circunferencia

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UNIDAD 8
AREAS SOMBREADAS
1. En un triángulo equilátero se inscribe una circunferencia de radio R y otra de radio r
tangente a dos de los lados y a la primera circunferencia, hallar el área que se
encuentra adentro del triángulo y fuera de las circunferencias, en función de R.
GRAFICA 99
El triángulo ABC es equilátero por lo tanto
A= B= C =60 , el OPA=90 ya que
es tangente a la circunferencia.
Teniendo presente lo anterior
lo cual nos lleva a determinar que el
triángulo AOP es de 30 de
donde obtenemos 2 r
( ) =
4
√
√
√
√
= –
= (
√
) (
√
)
= .
=
=

2. 2
2. Para cada caso calcular el área sombreada en función de R
GRAFICA 100
Si el triángulo BCD es equilátero
Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triangulo o el teorema
obtenemos que:
√
√
√
ya que si aplicamos el teorema del baricentro
al triangulo que contiene a la circunferencia menor; por lo tanto
√
(
√
)

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3. Calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 101
AB=BC=CD=DA=
Comencemos por hallar en el triangulo rectangulo donde
√ Aplicando el teorema de Pitágoras
√
podemos demostrar facilmente que los triangulos BCG y el triangulo BPC
son semejantes, lo que implica:
√
√
Ahora conociendo y aplicando el teorema de Pitágoras podemos hallar
el segmento ¯PC
√
√
Ahora tenemos que los triangulos
(
√ √
)

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1. Calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 102
El segmento AB=2r ,
Aplicando el teorema de Pitágoras en el
(2r)² = ( ) ( )
√
√
si tenemos
√
( √ )
Con estos datos hallemos el área sombreada
AS = A cuadrado-2A circunferencia- 4 A triangulo DEC
AS = -2 (
√
) -2X²
AS = - -2
( √ )
AS = ( (
√
) )

5. 5
5. calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 103
Si tomamos el triángulo ABC equilátero,
podemos observar que todos los triángulos
interiores son congruentes y equiláteros de
lado por lo tanto el área sombreada
será igual a seis veces el área del triangulo
BDE
Por teorema
h=
√
( )
√
AS = 6 A
AS =
( )(
√
)
AS =
√
AS = 0.29
6. calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 104
Si tomamos los cuadriláteros ABHI , BCED
,ACFG como cuadrados donde el es
equilátero, entonces el área formada por los
tres triángulos isósceles congruentes
equivale al área sombreada, por lo tanto el
FCE será igual a:
Si tomamos el triángulo FCE tendremos
X =
√
A
(√ )( )
A
√
AS = 3 A
AS =
√

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7. en la figura el ángulo XOY es recto el arco AO tiene radio “a” y el arco MN radio “a”, con
centro en “M” y ”O”. Halle el área de la región circular MPA.
GRAFICA 105
Podemos observar fácilmente que el triángulo
OMP es equilátero
H=
√
por lo cual el área del triángulo equivale a:
A
√
si tomamos el área entre los arcos OP y PM
con sus respectivas cuerdas tendremos
A₁=A₂= A sector circular – A
A₁=A₂=
√ ( √ )
AS=
AS= [
√
√
+
AS=
( √ )
AS=
( √ )

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8. calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 106
Si analizamos la gráfica podemos determinar que
el polígono regular en cada uno de sus vértices
forma ángulos de 120 , es decir que cada sector
equivale a un tercio de la circunferencia.
Por lo tanto el área sombreada equivale a la
diferencia entre el área del hexágono y dos
veces la circunferencia de radio R=
√
, por lo
tanto:
AS = A hexágono – 2A circunferencia
AS =
( )(√ ₂)
-2 ( )
AS =
√
AS = ( √ )
AS = 1.02
9. Demostrar que T = N+M, si AB es perpendicular a BC
GRAFICA 107
Tenemos que el área T = A
N + M = ( ) ( ) ( )
N + M = ( ) ( ) ( ) ( )
N + M = ( ) ( ) ( )
N + M =
(( ) ( ) ( ) )⏟
N + M =T

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10. hallar el área sombreada en función de D
GRAFICA 108
Podemos observar fácilmente que el área
sombreada equivale al doble de la diferencia
entre la semicircunferencia de radio
equivalente a la tercera parte del diámetro y
la semicircunferencia de radio equivalente a
la sexta parte del diámetro es decir:
AS = 2* ( ) ( ) +
AS = ( )
AS = ( )
AS =
AS = 0.26 D
11. demuestre que P₁ = P₂
GRAFICA 109
Asumimos que ABCD es un paralelogramo por lo
tanto ,
Asumimos que E-O-G, F-O-H son colineales y donde
EG
Por lo tanto EODH y FBGO son paralelogramos.
Con los datos anteriores podemos demostrar
fácilmente que
y
Por lo tanto dichas áreas son iguales
A
A ₂
( ) ( )
₂
0 + 0 + P₁ = P₂
P₁ = P₂

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12. AB = a, AC perpendicular a BC. Demuestre que el área sombreado sobre la hipotenusa es
igual a la suma de las áreas sobre los catetos.
GRAFICA 110
A₁ = ( ) ( )
A₂ = ( ) ( )
A³ = ( ) ( )
A₁ = *( ) ( ) +
A₁ = ( ) ( )
A₁ = A₂ + A³