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Guía de aplicación por fracciones parciales

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GUÍA DE APLICACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

El método de fracciones parciales se utiliza cuando quiere integrarse una
expresión de la forma

, donde el numerador y el denominador son polinomios y

el grado de
o igual que el grado de

. Si el grado de
es mayor
, debe utilizarse el algoritmo de la división.

Por el teorema fundamental del álgebra se sabe que el polinomio
factorizarse en polinomios irreducibles de grado uno y de grado dos.

puede

Entonces se tienen cuatro casos.

CASO 1:
se factoriza como un producto de factores de grado uno todos
distintos; es decir,
. Entonces
existen números reales
tales que:

Por lo tanto: ∫

∫

EJEMPLO 1:
CALCULAR: ∫
Se descompone la fracción

=

∫

∫
Se ordena el numerador en la expresión de la derecha, se factoriza y se agrupan
términos independientes

Como los denominadores son los mismos en la expresión, se igualan los
numeradores:

Se igualan los términos semejantes a lado y lado de la igualdad, o sea:
1= 4A – B
0= A + B
Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y utilizando cualquiera
de los métodos conocidos se hallan los valores de A y B.
Por eliminación de una de las variables se tiene:
1= 4A – B
0= A + B
1 = 5ª
A=
Sustituyendo A en cualquiera de las dos ecuaciones, se halla el

valor de B,

siendo: B=
Se remplazan los valores de A y B, con lo cual la fracción original se transforma
en:

=
Reemplazando en la integral original, se tiene:
∫

=

∫
= ∫
=

dx
∫
=
EJEMPLO 2: ∫
En esta integral el denominador debe ser factorizable para poder aplicar el caso 1,
o sea:

Se descompone la fracción:

=
Como los denominadores son los mismos, se igualan los numeradores

En esta expresión se igualan los términos semejantes que se encuentran a lado y
lado de igualdad.
2= A+ B
-1= 2A - B
Se resuelve este sistema con lo cual A =

Y B=

Se sustituye A y B, quedando

la fracción original

Se reemplaza en la integral original
: ∫

∫(
=

)
∫

∫

=

CASO 2:
se factoriza como un producto de factores de grado uno todos
repetidos; Es decir,
. Entonces existen números reales
Por lo tanto: ∫

∫

∫

∫

EJEMPLO: 1
CALCULAR: ∫
Para que esta integral pueda resolverse por el caso II el trinomio que aparece en
el denominador debe ser factorizable. Una vez que se compruebe se descompone
la fracción en fracciones parciales.
=
=
=
=
Se igualan los numeradores de esta expresión 2 –x = (9A +3b)

Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la igualdad.
2 = 4A
-1 = C-2B-12ª
0= 9A + 3B
Resolviendo el sistema anterior se obtiene:
A = Y B=

y C= 2

Sustituyendo estos valores en la fracción inicial, se tiene:
=
=
Reemplazando la integral original queda:
∫

∫

-

= ∫

∫

∫

=

CASO 3:
todos

se factoriza como un producto de factores irreducibles de grado dos
distintos;
es
decir,
. Entonces
existen números reales
y
tales que
(

)

(

)

(

)

Por lo tanto:
∫

∫

∫
∫

EJEMPLO.
Integrar. ∫ (

)(

)

Se descompone en fracciones parciales la fracción
=
=

(

)
(

=
=

(
)(

(

(

)

)

)(

)(

)

)

Se igualan los numeradores de la expresión anterior
7x+1 = (A+C)

+ (B+D)

Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la expresión, se
tiene:
A+C = 0
B+D =0
A-3C =7
B-3D = 1
Se resuelve este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y se obtiene:
A=

B=

C=

D=

Se sustituye en la fracción original estos valores y se tiene:

. ∫(

)(

)

= ∫(

)

=∫

∫

= ∫

∫

∫

∫
∫

=
A la última integral se le aplica el caso 1, o sea se descompone la fracción
√
√

√

√

se igualan los numeradores de la última expresión y se ordenan los términos de la
derecha, con lo cual:
1= ( A+ B ) + √
√
Se igualan los términos semejantes a lado y lado de esta expresión, o sea
1= + √
√
0=A +B
Resolviendo para A y B, se obtiene A =

