Volumen de un solido de revolución por casquillos

1. Matemática II
Sesión 7

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Volumen de un Sólido de Revolución:
Casquillos

3. Elaborado por Elsa Guédez
Sólidos de Revolución
Volumen de un Sólido de Revolución:
 Métodos de los Discos
 Métodos de las Arandelas
El Método de los casquillos.

4. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de Casquillos (paralelo al eje de rotación).
Gira alrededor del eje Y:

5. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de Casquillos (paralelo al eje de rotación).
El área de la sección transversal es:
La altura del cilindro es:
El volumen del cilindro es:
Resolviendo se tiene que
el volumen del cilindro es:
Equivale a hacer un corte transversal del cilindro:
Aquí tenemos otra suma de Riemann, esta
vez para la función 2πx f(x). Tomar el límite
cuando n → ∞ nos da:

6. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de Casquillos (paralelo al eje de rotación).
Gira alrededor del eje de coordenadas:
Del eje Y:
Del eje X:

7. Elaborado por Elsa Guédez
El Método de los casquillos.
Gira alrededor de una recta paralela a los ejes:
K está por arriba:
Paralela al eje X: recta y= K (horizontal)
K está por debajo:
K está a la derecha:
Paralela al eje Y: recta x= K (vertical)
K está a la izquierda:

8. Elaborado por Elsa Guédez
Considera la región “R” limitada por: y = 1/x, y = x ˄ x = 2,
con “x” e “y” medidos en metros:
Calcular el volumen del sólido generado al rotar “R” alrededor
de la recta x = 4.
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Ejemplo 1 (método de los casquillos)

9. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
La región a considerar para calcular el volumen era:

10. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Ahora la partición genera al rotar, la figura que se observa:

11. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Por lo cual, el volumen del disco # i es:
Sean: y = x  F(x) = x ˄ y = 1/x  G(x) = 1/x.
Se considerará :
La partición de “n” subintervalos para [1, 2]
Ancho de cada subintervalo: ∆x
Puntos muestra: xi
* (Puntos medios de c/subintervalo – optativo)

12. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Por lo tanto, el volumen “V” es:

13. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Obteniendo que el volumen “V” del objeto es:

14. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar
el T.F.C. y resulta:
Conclusión
El volumen del sólido descrito es aproximadamente: 12 m3 .

15. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 2 (Método de los Casquillos)
Considera la región “R” limitada por: x = 7 – y2 ˄ x = -2
con “x” e “y” medidos en metros.
Calcular el volumen del sólido generado al rotar “R”
alrededor de la recta x = -2.

16. Elaborado por Elsa Guédez
Recordando que la región a trabajar es:
Solución del Ejemplo 2

17. Elaborado por Elsa Guédez
Sea x = 7 – y2  y = ± (7 – x2)1/2 ,
Solución del Ejemplo 2
de allí F(x) = (7 – x)1/2 ˄ G(x) = - (7 – x)1/2
Se considerará:
La partición de “n” subintervalos para [-2, 7]
Ancho de cada subintervalo: ∆x
Puntos muestra: xi
* (Puntos medios de c/subintervalo – optativo)
Por lo cual, el volumen del disco # i es:

18. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Y así, el volumen del sólido está dado por:

19. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Y así, el volumen del objeto es:

20. Elaborado por Elsa Guédez
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible la
aplicación del TFC, para lo cual se considerará el cambio de
variable:
Solución del Ejemplo 2
De allí:
Y en los límites de integración: si x = -2  z = 9
si x = 7  z = 0
  dx
x
V x




7
2
2
7
2


21. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
obteniéndose:
Resolviendo se tiene:

22. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
evaluando:
Conclusión:
El volumen del sólido descrito es aproximadamente 814 m3 .

23. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 3 (Método de los Casquillos)
En un sistema de riego el depósito para almacenar agua
tiene la forma correspondiente al objeto que se genera al
rotar alrededor de la recta x = -1, la región limitada en el
primer cuadrante por:
Calcula el volumen de agua que puede almacenar dicho
depósito.

24. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Considerando las ecuaciones:
Igualando se obtiene: x4 – 10 x2 + 9 = 0
Factorizando (por Ruffini) se obtiene:
x1 = 1, x2 = 3, x3 = -3, x4 = -1,
Sea y = 10 – x2  W(x) = 10 – x2 ,
pero x3 y x4 no se encuentran en el primer cuadrante.

25. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
La región a calcular de acuerdo a la partición es:

26. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Se considerará:
La partición de “n” subintervalos para [1, 3]
Ancho de cada subintervalo: ∆x
Puntos muestra: xi
* (Puntos medios de c/subintervalo – optativo)
Por lo cual, el volumen del disco # i es:

27. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Y así, el volumen del sólido está dado por:

28. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Y así, el volumen del depósito es:

29. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
Dada la continuidad de las funciones a integrar,
es posible la aplicación del TFC, para obtener:
Conclusión
El volumen del depósito es aproximadamente 97m3 .