algebra lineal

1. 1
UNIDAD 1. NÚMEROS REALES Y FUNCIONES
1.1 Conjuntos
A. CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS
Por conjunto entendemos una colección de objetos que poseen al menos una característica común. Los
objetos individuales se llaman elementos del conjunto. Si el conjunto tiene un número finito de elementos se dice
que es un conjunto finito, en caso contrario se trata de un conjunto infinito. Por ejemplo:
 El conjunto de números enteros del 1 al 10 es un conjunto finito; tiene diez elementos.
 El conjunto de todos los números enteros positivos es un conjunto infinito; tiene un número infinito de
elementos.
Comúnmente, los conjuntos se designan con letras mayúsculas: , , , , , ,A B C X Y Z ; y los
elementos con minúsculas: , , , , , ,a b c x y z . Utilizamos la notación
x A
para indicar que “ x es elemento del conjunto A ” o que “ x pertenece al conjunto A ”. Si x no pertenece al
conjunto A escribimos x A .
Un conjunto se puede mostrar escribiendo sus elementos entre llaves y separados por comas
(descripción por extensión) o mediante un elemento genérico seguido de la propiedad definitoria que poseen
todos los elementos del conjunto (descripción por compresión). Por ejemplo:
 El conjunto de los enteros positivos del 1 al 10:  1,2,3, ,10 .A 
 El conjunto de los enteros positivos menores que 200:
   1,2,3, ,198,199 .B x x esunentero positivo menor que 200
 El conjunto de todos los enteros impares positivos:    1,3,5, .C x x esunentero impar positivo
Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B , y se denota como
A B
si todo elemento de A también es elemento de B .
La siguiente figura, en la que B es todo el interior del círculo grande, ilustra la relación A B :
A
B

2. 2
De la definición anterior se desprenden las siguientes conclusiones:
 Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo ( A A ).
 Si A B y B C , entonces A C .
 Si A B y B A , entonces A B .
Ahora introducimos las operaciones con conjuntos que nos van a permitir obtener nuevos conjuntos,
partiendo de conjuntos ya conocidos. A y B serán dos conjuntos cualesquiera que son subconjuntos de un
conjunto universal arbitrario que denotaremos como U .
 La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos elementos que pertenecen a A o a B .
Se denota como A B .
 A B x x A x B   o .
La partícula “o” se llama disyunción y se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”
 La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a
A y a B . Se denota como A B .
 A B x x A x B   y .
La partícula “y” se llama conjunción y se utiliza para resaltar que los elementos del nuevo conjunto
pertenecen tanto a A como a B .
 La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a
A y no pertenecen a B . Se denota como A B .
 A B x x A x B  y .
En la siguiente figura se muestran los conjuntos que resultan de las anteriores operaciones:
A B
A B
A B
A B
A B
A B
B A
A B

3. 3
Las propiedades básicas de las operaciones entre conjuntos son:
       
     
A A A A A A
A B B A A B B A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C
   
     
         
     
Leyesidempotentes : y
Leyes conmutativas : y
Leyesasociativas : y
Leyes distributivas : y      A B C A B A C     
Para que la intersección de dos conjuntos siempre sea un conjunto, definimos el llamado conjunto vació
o conjunto nulo. Este es un conjunto sin ningún elemento y se denotará por .
Si A es cualquier subconjunto de un conjunto universal U , entonces se verifica:
1.
2.
3.
4.
A A
A U U
A
A U A
 
 
  
 
.
El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal U que no pertenecen a A . Se denota como c
A .
 c
A x x U x A  y .
Obsérvese que el complemento de A es igual a la diferencia entre U y A , es decir, c
A U A .
Dado un subconjunto cualquiera A de un conjunto universal arbitrario U , se verifican las siguientes
leyes del complemento:
 1.
2.
3.
4.
5.
cc
c
c
c
c
A A
A A U
U
A A
U

 
 
  
 
Dados dos subconjuntos A y B de un conjunto universal U , se verifican las leyes de De Morgan:
 
 
1.
2.
c c c
c c c
A B A B
A B A B
  
  

4. 4
Para los conjuntos de números se utilizan símbolos especiales:
 para los números naturales:  1,2,3,4, .
 para los números enteros:  , 3, 2, 1,0,1,2,3, .   
 
para los números enteros positivos:  1,2,3, .

 para los números racionales: , 0 .
p
p q q
q
 
   
 
y
 para los números irracionales.
 para los números reales.
 para los números complejos (o imaginarios):  ,z a bi a b    ; donde a es la parte real y b
la parte imaginaria del número complejo z , mientras que i es la unidad imaginaria, 2
1i   .
Las relaciones entre estos conjunto de números están dadas por:
 ,  ,  ,  y  .
Además,
    y
Ejercicio. Sean los conjuntos:
     13 ; 20A x x B x x x C x x  
       espar y y espar .
Hallar los conjuntos:
, , , , , , , , .c c
A B A B A B B A A B B C A C A C B C    y

