1. RELACIONES
Sean A y B conjuntos no vacíos.
Una relación R de A en B (R: A B) es un subconjunto de A x B.
Si R A x B y (a, b) R, se dice que a está relacionado con b por
R, y se escribe también a R b.
Formas de representar una relación
1- Por extensión (conjunto de pares ordenados)
2- Mediante diagramas de Venn
3- Mediante gráfico cartesiano
4- Mediante una matriz

2. RELACIONES
Si A a1 , a 2 ,....., a m y B b1 , b2 ,....., bm
son conjuntos finitos que contienen m y n
elementos, respectivamente, y R es una relación de A en B, se
representa R por la matriz m x n denotada ,
M R mij que se
define por:
1, si ai , b j R
mij
0, si ai , b j R
A la matriz se la llama matriz de adyacencia de R, o
simplemente matriz de R. Como veremos, proporcionará una
manera fácil y rápida de verificar si R tiene una propiedad dada.
Recíprocamente, dados los conjuntos A y B con m y n
elementos, respectivamente, una matriz m x n cuyos elementos
son ceros y unos determina una relación.

3. RELACIONES
Dominio, imagen, relación inversa
Sea R A x B una relación de A en B.
El dominio de R, denotado por DR , es el conjunto de elementos de A que están
relacionados con algún elemento de B.
DR a A / a, b R
Imagen de R, designado por IR, es el conjunto de elementos de B que están
relacionados con algún elemento de A.
IR b R / a, b R
Sea R una relación de A en B. La relación inversa, que denotaremos R-1,
R 1 BxA es una relación de B en A definida por:
1
R b.a / a, b R
Resulta claro que R 1,
1
R , DR 1 I R y DR 1 IR

4. RELACIONES
Sea R A2
De Equivalencia De Orden
Reflexiva Amplio Estricto
Simétrica
Transitiva
Reflexiva Arreflexiva
Antisimétrica Asimétrica
Transitiva Transitiva
Orden parcial y total

5. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Definición
R A2 es una relación de equivalencia si y solo si es reflexiva,
simétrica y transitiva.
Se utiliza el símbolo y los elementos de todo par perteneciente a
la relación se llaman equivalentes. La notación a b se lee “a es
equivalente a b”, y significa que el par (a,b) pertenece a la relación.
Definición
Clase de equivalencia del elemento a es el conjunto de todos los
elementos equivalentes a a
Ka = {x A/x a}

6. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Definición
Conjunto cociente de A es el conjunto formado por las clases de
equivalencia.
A/ = {Ku /u I}
donde I es un conjunto de índices que se forma eligiendo un
único elemento en cada clase de equivalencia.
Las clases de equivalencia constituyen una partición en A, en el
sentido siguiente: son no vacías, disjuntas de a pares, y su unión es
A.

7. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia definidas
en un conjunto no vacío
Si es una relación de equivalencia definida en un conjunto ,
entonces existe una subconjunto I A, tal que cualquiera que sea
u I , existe Ku A, de modo que se verifican las siguientes
proposiciones:
1- u I Ku
2- a a’ a y a’ pertenecen al mismo Ku
3- Ku Kv Ku = Kv
4- u v Ku Kv =
5- a A, u I / a Ku

8. Partición y clases de
equivalencia
“Sea {Ku /u I} una partición en A. Entonces queda inducida en A
una relación de equivalencia”
Relación : (a,b) R a y b pertenecen al mismo Ku (dos elementos
de A están relacionados si y solo si pertenecen al mismo subconjunto de la
partición)
1- Reflexividad: Por definición de partición a A u I/
a Ku a y a pertenecen a Ku (a,a) R
2- Simetría: Sean a y b en A, tales que (a,b) R ayb
pertenecen al mismo Ku b y a pertenecen al mismo Ku (b,a) R
3- Transitividad: Sean a, b y c en A, tales que:
(a,b) R (b,c) R a, b y c pertenecen al mismo Ku a y c
pertenecen al mismo Ku (a,c) R.

9. Relaciones de orden (R A2)
AMPLIO ESTRICTO
• Reflexiva • Arreflexiva
• Antisimétrica • Asimétrica
• Transitiva • Transitiva
Orden parcial y total
PARCIAL: x y/(x,y) R (y,x) R TOTAL: x y (x,y) R (y,x) R
Existen pares de elementos incom- Todos los pares de elementos se
parables entre sí pueden
comparar por la relación

10. Relaciones de orden (R A2)
Diagrama de Hasse
Sea A un conjunto ordenado
a) Elementos consecutivos. Los elementos a y b de A son
consecutivos si y sólo si
• a<b
• a<x<b a=x b=x
b) Representación de conjuntos ordenados. Es posible representar
un conjunto ordenado y finito, mediante un diagrama llamado de
Hasse, asignando a cada elemento del conjunto un punto del plano o
bien del espacio, y uniendo cada par de elementos consecutivos por
medio de un vector orientado en el sentido de x a y, si x < y.

11. Relaciones de orden (R A2)
CONJUNTOS BIEN ORDENADOS
Sea < una relación de orden en A
Un conjunto está bien ordenado por una relación de
orden si y solo si está totalmente ordenado, y además
todo subconjunto no vacío tiene primer elemento.