1. Curso: Cálculo Aplicado Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Sucesiones y series 2.2.2.- Serie p

1 a
n p

1 r
1.1.- Límite de una sucesión n 1
Una sucesión an  tiene límite L si para cualquier Converge si p>1; diverge si p≤1
  0 existe un número N>0 tal que si n es un número 2.2.3.- Series Alternadas
entero y si n>N entonces an  L  
Una serie alternada:
Lím an  L  
Se escribe:
n  (1)
n 1
n
an ó  (1)
n 1
n
an
1.2.- Definición de sucesiones creciente y Es convergente si:
decreciente
 an  0 y an 1  an n
Una sucesión an  es:
 lím a n 0
n 
(i) Creciente si an  an1 para todo n
(ii) Decreciente si an  an1 para todo n 2.3.- Criterios de convergencia
*Una sucesión es monótona si es creciente o 2.3.1.- Criterio de comparación
decreciente 
2.- Series
Sea la serie a
n 1
n una serie de términos postivos.

2.1.- Definición de la suma de una serie (1) Si otra serie de términos positivos b n es
infinita n 1

Si an  es una sucesión y: convergente con an  bn entonces a n converge
n 1
Sn  a1  a2  a3  ........  an 
(2) Si otra serie de términos positivos c n es
Entonces S n  es una sucesión de sumas parciales
n 1

denominada serie infinita y se denota por:

divergente con an  cn entonces a
n 1
n diverge
a n  a1  a2  a3  ........  an
n1 2.3.2.- Criterio de comparación por paso al
límite
Donde los números a1; a2 ; a3 ............an son los
 
términos de la serie infinita
Si Lim S n  S entonces la serie la serie es convergente
Sean  a y b
n 1
n
n 1
n dos series de términos positivos
n
y S es la suma de la serie. Si el límite anterior no existe,
entonces la serie es divergente, y la serie no tiene suma. an
 (1) Si Lím  c  0 , entonces las dos series
n 
Teorema 1: Si la serie infinita a
n 1
n es convergente, bn
son convergentes o ambas son divergentes.
entonces: an 
(2) Si Lím c , y si b converge, entonces
n 
Lím an  0
n
bn n 1
n 
Si el límite anterior es distinto de cero no puede
inferirse lo contrario.
a
n 1
n converge.
an 
2.2.- Algunas series
(3) Si Lím  , y si a diverge, entonces
n  bn n
n 1
2.2.1- Serie geométrica


a b diverge
 ar n 1 
n
si r  1 n 1
n 1 1 r

2. Curso: Cálculo Aplicado Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
El criterio de comparación en el límite es eficaz para
an1 a
comparar una serie algebraica con una serie p (2) Si Lím  L  1 o si Lím n1   , la serie
n an n a
adecuada. Debe elegirse como p-serie una que tenga el n
término general de la misma magnitud que el término es divergente.
general de la serie dada.
an1
(3) Si Lím  1 , no se puede concluir nada acerca
Serie dada Serie para Conclusión n an
comparar
de la convergencia.

1 
1 Ambas series
 3n2  4n  5
n1
 n2
n 1
convergen *Éste criterio resulta útil para el cálculo del radio de
convergencia de una serie.

1 
1 Ambas series
 3n  2
n 1
 n
n 1
divergen
2.4.3.- Criterio de la raíz

n 2  10 
n2  1 Ambas series
 4n 5  n 3  n 5  n 3 convergen 
n 1 n 1 n 1 Sea a
n 1
n una serie infinita para la cual cada an es
2.3.3.- Criterio de la integral diferente de cero:
Sea f una función continua, decreciente, y de valores (1) Si Lím n un  L  1 ,entonces la serie es
n
positivos para toda x≥1. Entonces la serie infinita absolutamente convergente.
 (2) Si Lím n un  L  1 o si Lím n un   , la serie
 f (n)  f (1)  f (2)  f (3)  .......  f (n)
n 1
n
es divergente.
n
 (3) Si Lím n un  1 , no se puede concluir nada
n 
-Es convergente si la integral  f ( x)dx existe
1
acerca de la convergencia.
b
Ejercicios Ayudantía
-Es divergente si lím  f ( x)dx  
b  1 (1) Determine el término general an , las sumas
2.4.-Definición de convergencia absoluta parciales sn y la suma s de la serie
 1 1 1
   .......  ..
La serie infinita  an es absolutamente convergente
n 1
2  4 2  6 28
 1
 n

si la serie a n es convergente (2) Calcule el valor de   
n 1  
n 1
*Una serie que es convergente, pero no absolutamente (3) Determine el intervalo y radio de convergencia
convergente, se denomina condicionalmente 
(1) n ( x  8) n
convergente. de  n  8n
n 1
2.4.1.- Teoreman

Si la serie a
n 1
n es convergente, entonces la serie

a
n 1
n es convergente.
2.4.2.- Criterio de la razón

Sea a
n 1
n una serie infinita para la cual cada an es
diferente de cero:
Bibliografía empleada y recomendada:
a - El cálculo Leithold
(1) Si Lím n1  L  1 ,entonces la serie es
n a
n - Calculo Vol.1 Larson Hostetler
absolutamente convergente.