5. 5
B. LA RECTA NUMÉRICA
Los números reales pueden representarse como puntos sobre una recta. Discutiremos esta
correspondencia entre números y puntos sobre una recta antes de dar una definición formal de los números
reales.
Comenzamos dibujando una recta horizontal sobre la cual marcamos dos puntos arbitrarios y los
asociamos con los números 0 y 1 (asociamos el 1 con el punto que está “más a la derecha”). Si la distancia
entre 0 y 1 se toma como unidad de longitud, entonces el 2 lo asociamos con el punto que está dos unidades
desde 0 hacia la derecha, el 1 lo asociamos con el punto que está una unidad desde 0 hacia la izquierda, y
así sucesivamente con cualquier otro número entero. Luego, con la unidad de longitud dividida en n partes
iguales, tomando una de tales partes iguales como “nueva unidad de longitud” y el número racional m n lo
asociamos con el punto que está a una distancia igual a m veces la nueva unidad de longitud desde 0 , hacia la
derecha si m n es positivo o hacia la izquierda si m n es negativo.
0 112 29
15
 3
2
Números positivosNúmeros negativos
Unidad de
longitud
5
3

Del proceso de asociación de números racionales con puntos de una recta se puede ver que el conjunto
de los racionales tiene un orden natural sobre la recta (es decir, un orden de aparición). Por ejemplo, 19
22
está a
la izquierda de 7
8
debido a que
19 19 8 152
22 22 8 176

 

y
7 7 22 154
8 8 22 176

 

.
Si el número a está a la izquierda del número b sobre la recta, entonces se dice que a es menor que
b (o, equivalentemente, b es mayor que a ) y este hecho lo escribimos como a b (o equivalentemente,
b a ). Escribimos a b (o b a ) si a b o a b .
El símbolo “” (o “”) se llama desigualdad y sirve para establecer una relación de orden entre dos
números reales. Por ejemplo,
19 7
22 8

7 19
,
8 22
 
 
 
o bien .

6. 6
Veamos ahora el siguiente problema: ¿Será siempre posible asignar a todo punto de la recta un
número racional? La respuesta es ¡NO! y se puede demostrar. Un ejemplo es el número que le corresponde al
valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados tienen por longitud la unidad, como se
muestra en la siguiente figura:
0 1
1 1
2
P
El número que debería corresponder al punto P es el número cuyo cuadrado es 2 .
Antes de abordar la demostración, comprobemos que el cuadrado de un número impar también es
impar y que el cuadrado de un número par también es par. Recuérdese que todo número par es múltiplo de 2.
Si k es cualquier número entero, es decir k  , entonces todo número expresado como  2 1k  es impar,
mientras que  2k es par. Ahora, elevando al cuadrado y reacomodando términos,
   
   
2 22 2 2
2 22 2
2 1 4 4 1 4 1 2 2 1 2 1
2 4 2 2 2
k k k k k k k k
k k k k
 
 
                   
 
 
 
    
 
 
¡Esunnúmero
entero!
¡Esunnúmero
entero!
esimpar.
espar.
Demostremos que ningún número racional tiene un cuadrado igual a 2 . El método empleado se conoce
como demostración por contradicción. Supongamos que existe un número racional p q tal que  
2
2p q 
y que los enteros p y q no tienen ningún factor común. La ecuación  
2
2p q  se puede expresar como
2 2
2p q . Ahora, tomando en cuenta que el cuadrado de un número impar es impar, p no puede ser impar. Por
consiguiente p es par y lo podemos expresar como 2p r , para algún entero r . Entonces la ecuación
2 2
2p q se transforma en  
2 2
2 2r q , o bien, 2 2
2q r . Por los mismos argumentos ya explicados, de la
última ecuación se concluye que q también es par. Pero si p y q son pares, entonces tienen como factor
común a 2 , lo cual contradice el supuesto de que p y q no tienen ningún factor común. Por lo tanto, podemos
concluir que ningún número racional tiene un cuadrado igual a 2 .

7. 7
Hemos demostrado la existencia de un punto de la recta con el que no se puede asociar ningún número
racional. Realmente, la situación es mucho peor. Entre cualquier par de puntos sobre la recta hay una
infinidad de puntos con la misma problemática.
Los puntos de la recta con los que es imposible asociar un número racional corresponden a los
llamados números irracionales (el conjunto ). Entonces la unión de los racionales con los irracionales resulta
ser el conjunto de los números reales :   . Y ahora a nuestra recta, con toda justicia, la podemos
llamar recta numérica.
Notemos que todo punto que corresponde a un número irracional se puede localizar aproximadamente
con referencia a puntos correspondientes a números racionales. Por ejemplo, el número 1 2b  tiene la
siguiente representación decimal infinita:
2 3 4 5 6 7 8
1 7 0 7 1 0 6 7 8
0.70710678
10 10 10 10 10 10 10 102
b           
Si dividimos la unidad de longitud en diez partes iguales:
entonces 0.70710678b  está entre 7 10 y 8 10. Si queremos más precisión, dividimos el segmento entre
7 10 y 8 10 en diez partes iguales para obtener los nuevos puntos de la subdivisión:
2 2 2 2
7 7 1 7 2 7 3 7 9 8
, , , , , ,
10 10 10 10 10 1010 10 10 10
   
Ahora 0.70710678b  está entre 7 10 y 2 2
7 10 1 10 71 10 71 100   . De esta manera podemos
localizar el punto que corresponde al número b sobre la recta numérica con cualquier grado de precisión
considerando más y más dígitos de su representación decimal.
C. INTERVALOS
Los intervalos son conjuntos de números reales definidos por la propiedad de que sus elementos
satisfacen una o dos desigualdades (relaciones de orden).
0 1
10
19
10
8
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10

