El documento resume los teoremas de Pappus-Guldin para calcular el área y volumen de superficies y cuerpos de revolución. Explica que el área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia de su centroide al eje de rotación, mientras que el volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por su distancia al eje. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.

1. Materia: Estática
Paralelo: IC2-007
Tema: - Centroides a partir de integrales
Teorema de Pappus – Guldinus
INTEGRANTES:
ALMEIDA IMBAQUINGO DIEGO ANDRES
VERA MENDOZAALFONSO ALDAIR
NUÑEZ MORENO STALYN FERNANDO
GUAÑUNA PEÑA NICOLE BELEN
RIVERA BRAVO STIVEN DANIEL
ALOMOTO SORIAALEX DARIO
ROMERO CARPIO ANTHONY ROBERTO
CHIMBORAZO CHIMBORAZO LINDA ELIZABETH
PLAZA RODRIGUEZ ERICK ADRIAN
SALGADO CHAMORRO ERICK FABRICIO

3.  El Centroide es una palabra que pertenece a la familia centro. Es la
coordenada de un punto que pertenece a una figura. Al igual que el
centro, el centroide tiene coordenadas de acuerdo a la posición que
ocupe en el espacio.
 Es un punto donde se supone se concentra todo el peso del cuerpo.
 Es la coordenada de un punto que pertenece a una figura. Al igual que el
centro, el centroide tiene coordenadas de acuerdo a la posición que
ocupe en el espacio.
 El centroide de un área limita da por curvas analíticas (esto es, curvas
definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina
evaluando las integra les que aparecen en las ecuaciones

4.  Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de
lados dx y dy, la evaluación de cada una de estas
integrales requiere una integración doble con respecto a
“x” y “y”.
 En la mayoría de los casos es posible determinar las
coordenadas del centroide de un área con una sola
integración. Esto se logra seleccionando a dA como un
rectángulo o tira delgada o como un sector circular
delgado

5. Se selecciona el elemento
diferencial mostrado y se
determina el área total de la
figura con la siguiente ecuación:
.A = 𝑎
𝑏
𝑑𝐴
A = 𝑎
𝑏
𝑦𝑑𝑥
A = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
A = F(b) – F(a)
Casos 1:
Elemento diferencial vertical.
El primer momento del elemento diferencial
con respecto al eje y es 𝑥𝑒𝑙 dA; por tanto, el
primer momento de toda el área con respecto a
dicho eje es:
De la misma forma, el primer momento del
elemento diferencial con respecto al eje x es
𝑦𝑒𝑙 dA y el primer momento de toda el área es:

6. Casos 1:

7. Se selecciona el elemento
diferencial mostrado y se
determina el área total de la
figura con la siguiente ecuación:
.A = 𝑎
𝑏
𝑑𝐴
A = 𝑎
𝑏
𝑦𝑑𝑥
A = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
A = F(b) – F(a)
Casos 2
Elemento diferencial horizontal y
rectangulo delgado.
Se pueden obtener los mismos resultados
considerando un elemento horizontal. Los
primeros momentos del área son:

8. Casos 2:
y
y

9. Las coordenadas del centro
de masa de una placa
delimitada por la superficie
A, se define como:
Tambien se puede
definir como: 𝑥 𝑦 𝑦
=
𝑦 =
𝑦 𝑑𝐴
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥 =
𝑥 𝑑𝐴
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Para determinar 𝑥 y 𝑦 , las expresiones obtenidas se sustituyen
nuevamente en las ecuaciones que definen el centroide del área.

10. Determine el centroide de la región del primer cuadrante limitado por la curva
𝒚𝟐=4x, el eje x y las rectas x=1 y x=4.
Ecuación de la curva
𝑦2
= 4𝑥
𝑦 = 4𝑥
𝑦 = 2𝑥
1
2
Ejemplos:

11. 𝐴 =
1
2
2𝑥
1
2 𝑑𝑥
𝐴 =
2𝑥
1
2
+1
1
2 + 1
1
4
𝐴 =
4
3
𝑥
3
2
1
4
𝐴 =
4
3
4
3
2 − 1
3
2
𝐴 =
4
3
7 =
28
3
𝐴 =
28
3
Ahora se calcula el momento al
respecto del eje “x” como de “y”
Con respecto a “x”
𝑀𝑥 =
1
2
𝑓 𝑥 2
𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
4
1
2
𝑓 𝑥 2
𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2 1
4
2𝑥
1
2
2
𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2 1
4
4𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2
2𝑥2
1
4
=
1
2
2 𝑥2
1
4
= 𝑥2
1
4
𝑀𝑥 = 4 2 − 1 2
𝑀𝑥 = 15

12. 𝑀𝑦 =
1
4
𝑥 2𝑥
1
2 𝑑𝑥
𝑀𝑦 = 𝑥 ∗ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑦 = 𝑥 ∗ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑦 = 2
1
4
𝑥
3
2 𝑑𝑥
𝑀𝑦 = 2
2
5
𝑥
5
2
1
4
= 2 ∗
2
5
𝑥
5
2 1
4
𝑀𝑦 =
4
5
4
5
2 − 1
5
2
𝑀𝑦 =
4
5
31
𝑀𝑦 =
124
5
Por lo tanto
𝑥 =
𝑀𝑦
𝐴
; 𝑦 =
𝑀𝑥
𝐴
𝑥 =
124
5
28
3
; 𝑦 =
15
28
3
𝑥 =
93
35
; 𝑦 =
45
28
El centroide está en el punto
𝐶𝐺 =
93
35
,
45
28

13. Leithold , L. (1994). El Cálculo (Séptima edición ed.). México: Oxford University Press.
Beer-Jhnston-. (2010). Mecanica Vectorial para Ingenieros Estatica. En Beer-Jhnston-, Mecanica Vectorial para Ingenieros
Estatica (pág. 236). Mexico: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES.
Leithold. L. (1994). El Cálculo (Séptima edición ed.). México: Oxford University Press.
Mecánica vectorial para ingenieros Estática 9 edición Pag: 236 a 240

15. Existen dos tipos de métodos de Pappus –
Guldin que proporcionan una herramienta
para el calculo de área y volumen de las
superficies de revolución. También se puede
emplear estos teoremas para determinar la
posición del centroide de una curva o área
plana.

17. Una superficie de revolución se genera mediante la
rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo.

18. Un cuerpo de revolución se genera mediante la
rotación de una área plana alrededor de un eje fijo.

20. El área de una superficie de revolución es igual a la
longitud de la curva generatriz multiplicado por la
distancia recorrida por el centroide de dicha curva al
momento de generar la superficie.

21. Consideremos un elemento dL de la líneas L, que rota
alrededor del eje “x”.
1. El área dA generado por el elemento dL es igual a
2π 𝑦. 𝑑𝐿:
𝑑 𝐴 = 2π 𝑦. 𝑑𝐿
El área generada por L es:
𝐴 = 2π 𝑦. 𝑑𝐿

22. 2. Tenemos que:
𝑦 =
𝑦 𝑑𝐿
𝑑𝐿
𝑦𝐿 = 𝑦 𝑑𝐿
3. Entonces concluimos que la formula es:
𝐴 = 2𝜋𝑦. 𝐿

23. A: área superficial de revolución.
𝜃: angulo de revolución medidio en
radianes 𝜃 = 2π
ṝ: distancia perpendicular al eje de
revolución al centroide de la curva
generatriz.
L: longitud de la cuerva generatriz.
A = 𝜃ṝL A = 2π𝛾𝐿

24. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al
área generatriz multiplicado por la distancia recorrida
por el centroide del área al momento de generar el
cuerpo

25. Sea un área A, en cual rota con respecto al eje x, considere un
elemento dA de dicha área.
1. El volumen dV generado por el elemento dA es igual a:
𝑑 𝐴 = 2π 𝑦. 𝑑𝐴
Donde:
y= la distancia del elemento dA al eje x
V= volumen total generado por A.

26. 𝑉 = 2π 𝑦. 𝑑𝐴
2. Tenemos que:
𝑦 =
𝑦 𝑑𝐴
𝑑𝐴
𝑦𝐴 = 𝑦 𝑑𝐴
3. Entonces concluimos que la formula es:
𝑉 = 2𝜋𝑦. 𝐴
Donde 2𝜋𝑦. 𝐴 es la distancia recorrida por el centroide de A.

