). “Mecánica
Vectorial para Ingenieros, Estática”, Sexta Edición.