8. 8
El intervalo abierto determinado por dos números a y b , donde a b , es el conjunto de todos los
números x para los que a x b  y se denota como  ,a b . Es decir,
   ,a b x a x b   .
Nótese que, el intervalo  ,a b se puede ver como la intersección de los conjuntos  x x a y  x x b (estos
conjuntos también son intervalos):
         ,a b x x a x x b x a x x b x a x b         y .
El intervalo cerrado determinado por dos números a y b , donde a b , es el conjunto de todos los
números x para los que a x b  y se denota como  ,a b . Es decir,
   ,a b x a x b   .
Similarmente, el intervalo  ,a b se puede ver como la intersección de los conjuntos  x x a y  x x b :
         ,a b x x a x x b x a x x b x a x b         y .
Sobre la recta numérica, el intervalo abierto  ,a b es el conjunto de todos los puntos que se encuentran
estrictamente entre a y b . El intervalo cerrado  ,a b consiste de todos los puntos entre a y b además de los
puntos extremos a y b .
a b
 ,a b
 ,a b
Además de los intervalos abiertos y cerrados, tenemos los intervalos semiabiertos, tales como:
   ,a b x a x b   y    ,a b x a x b   .
También existen los intervalos infinitos:
           
       
, , ,
, , .
a x x a a x x a a x x a
a x x a x x
        
      
, , ,
y
El intervalo infinito  ,a  consiste en todos los puntos sobre la recta numérica que están a la derecha de a . El
intervalo  ,  es toda la recta numérica. “” y “ ” son simplemente símbolos; no son números reales.

9. 9
1.2 El sistema de los números reales
A. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES
Vamos a definir a los números reales mediante un conjunto de propiedades básicas que llamaremos
axiomas. Un axioma es una afirmación que aceptamos como verdadera sin exigir demostración alguna.
El sistema de los números reales es un conjunto y dos operaciones, adición y multiplicación, y una
relación de orden, denotada por “” y leída “es menor que”, que satisface los siguientes axiomas:
   
, .
, .
, , .
a b a b
a b a b b a
a b c a b c a b c
 
  
    
1
2
3
4
A Para todo y en (Estabilidado cerradura.)
A Para todo y en (Ley conmutativa.)
A Para todo y en (Ley asociativa.)
A Hay un y sólo unelemento, 0 , , 0 0 .
, " ",
a a a a
a a
   
5
alque denotamos por " " talque para todo en
(La existencia y unicidaddelelemento neutro aditivo.)
A Para cada en hay un y sólo unelemento,alque denotamos por   0 .a a a a     talque
(La existencia y unicidaddelinverso aditivo.)
   
, .
, .
, , .
,
a b ab
a b ab ba
a b c ab c a bc



1
2
3
4
M Para todo y en (Estabilidad o cerradura.)
M Para todo y en (Ley conmutativa.)
M Para todo y en (Ley asociativa.)
M Hay un y sólo unelemento alque 1 , 0, ,
1 1 .
, 0,
a
a a a
a
   
5
denotamospor " " diferente de talque para todo en
(La existencia y unicidad delelemento neutro multiplicativo.)
M Para cada en diferente de hay un y sólo unele 1
1 1
" ",
1 .
a
a a a a

 
   
mento,alque denotamospor
talque (La existencia y unicidad delinverso multiplicativo.)
   , , .a b c a b c ab ac b c a ba ca     D Para todo y en y (Ley distributiva.)
, , .
, .
a b
a b a b b a
a b b c a c
  
  
1
2
O Para cualesquiera dos elementos y en una y solamente una de las siguientes relaciones
se verifica : (Ley de tricotomia.)
O Si y entonces (Ley transitiva.)
, , .
0 , .
a b c a c b c
a b c ac bc
   
  
3
4
O Si entonces para todo en ,
O Si y entonces
L Elaxioma delsupremo.
La importancia del grupo de axiomas que definen al sistema de los números reales radica en que con
ellos se deducen todas las leyes usuales del álgebra elemental.

10. 10
B. ALGUNAS PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NÚMEROS REALES
Teorema 1T . Para todo a en , 0 0 0a a    .
Prueba. Durante el proceso de demostración del teorema después de cada paso aparece el axioma que
lo fundamenta:
 
    
     
     
   
0 0 0
0
0
0 1
0 1
a a
a a a
a a a
a a a
a a
   
    
    
     
   
4
5
3
4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - M
- -  
   
   
 
1
0. .
a a
a a
   
  

4
4
5
- - - - - - - - - - - - - - - - - D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
Finalmente, según 4M , 0 0 0a a    .
Ahora el teorema 1T , puesto que ya fue demostrado, pasa a formar parte del grupo de axiomas como si
se tratara de un axioma más y puede ser utilizado para demostrar otros teoremas. Por ejemplo, veamos el
siguiente caso.
Teorema 2T . Para todo a en ,  1a a   .
Prueba. Según 5A el inverso aditivo de a es único. Si demostramos que  1 0a a   , entonces
habremos demostrado que  1a a   :
     
    
 
1 1 1
1 1
0
0
a a a a
a
a
     
  
 

4
5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - -  .1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
Por lo tanto,  1a a   .
Nótese cómo fue de ayuda 1T en la demostración de 2T . Ahora 2T adquiere la misma jerarquía que 1T y
los axiomas. Veamos más ejemplos.

11. 11
Teorema 3T . Para a y b en cualesquiera,      a b ab a b     .
Prueba.
      
