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1. ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Carácter de las
Raíces

2. :
CLASIFICACIÓN ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
Completa: Tiene la Incompleta pura: Es de la Incompleta mixta: Es
forma canónica: forma: de la forma:
donde los valores de a y
donde los tres de c son distintos de cero. donde los valores
coeficientes a, b y c son Se resuelve despejando x de a y de b son
distintos de cero. con operaciones inversas y distintos de cero. Se
Esta ecuación admite su solución son dos raíces resuelve por
tres posibilidades para reales que difieren en el
las soluciones: dos factorización de x y
signo si los valores
números reales y siempre tiene la
diferentes, dos números de a yc tienen signo
solución trivial x1 =
reales e iguales (un contrario o bien dos
números imaginarios puros 0. No tiene solución
número real doble), o
dos números complejos que difieren en el signo si en números
conjugados, los valores de a y c tienen complejos.
dependiendo del valor el mismo signo.
que tome
el discriminante

3. DEFINICIONES
Si b y c son distintos
de cero, la ecuación
La ecuación: se llama completa o
afectada; incompleta, e
n caso contrario.
donde a, b y c son Así, las ecuaciones: y
números reales son cuadráticas
y a ¹ 0, se completas, mientras que
llama ecuación las ecuaciones: y son
cuadrática o ecuac cuadráticas
ión de segundo incompletas.
grado en la
variable x .

4. DEFINICIONES
En la ecuación cuadrátic
a: , la
cantidad: es llamada di
scriminante de la
ecuación y su signo
determina la naturaleza de
las raíces, como lo afirma
el siguiente teorema.

5. Teorema
Considere la ecuación cuadrática:
; a 0.
Si , entonces, las raíces son reales
y diferentes.
Si , entonces, las raíces son reales
e iguales.
Si , entonces, las raíces
son complejas conjugadas.

6. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Método 1. Solución por factorización
Ejemplo.
Si , ,
entonces, la ecuación
es equivalente a:
Método 2. Solución por completación de
cuadrados.
Se supone que la ecuación:
,con a 0 ,es equivalente a la ecuación
cuadrática:

7. Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se
obtiene:
.
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de
la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una
para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que
es equivalente a la ecuación :

8. Método 3 solución por la formula
general
Usando el método de completación de cuadrados,
. demuestre que la solución de la ecuación
cuadrática : , con a 0 viene dada por :
(1).
Solución :
La ecuación con a
:
0 viene dada por :
Sumando ,en ambos miembros de la igualdad
anterior, se obtiene:

9. .
O equaivlentemente,zx
:
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos
miembros de la última igualdad(si b2-
4ac >= 0), se obtiene:

10. :
De donde :
.
:

11. :
.
: