Relaciones de orden y de equivalencias

1. UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO“
SISTEMA INTERACTIVOS DE EDUCACIÓN A DISTANCIA. (SAIA)
CABUDARE.
APELLIDO Y NOMBRE: Dias, Lisbeth.
FECHA:15 /09/2019.
MATERIA: Estructura Discreta
PROFESOR: Domingo Mendez

2. • Una relación R en A, es una relación de equivalencia, si R es reflexiva, simétrica y
transitiva (RST).
• Se define clase de equivalencia del elemento a, como:
[a] = {x  A / x R a}
[a] = {Los vértices desde donde se llega a a, en un solo paso}
• El conjunto de todas las clases de equivalencia de A, es el conjunto A/R, denominado
el conjunto cociente:
A/R = {[a] / a A }
• Ejm.: A={0,1,2,3,4,5,6}
R={(x,y)  A*A / (x-y) es divisible por 3}
R= {(0,0), (0,3), (0,6), (1,1), (1,4), (2,2), (2,5), (3,0), (3,3), (3,6),
(4,1),(4,4), (5,2), (5,5), (6,0), (6,3), (6,6)}

3. • R={(x,y)  A*A / (x-y) es divisible por 3}
El gráfico de R será:
2 5
0
6
3
1 4
 [0]={x  A / (x-0) es divisible por 3}={0,3,6}
 [1]={x  A / (x-1) es divisible por 3}={1,4}
 [2]={x  A / (x-2) es divisible por 3}={2,5}
 [3]={x  A / (x-3) es divisible por 3}={0,3,6}=[0]
 [4]={1,4} = [1]
 [5]={2,5} = [2]
 [6]= [3] = [0]
 A/R = {[0], [1], [2]} = {{0,3,6},{1,4},{2,5}}= CONJUNTO COCIENTE
Observar los 3 grupos que se
forman, en cada uno de ellos, los
elementos están totalmente
relacionados.
Estos grupos se denominan
“bloques de partición”, aquí hay
3 bloques de partición:
{0,3,6},{1,4} y {2,5}

4. • Teorema: Sea R una relación de equivalencia en A, con a, b  A, entonces:
– [a] = [b] ↔ a R b
– [a] ≠ [b] ↔ [a][b] = Ø
• Partición: Una partición de un conjunto no vacío A, es una colección
P= {A1, A2, ..An}, de subconjuntos no vacíos de A, tales que:
– AiAj = Ø , si i ≠ j
– A1A2 …An = A
Los subconjuntos Ai, son llamados bloques de partición.
• Teorema:
Concordancia entre Relaciones de equivalencia y Particiones
– Dada una relación de equivalencia R en A, entonces,
el conjunto cociente A/R es una partición de A.
– Dada una partición P de A, entonces se puede formar
una relación de equivalencia R, definida por:
x R y ↔ Ai P, tal que: xAi  yAi

5. • Una relación R en A, es de orden parcial, si R es reflexiva,
antisimétrica y transitiva (RAT).
• Se dice entonces que, el conjunto A es un conjunto
parcialmente ordenado, y se denota por:
(A,R) ó (A, ≤) ó A (Observar que ≤ es lo mismo que R)
• R-1 también es un orden parcial llamado el dual del orden
parcial R
• Si a y b son elementos de (A, ≤), se dice que:
– a < b si (a ≤ b y a ≠ b)
– a y b son comparables si: a ≤ b ó b ≤ a
• Si cada par de elementos de A son comparables, entonces, A
es un conjunto totalmente ordenado.

6. • Ejm.: A es el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto S ≠ Ø , la relación R de
inclusión de conjuntos,  es una relación de orden parcial:
Obsérvese que la relación R
es reflexiva, antisimétrica y
transitiva
 En el gráfico, R es lo mismo que ≤ , y lo mismo que 
 Se dice que {1} < {1,2}, ya que {1} ≤ {1,2} y {1} ≠ {1,2}
 {1}y{2} no son comparables, pues ni {1} ≤{2} ni {1}≤{2}, luego, A no es un conjunto totalmente
ordenado (orden total).
Ejm: S= {1,2} A={Ø, {1}, {2}, {1,2}}
Ø
{1}
{2}
{1,2}

7. • Ejm.: Sea A= Z+ , y sea R la relación ≤ :
a ≤ b ↔ (b-a) es un número natural
 Obsérvese que cualquier par de números a y b, cumplen, o bien a ≤ b o bien b ≤
a
 Luego cada par de números a y b son comparables, por lo tanto, esta relación es
un orden total, o A es un conjunto totalmente ordenado.
• La relación de divisibilidad R, definida por:
a R b ↔ a | b ↔ a es divisor de b
 R si es una relación de orden (reflexiva antisimetrica y transitiva). Es una relación
de orden parcial.
 R no es un orden total, ya que no todas las parejas de números son comparables,
por ejemplo, 3 y 4 no son comparables, ya que no cumplen ni 3 | 4 , ni 4 | 3
 El dual de R (es divisor de), R-1 (es múltiplo de) también es un orden parcial