    
    
    
1
1
1
1
a b a b
a b
a b
ab
  
 
 
 
2
3
2
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
   
    
    
 
1
1
ab
ab
a b
a b
 
 
 
 
2
2
3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  .2- - - - - - - - - T
Teorema 4T . Para todo a en ,  a a   .
Prueba. Según 5A el inverso aditivo de a es único. Ahora, dado que    0a a a a      , a es
el inverso aditivo de a ; es decir,    0a a     . Por lo anterior, se concluye que  a a   .
Teorema 5T . Para a y b en cualesquiera,   a b ab   .
Prueba.
       
    
 .
a b a b
ab
ab
    
  

3
3
4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
Teorema 6T . 0 0  .
Prueba.
   
 
0 1 0
0 .
  

2
1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
Para continuar demostrando leyes básicas del álgebra es necesario definir las operaciones de
sustracción y división, en términos de la adición y la multiplicación, respectivamente. Para todo a y b en :
 Sustracción (resta):  a b a b    .
 División: 1a
ab
b

 ; siempre que 0b  .

12. 12
Teorema 7T . Para todo a y b en ,  a b a b     .
Prueba.
     
       
    
 
1 1
1
a b a b
a b
a b
a b
     
   
  
  
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde sustracción
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - D
- - - - - - - - -  .2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
Teorema 8T . Si a b a c   , entonces b c . (Ley de cancelación para la adición).
Prueba.
         
       
 0 0
a b a c a a b a a c
a a b a a c
b c
          
       
   
1
3
5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
 .b c  4- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
Teorema 9T . Probar que 1
1 1
 .
Prueba.
 
 
1 1
1 1 1
1 .
 
 

4
5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
Teorema 10T . Probar que 0ab  si y sólo si 0a  o 0b  .
Prueba. Si 0a  y 0b  , entonces, por 1T , 0ab  . Si 0a  y 0b  , entonces, por 1T , 0ab  .
Teorema 11T . Si 0ab  , entonces  
1 1 1
ab a b
  
 .
Prueba.
   
   
 
   
 
 
   
 
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1ab ab
ab ab
a a bb
ab
a b ab
ab
 
 
 

   




4
5
- - - - - - - - - - - - - - - M y definiciónde división
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - -  
       
      
11 1
11 1
a b ab ab
a b ab ab
 
 
  
 
  
 
2 3
3
- - - - - - M y M
- - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
- - - - - - - - - - - - - - - - M
   
 
1 1
1 1
1
.
a b
a b
 
 
 

5
4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M

13. 13
Teorema 12T . Si 0a  , entonces  
11
a a

 .
Prueba.
        
    
   
1 1 11 1 1 1
11 1
1
1 .
a a aa a
a a a
a a
     
 
  
 
  
 
4 5
3
5 4
- - - - - - - - - - - - - - - - - M y M
- - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M y M
Teorema 13T . Si ab ac y 0a  , entonces b c . (Ley de cancelación para la multiplicación).
Prueba.
     
     
 
1 1
1 1
1 1
ab ac ab a ac a
b aa c aa
b c
b c
 
 
  
 
   
 
1
2 3
5
Si - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - M y M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - -  .4- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
Teorema 14T . Probar que
a c ad bc
b d bd

  . (Suma de fracciones)
Prueba.
 
     
         
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
a c
ab cd
b d
ab cd
ab dd cd bb
a
 
 
   
  
   
   

4
5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - M
       
    
    
1 1 1 1
1 1
1
d b d cb b d
ad cb b d
ad cb bd
ad cb
bd
   
 


 
 


2 3
11
- - - - - - - - - - - - - - - - - - M y M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - -  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
Teorema 15T . Probar que
a c ac
b d bd
  . (Multiplicación de fracciones)
Prueba.
     
     
     
1 1
1 1
1
a c
ab cd
b d
ac b d
ac bd
ac
bd
 
 

  
 
 

3
11
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - -  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división

14. 14
Teorema 16T . Probar que
a
b
c
d
ad
bc
 . (Regla de la tortilla).
Prueba.
    
     
   
1 11 1
1
11 1 1
1 1
a
abb ab cd
c cd
d
ab c d
ab c d
  

  
 
 
 
  
   
11
12
- - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
- - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
   
    
 
1 1
1
.
ad b c
ad bc
ad
bc
 

   


2 3
11
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - M y M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
Teorema 17T . Probar que
a c
b d
 si y sólo si ad bc , ( 0bd  ).
Prueba.
 
     
         
   
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
a c
ab cd
b d
ab cd
ab dd cd bb
ad b d
 
 
   
 
  
   
   
  
4
5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
- - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - M
     
         
 
1 1
1 1
.
cb b d
ad bd cb bd
ad cb
 
 

   
 
2 3
11
13
- - - - - - - - - M y M
- - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
Teorema 18T . Probar que   a b c d ac ad bc bd      .
Prueba. El teorema queda demostrado aplicando dos veces el axioma D:
       .a b c d a c d b c d ac ad bc bd         
Teorema 19T . Probar que
a b a b
c c c

  , ( 0c  ).
Prueba.
   
 
 
1
1 1
.
a b
a b c
c
ac bc
a b
c c

 

 
 
 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - D
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definiciónde división

15. 15
Teorema 20T . Probar que si a , b y x están en y 0a  , la solución de la ecuación lineal 0ax b 
es 1
x a b
  .
Prueba.
   
 1 1
1
1
0 0
0
1
ax b ax b b b
ax b
ax b
a ax a b
x a b
x a b
 


        
   
  
  
   
  
Cuando se busca resolver una ecuación lineal con una incógnita se recomienda seguir el proceso
implicado en la demostración del teorema 20T .
Teorema 21T . 2 2
a b si y sólo si a b o a b  .
Prueba.
  