27. V: volumen de la revolución.
𝜃: angulo de revolución medido en
radianes 𝜃 = 2π
ṝ: distancia perpendicular desde el eje
de revolución al centroide del área
generatriz
A: área generatriz
V = 𝜃ṝA V = 2π𝛾A

28. A1 A2
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ
𝐴 = 20𝑚𝑚 ∗ 60𝑚𝑚 𝒙 = 𝟏𝟎𝒎𝒎
𝑨 = 𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎𝟐
𝒚 = 𝟑𝟎𝒎𝒎
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ/2 𝑥 =
1
3
∗ 30𝑚𝑚 + 20𝑚
𝐴 = 30𝑚𝑚 ∗ 36𝑚𝑚 /2 𝒙 = 𝟑𝟎𝐦𝐦
𝐀 = 𝟓𝟒𝟎𝐦𝐦𝟐
𝑦 =
1
3
∗ 36𝑚𝑚 + 24𝑚𝑚
𝒚 = 𝟑𝟔𝐦𝐦
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝐴𝑖
𝐴
=
10 ∗ 1200 + 30 ∗ 540 𝑚𝑚³
1740𝑚𝑚²
𝒙 = 𝟏𝟔, 𝟐𝟏𝒎𝒎
𝑦 =
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖𝐴𝑖
𝐴
=
30 ∗ 1200 + 36 ∗ 540 𝑚𝑚³
1740𝑚𝑚²
𝒚 = 𝟑𝟏, 𝟖𝟔𝒎𝒎
5.53 Determine el volumen y el área De la superficie del sólido que se obtiene al rotar el área
de la siguiente figura ,alrededor de:
a) 𝑦 = 60
b) El eje“y”

29. • Volúmenes
• Áreas
a) 𝐲 = 𝟔𝟎
𝑉 = 2𝜋𝑦𝐴
𝑉 = 2𝜋 60 − 31,86 1740 𝑚𝑚³
𝑉 = 307 647,3𝑚𝑚³
b) El eje “y” ; x=0
𝑉 = 2𝜋𝑥𝐴
𝑉 = 2𝜋 16,21 1740 𝑚𝑚³
𝑉 = 17 7219,75𝑚𝑚³
𝐿1 = 20𝑚𝑚
𝑥1 = 10𝑚𝑚
𝑦1 = 0𝑚𝑚
𝐿2 = 24𝑚𝑚
𝑥2 = 20𝑚𝑚
𝑦2 = 12𝑚𝑚
𝐿3 = 30𝑚𝑚
𝑥3 = 35𝑚𝑚
𝑦3 = 24𝑚𝑚
𝐿4 = 302 + 362𝑚𝑚
𝑥4 = 35𝑚𝑚
𝑦4 = 42𝑚𝑚
𝐿5 = 20m
𝑥5 = 10𝑚𝑚
𝑦5 = 60𝑚𝑚
𝐿6 = 60𝑚𝑚
𝑥6 = 0mm
𝑦6 = 30𝑚𝑚

30. a) 𝐲 = 𝟔𝟎
𝐴 = 2𝜋𝑦𝐿 ; 𝐴 = 2𝜋 ∗
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖𝐿𝑖
𝐿
𝐿 ; 𝐴 = 2𝜋 ∗
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖𝐿𝑖
𝐴 = 2𝜋 𝑦1𝐿1 + 𝑦2𝐿2 + 𝑦3𝐿3 + 𝑦𝑖4𝐿4 + 𝑦5𝐿5 + 𝑦6𝐿6 𝑚𝑚²
𝐴 = 2𝜋 60 ∗ 20 + 48 ∗ 24 + 36 ∗ 30 + 18 ∗ 302 + 36² + 0 ∗ 20 + 30 ∗ 60 𝑚𝑚²
𝐴 = 2𝜋 6075,51 𝑚𝑚2
b) El eje “y” ; x=0
𝐴 = 2𝜋𝑥𝐿 ; 𝐴 = 2𝜋 ∗
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝐿𝑖
𝐿
𝐿 ; 𝐴 = 2𝜋 ∗
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝐿𝑖
𝐴 = 2𝜋 𝑥1𝐿1 + 𝑥2𝐿2 + 𝑥3𝐿3 + 𝑥𝑖4𝐿4 + 𝑥5𝐿5 + 𝑥6𝐿6 𝑚𝑚²
𝐴 = 2𝜋 10 ∗ 20 + 20 ∗ 24 + 35 ∗ 30 + 35 ∗ 302 + 36² + 10 ∗ 20 + 0 ∗ 60 𝑚𝑚²
𝐴 = 2𝜋 6075,51 𝑚𝑚2
𝐴 = 38 173,54𝑚𝑚2

31. Teorema del centroide de Pappus - Wikipedia, la enciclopedia
libre
Teorema de-pappus-y-guldinus (slideshare.net)
Teoremas de Pappus Guldin | PDF (scribd.com)
https://www.academia.edu/27758824/TEOREMAS_DE_PAP
PUS_GULDIN