2 2 2 2
0
0
0 0
.
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
   
   
    
   
o
o
Veamos la deducción de la fórmula general para resolver la ecuación general de segundo grado:
2
0ax bx c   , donde 0a  .
Completando el cuadrado en el lado derecho de la ecuación tenemos,
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
4 4
2 4
2
b c b b b c
ax bx c a x x a x x
a a a aa a
b b c
a x
a aa
b
a x
a
   
                 
   
      
    
 
2 2
2
4
.
4
b ac
a
   
   
    
Es decir,
2 2
2
2
4
0 0.
2 4
b b ac
ax bx c a x
a a
   
         
    

16. 16
Pero como 0a  , entonces, por el teorema 10T ,
2 2
2
4
0.
2 4
b b ac
x
a a
  
    
   
Ahora, la ecuación se puede escribir como
2
2 22 2
2 2
4 4
0
2 24 4
b b ac b b ac
x x
a aa a
     
                
.
Si 2
4 0b ac  , la ecuación tiene dos soluciones distintas que son, de acuerdo con el teorema 21T ,
2
2 2 2 2
2 2 2
4 4 4
2 2 24 4 4
b b ac b b ac b b ac
x x x
a a aa a a
        
                    
o
es decir,
2 2
4 4
2 2 2 2
b b ac b b ac
x x
a a a a
 
     o .
En forma compacta, las dos soluciones se representan mediante la llamada fórmula general para resolver la
ecuación general de segundo grado, 2
0ax bx c   ,
2 2
4 4
2 2 2
b b ac b b ac
x
a a a
   
    .
C. EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes enteros.
Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la potencia - ésiman de a se
defino como:
n
n
a a a a   
factores
,
donde a se llama base y n es el exponente.
Por ejemplo:
3
1 1 1 1 1
4 4 4 4 64
     
      
     
,       
4
3 3 3 3 3 81       ,  4
3 3 3 3 3 81        , etc.

17. 17
Si 0a  es un número real y n es un entero positivo, entonces
0
1a  y
1n
n
a
a

 .
Por ejemplo:
0
7
1
5
 
 
 
, 1
1
1 1
x
xx

  ,  
 
3
3
1 1 1
4
64 644

    

, etc.
Nótese que 0
0 no está definido (es decir, 0
0 no es un número real).
Leyes de los exponentes. Sean a y b números reales mientras que los exponentes m y n son
enteros:
1. m n m n
a a a 
 Por ejemplo: 3 7 3 7 10
5 5 5 5
   .
2.
m
m n
n
a
a
a

 Por ejemplo:
6
6 2 4
2
5
5 5
5

  .
3.  
nm m n
a a 
 Por ejemplo:  
43 3 4 12
5 5 5
  .
4.  
n n n
ab a b Por ejemplo:  
4 4 4
3 5 3 5   .
5.
n n
n
a a
b b
 
 
 
Por ejemplo:
7 7
7
3 3
4 4
 
 
 
.
6.
n n
a b
b a

   
   
   
Por ejemplo:
5 5
3 4
4 3

   
   
   
.
7.
n m
m n
a b
b a


 Por ejemplo:
8 5
5 8
3 4
4 3


 .
Nótese que:
 n n
a a   ,  
nn
a a  
 n n
ca c a ,  
nn
ca ca
 mm nn
a a ,  
m mn n
a a .
Radicales (raíces).
Si n es un entero positivo, entonces la raíz - ésima principaln de a , denotada por n
a , se define
como: nn
a b b a y significa que . Si n es par, entonces es necesario que 0a  y 0b  .

18. 18
Por ejemplo:
44
81 3 3 81 3 0  porque y .
 
33
8 2 2 8     porque .
Nótese que, por ejemplo, 8 , 4
81 y 6
64 no están definidos dentro del conjunto de los números reales.
Propiedades de los radicales:
1. n n n
ab a b ,
n
n
n
a a
b b
 y m n m n
a a
 .
2. n n
a a n si esimpar y n n
a a n si espar .
En particular,
2
a a .
Exponentes racionales.
Para dar significado al símbolo
1
n
a de manera que sea consistente con las leyes de los exponentes, es
necesario que
   11
1nn
n
n
a a a a   .
Entonces, de acuerdo con la definición de nraíz -ésima,
1
n n
a a .
En general, para cualquier exponente racional m
n
, donde m y n son enteros y 0n  , definimos
 
m
n
m
n mn
a a a  .
Si n es par, entonces es necesario que 0a  .
La consecuencia inmediata de esta última definición es que las leyes de los exponentes son válidas
para los exponentes racionales.

19. 19
D. LOGARITMOS
Sea 0a  y 1a  , se dice que el número y es el logaritmo del número x de base a , y se denota
como logay x , si y es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener el número x ; es decir
log y
ay x x a   .
Por ejemplo:
2log 16 4 debido a que 4
16 2 .
10log 1000 3 debido a que 3
1000 10 .
1
16 2log 4  debido a que
1
2
16 4 .
log 1 0a  debido a que 0
1a  .
Se verifican las siguientes relaciones de cancelación:
log x
a a x y loga x
a x .
Por ejemplo:
3
5log 5 3 , 5log 25
5 25 , 5log 5 1 , 5log 12
5 12 , etc.
También son importantes las siguientes identidades:
log 1 0a  y log 1a a  .
Propiedades de los logaritmos. Sean A , B y C cualesquiera números reales con 0A y 0B  .
 
 
log log log
log log log
log log
a a a
a a a
C
a a
AB A B
A
A B
B
A C A
 
 
  
 

Por ejemplo:
 6 6 6 6log 6 log 6 log 1 logx x x   
 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1
log 2 log log log log 1
1/ 2 2
x
x x x
 
     
 
     
2 2 2 2
2 2 2 21 1 1
log log log log log log log
2 2 2
a a a a a a a
x y x y
x y xy x y x y
xy xy
                  
 

20. 20
Casos de logaritmos cuando la base es un número especial:
 El logaritmo de base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base:
10log logx x .
Es decir,
log 10y
x y x   .
 El logaritmo de base 2.71828182e  se conoce como logaritmo natural y se denota por ln :
ln logex x .
Es decir,
ln y
x y e x   .
Fórmula del Cambio de Base: Supóngase que se tiene dado loga x y se necesita obtener logb x . Sea
logby x . Vamos a reescribir esta igualdad en la forma exponencial para luego tomar logaritmos, de base a ,
en cada lado de la igualdad:
 log log log logy y
a a a ab x b x y b x     .
Ahora, despejando y ,
log
log
a
a
x
y
b
 .
El resultado obtenido es la Fórmula del Cambio de Base. Mediante la fórmula anterior es posible calcular el
logaritmo de cualquier base en función de logaritmos comunes o logaritmos naturales.
Por ejemplo:
5
log10
log 10 1.430677
log5
 
o también,
5
ln10
log 10 1.430677
ln5
 

21. 21
1.3 Desigualdades
Para resolver desigualdades se debe estudiar algunas propiedades básicas de las relaciones de orden.
Teorema 22T . Si a b y c d , entonces a c b d   .
Prueba. Si a b y c d , entonces por el axioma 3O , a c b c   y b c b d   . Luego por el
axioma 2O se concluye que a c b d   .
Teorema 23T . Si a b , entonces a b   .
Prueba.
         
         
     0 0
a b a a b b a b
a a b a b b
b a
b a
                
               
     
   
3
3
5
Si - - - - - - - - - - - O
- - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
- - - - - - - - - - - - - - - - -  .4- - - - - - - - - - - - - - - - - - - A
Teorema 24T . Si a b y 0c  , entonces ac bc .
Prueba.
 
     
 
   
0 0
0
c c
a b c a c b c
ac bc
ac bc
   
      
   
     
23 6
4
3
Si - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T y T
Si y - - - - - - - - - - - - O
- - - - - - - - - - - - - - - T
-  
 .ac bc 
23
4
- - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - T
Teorema 25T . Si 0a  , entonces 2
0a  .
Prueba. Si 0a  , entonces 0a  o 0a  .
 
 
 
 2 2
0 0 0 0
0 0 .
a a a a a a a a
a a
           
   
4 24
1 1
Si - - - - - - - - - - O Si - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - T - - - - - - - - - - - - - - T
Teorema 26T . Si a y b tienen el mismo signo, entonces 0ab  . Si a y b son de diferente signo,
entonces 0ab  . (Regla de signos para la multiplicación)
Prueba.
 Si a y b tienen el mismo signo, entonces  0 0a b y o  0 0a b y . Veamos cada caso:
 
 
0 0 0
0 0 0 .
a b ab
a b ab
   
   
4 1
24 1
Si y - - - - - - - - - - - - O y T
Si y - - - - - - - - - - - - T y T
 Si a y b son de diferente signo, entonces  0 0a b y o  0 0a b y . Veamos cada caso:
 
 
0 0 0
0 0 0 .
a b ab
a b ab
   
   
24 1
4 1
Si y - - - - - - - - - - - - T y T
Si y - - - - - - - - - - - - O y T

22. 22
Teorema 27T . 1
a
tiene el mismo signo que a .
Prueba. Según 5M , 4M y 25T , 1 2
1 1 1 1 0a a
      . Ahora, dado que 1
0a a
  , por el teorema
26T concluimos que 1
a
tiene el mismo signo que a .
Teorema 28T . Si a y b tienen el mismo signo y a b , entonces 1 1
a b 
 .
Prueba. Si a y b tienen el mismo signo, entonces  0 0a b y o  0 0a b y :
 Si  0 0a b y , entonces de acuerdo con 27T también es cierto que  1 1
0 0a b 
 y . Ahora:
 
 
   
   
1 1
1
1 1 1
1 1 1
1 1
1
1
1
a b a a b a
b a
b b a b
b bb a
b a
 

  
  
 
    
  
   
 
  
4
5
5
5 3
- - - - - - - - - - - - - - O
- - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - M y M
- - -  
 1 1
.b a 
 
5
4
- - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - M
 Si  0 0a b y , entonces de acuerdo con 27T también es cierto que  1 1
0 0a b 
 y . Ahora:
 
 
   
   
1 1
1
1 1 1
1 1 1
1 1
1
1
1
a b a a b a
b a
b ba b
b bb a
b a
 

  
  
 
    
  
  
 
  
24
5
24
4 3
- - - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - M y M
-  
 1 1
.b a 
 
5
4
- - - - - - - - - - - - - - - - - M
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M
Teorema 29T . Si 0a  y 0b  , entonces 2 2
a b sí y sólo sí a b .
Prueba.
  
   
   
2 2 2 2 2 2
0
0 0
0 0
a b a b b b
a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a ba b a b
    
   
          
    
           
y y
o o o
yy
Considerando que 0b  implica que 0b  y por consiguiente de a b  se deduce que 0a  , pero esta
consecuencia contradice el supuesto de que 0a  . Por consiguiente, desechamos a b  y obtenemos
finalmente que: Si 0a  y 0b  , entonces 2 2
a b a b   .

23. 23
Teorema 30T . Si 0b  , entonces 2
a b si y sólo si a b o a b  .
Prueba. Notemos que no hay restricción sobre a , entonces 0a  o 0a  . Analicemos los dos casos:
 Si 0a  , entonces por el teorema 29T ,  
2
2
a b a b   .
 Si 0a  , entonces 0a  y por el teorema 29T ,    
22
a b a b a b        .
Por lo tanto, si 0b  , entonces 2
a b si y sólo si a b o a b  .
Teorema 31T . Si 0b  , entonces 2
a b si y sólo si b a b   .
  
   
   
2 2
0
0
0 0
0 0
a b a b
a b a b
a b a b a b a b
b a b
a b a ba b a b
   
   
         
      
 
      
y y
o o
yy
Por lo tanto, si 0b  , entonces 2
a b si y sólo si b a b   .
Solución de desigualdades. Por solución de una desigualdad se entiende encontrar el conjunto de
valores de x que garantizan que la desigualdad planteada es verdadera.
Ejemplo. Resolver 1 5 5 3x x   .
Solución. Para encontrar el conjunto solución de la desigualdad es necesario transformarla en otras
desigualdades equivalentes, pero más simples, aplicando los axiomas y teoremas que involucran las relaciones
de orden.
         
 
   1 1
8 8
1 5 5 3 1 5 3 1 5 3 3 1 ------
8 0 4 0 ---------------------------------------
8 4 --------------------------------
x x x x x x
x
x
            
   
 
3
5
O
A
 
1
2
-----
x 
4O
Por lo tanto, el conjunto solución es:    1 1
2 2 ,CS x x    .
Ejemplo. Resolver 2 3 4 3 2x x x     .
Solución. Esta doble desigualdad conviene expresarla como dos desigualdades simultáneas:

24. 24
 
2 3 4 3 2 2 3 4 4 3 2
7 2 6 --------
7
x x x x x x x
x x
x x
           
    
  
3 5
y
y O y A
y  
   
     
3 ----------
,7 3,
,7 3, --------------
x x
x
    
    
24T
y
Definicióndeintersección
 3,7x 
Entonces, el conjunto solución es:    3,7 3 7CS x x    .
Ejemplo. Resolver 2
2 8x x  .
Solución.
 
    
2 2
2 8 2 8 0 -----------------
2 4 0 ----------------
2 0 4 0
------
2 0 4 0
x x x x
x x
x x
x x
     
   
    
 
  
     
3 5
2
O y A
factorización
y
o T
y
 
   
   
   
   
,2 4, ,2 4,2 4
2 4 2, ,4 2, ,4
x x xx x
x x x x x
             
    
       
                      
6
yy
o o o
y y
      2,4 2,4 2,4x x x x          o
Entonces, el conjunto solución es:    2,4 2 4CS x x      .
1.4 Valor absoluto
El valor absoluto de un número real a , denotado por a , se define por la regla:
a a si 0a  o a a  si 0a  .
Por ejemplo, 3 3 ,  7 7 7     , 9 9
4 4
  , 0 0 .
En la recta numérica, el valor absoluto a representa la distancia entre el punto que corresponde al
número a y el punto asociado con el cero. De la definición de valor absoluto se deducen los siguientes dos
resultados inmediatos:

25. 25
Teorema 32T . Para todo número real a , a a  .
Prueba.
 Si 0a  , entonces a a y 0a  , pero  a a a     . Por lo tanto, a a  .
 Si 0a  , entonces a a  y 0a  , pero a a   . Por consiguiente, a a  .
Teorema 33T . Para todo número real a , a a y a a  .
Prueba.
 Si 0a  , entonces a a y 0a  . Por lo tanto, por la ley transitiva, a a  .
 Si 0a  , entonces a a  y 0a  , pero a a   . Por consiguiente, a a .
En los siguientes tres teoremas se establecen las propiedades fundamentales del valor absoluto de los
números reales.
Teorema 34T . Para cualquier número real a , 0a  . Además, 0a  implica que 0a  .
Prueba.
 Para la primera parte del teorema.
 Si 0a  , entonces a a . Por lo tanto se concluye que 0a  .
 Si 0a  , entonces a a  . Ahora, puesto que 0a  implica que 0a  , entonces podemos concluir
que 0a  .
 Para la segunda parte del teorema. Si 0a  , entonces o 0a  y 0a a  , o 0a  y 0a a   . Por
lo tanto, 0a  implica que 0a  , o, equivalentemente, 0a  implica que 0a  .
Teorema 35T . Para dos números reales cualesquiera a y b , a b ab .
Prueba.
 Caso 1. Si 0a  y 0b  , entonces a a y b b , de modo que a b ab  . Pero, puesto que 0ab  ,
ab ab . Por lo tanto, a b ab .
 Caso 2. Si 0a  y 0b  , entonces     ab ab a b    , según 32T . Ahora el caso 1 se aplica a
  a b , ya que 0a  y 0b  . Por lo tanto,   ab a b a b a b     .

26. 26
 Caso 3. Si 0a  y 0b  , intercambiamos los papeles entre a y b para luego aplicar el caso 2.
 Caso 4. Si 0a  y 0b  , entonces 0a  y 0b  , de modo que después de aplicar 5T el presente caso
se transforma en el caso 1:   ab a b a b a b       .
Corolario 36C .
aa
b b
 .
Prueba.
Del teorema anterior,
1 1a
ab a b
b
 
  .
Ahora:
 Si 0b  , entonces 1
0b
 y 1 1
b b 
 , de modo que
1 1 a a
a b a b
b b
 
   .
 Si 0b  , entonces 1
0b
 y 1 1
b b 
  , de donde
   1 1 1
1
a a a
a b a b a b
b b b
  
       

.
Corolario 37C .
2 2
a a .
Prueba.
2 2 2
a a a a a a a     .
Teorema 38T . (La desigualdad del triángulo.) Para cualesquiera dos números reales a y b ,
a b a b   .
Prueba.
    
 
   
2
2
2
2 2
2 .
a b a b a b a b a b
a b
a b
a ab b
      
 
 
  
35
37
- - - - - - - - - - - - - T
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - C
Tomando en cuenta que se puede dar cualquiera de los casos 0ab  o 0ab  ,

27. 27
 
22 2 2 2 2 2
2 2 2 .a ab b a ab b a a b b a b         
Entonces,  
22
.a b a b   Ahora, puesto que 0a b  y 0a b  , resulta que, de acuerdo con 29T ,
 
2 2
.a b a b a b a b      
Por último se plantean, sin demostración, cuatro teoremas que tienen aplicación para resolver ecuaciones
y desigualdades en donde aparecen valores absolutos:
Teorema 39T . a b si y sólo si
0
.
b
a b a b



  
y
o
Teorema 40T . a b si y solo si a b o a b  .
Teorema 41T . a b si y sólo si b a b   .
Teorema 42T . a b si y sólo si a b  o a b .
Tarea No. 1 (Secciones 1.1 a 1.4)
1. Aplique las leyes de los radicales para simplificar las siguientes expresiones:
 
4
63 4 5 53 3
2
3 2
20 , 108 , ,
5 9
x x
x y z x x y
y yz
(a) (b) (c) (d)
2. Racionalice el denominador en las siguientes expresiones:
3 2 2 2
23
16
,
1 22
x y x x h x y
x x h x yxy
 
  
(a) (b) , (c) , (d)
3. Racionalice el numerador en las siguientes expresiones:
, ,
1
x x h x h x
hx x h
  
 
(a) (b) (c)

28. 28
4. Simplifique las expresiones:
    
 
     
 
    
1 2
3 3
22 2 3 24 4 3 2
4 2 2 4 3 2 42
3 22 2 23 3
62
2
2 21
3
2
1 3 2 1 21
, ,
2 3 3 1 1
1 1 2 2
4 2 3 4 2
1 1 1 1, , , ,
1 1 4
3 9 4 9 2
x x x x xx y x x x
x x y y x x x x
x a
x x x x xx h x t t x a
h x a x
t t
x x x x
x

     
     
         
 
  

(a) , (b) (c)
(d) (e) (f) (g)
(h)
 
1
3
2
9
 
  
5. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique al máximo:
 
 
2 2
2 3 2 2
2 3 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
4
7 12 6 9 1 12
, , ,
9 4 3 2
2 3 4 2 2 3 3
1 1 1 1 3 2 2
3 1 3 2
2 2
21 2
x y
x x x x x xy y
x h xx x x x xy y
x x x
x x x x x x x x
b b b x
b x
x x b x bx x
b x b x

    
 
   
   
   
       

     
 
 
(a) (b) (c)
(d) , (e) ,
(f) 2
bx x
 
 
 
6. Exprese cada fracción en su forma más simple:
2
2
2 1 1
3
1 1 2, , , ,
4
1 1
x x xy
y x x x x a
x x x ay x
x x x
   
  
 
 
(a) (b) (c) (d)
7. Resolver las siguientes ecuaciones:
(a)
5
7
3
x
x



, (b)
6 6
5
1 1
x
x x
 
 
, (c)    
2 2
5 2 7 82x x    , (d) 4 2
5 36 0x x   , (e) 4 1 2x   .
(f) 5 1 3x x   , (g)
3 4
2 3 4t t

 
, (h)
2 1
3 3
6 0x x   , (i)    
2 2
5 2 7 82x x    .
8. Demostrar que:
(a) Si  2,4x , entonces  2 3 7,11x   . (b) Si  2,4x , entonces
1 1 1
,
2 3 11 7x
 
 
  
.
(c) Si  2 6 4,4x    , entonces  1,5x . (d) Si 3 1x   entonces
1 1 1
8 4 6x
 

.

29. 29
9. Resolver las siguientes desigualdades:
(a) 3 1 2 5x x   . (b) 2 1 4 2x x   . c) 2
5 6 0x x   . (d) 2
5 6 0x x   .
(e)
3 2
4
1
x
x



. (f) 2
4 5 4
5
x
xx



(g)
2 4
1 14x x


. (h) 5 2 3x x   . (i) 2
4 2 4x x    .
(j)
3 1
2
4
x 


. (k)
5
3
2
x
x



. (l) 1 3 1x x   .
10. Obtener lo que se indica:
(a) Despejar t de
ft
v u
m
  ; (b) Despejar b de
x y
a
bd be



;
(c) Despejar p de
D f p
d f p



; (d) Despejar L de
L
m
L rCR



;
(e) Despejar  de
4 5
CZ n
a
 

 ; (f) Despejar C de
2
2 1
Z R L
C


 
   
 
.