√

Y

Se Sustituye a y b y se resuelve la última integral

B=

√

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  • 1. GUÍA DE APLICACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES El método de fracciones parciales se utiliza cuando quiere integrarse una expresión de la forma , donde el numerador y el denominador son polinomios y el grado de o igual que el grado de . Si el grado de es mayor , debe utilizarse el algoritmo de la división. Por el teorema fundamental del álgebra se sabe que el polinomio factorizarse en polinomios irreducibles de grado uno y de grado dos. puede Entonces se tienen cuatro casos. CASO 1: se factoriza como un producto de factores de grado uno todos distintos; es decir, . Entonces existen números reales tales que: Por lo tanto: ∫ ∫ EJEMPLO 1: CALCULAR: ∫ Se descompone la fracción = ∫ ∫
  • 2. Se ordena el numerador en la expresión de la derecha, se factoriza y se agrupan términos independientes Como los denominadores son los mismos en la expresión, se igualan los numeradores: Se igualan los términos semejantes a lado y lado de la igualdad, o sea: 1= 4A – B 0= A + B Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y utilizando cualquiera de los métodos conocidos se hallan los valores de A y B. Por eliminación de una de las variables se tiene: 1= 4A – B 0= A + B 1 = 5ª A= Sustituyendo A en cualquiera de las dos ecuaciones, se halla el valor de B, siendo: B= Se remplazan los valores de A y B, con lo cual la fracción original se transforma en: = Reemplazando en la integral original, se tiene: ∫ = ∫ = ∫ = dx ∫ =
  • 3. EJEMPLO 2: ∫ En esta integral el denominador debe ser factorizable para poder aplicar el caso 1, o sea: Se descompone la fracción: = Como los denominadores son los mismos, se igualan los numeradores En esta expresión se igualan los términos semejantes que se encuentran a lado y lado de igualdad. 2= A+ B -1= 2A - B Se resuelve este sistema con lo cual A = Y B= Se sustituye A y B, quedando la fracción original Se reemplaza en la integral original : ∫ ∫( = ) ∫ ∫ = CASO 2: se factoriza como un producto de factores de grado uno todos repetidos; Es decir, . Entonces existen números reales
  • 4. Por lo tanto: ∫ ∫ ∫ ∫ EJEMPLO: 1 CALCULAR: ∫ Para que esta integral pueda resolverse por el caso II el trinomio que aparece en el denominador debe ser factorizable. Una vez que se compruebe se descompone la fracción en fracciones parciales. = = = = Se igualan los numeradores de esta expresión 2 –x = (9A +3b) Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la igualdad. 2 = 4A -1 = C-2B-12ª 0= 9A + 3B Resolviendo el sistema anterior se obtiene: A = Y B= y C= 2 Sustituyendo estos valores en la fracción inicial, se tiene: = =
  • 5. Reemplazando la integral original queda: ∫ ∫ - = ∫ ∫ ∫ = CASO 3: todos se factoriza como un producto de factores irreducibles de grado dos distintos; es decir, . Entonces existen números reales y tales que ( ) ( ) ( ) Por lo tanto: ∫ ∫ ∫ ∫ EJEMPLO. Integrar. ∫ ( )( ) Se descompone en fracciones parciales la fracción = = ( ) ( = = ( )( ( ( ) ) )( )( ) ) Se igualan los numeradores de la expresión anterior
  • 6. 7x+1 = (A+C) + (B+D) Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la expresión, se tiene: A+C = 0 B+D =0 A-3C =7 B-3D = 1 Se resuelve este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y se obtiene: A= B= C= D= Se sustituye en la fracción original estos valores y se tiene: . ∫( )( ) = ∫( ) =∫ ∫ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = A la última integral se le aplica el caso 1, o sea se descompone la fracción √ √ √ √ se igualan los numeradores de la última expresión y se ordenan los términos de la derecha, con lo cual: 1= ( A+ B ) + √ √ Se igualan los términos semejantes a lado y lado de esta expresión, o sea 1= + √ √ 0=A +B Resolviendo para A y B, se obtiene A = √ Y Se Sustituye a y b y se resuelve la última integral B= √
  • 7. ∫ = ∫( = = √ √ √ √ ∫ √ √ √ ∫ √ √ = ) ( √ √ √ √ √ √ ) Se reemplaza en la integral original, teniendo . ∫( )( ) == ( ) √ ( √ √ ) CASO 4: se factoriza como un producto de factores irreducibles de grado dos todos repetidos; es decir, .entonces existen números reales y tales que Por lo tanto: ∫ ∫ ∫ ∫ NOTA En una integral pueden aparecer los casos combinados y entonces se aplican los casos correspondientes. EJEMPLO:
  • 8. Calcular: ∫ ( ) = Se descompone en fracciones parciales la fracción ( ) ( ) ( = ) = ( ) ) ( = ( ( ) ) Igualando numeradores en la expresión anterior, se tiene: Se hace 2=A 0=B A+C =0 B+D = 0 se resuelve el sistema y se obtiene A=2 B=0 C = -2 y D=0 Se sustituye estos valores en la fracción inicial, esto es ( ) ( = ) ( ) Reemplazando en la integral original se obtiene ∫ ( ) = ∫ (( =∫ = ) ( ∫ ) ( ) )
  • 9. EJEMPLO: ∫ Solución. Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del numerador y como P entonces esta integral es del caso 1. Por lo tanto, es necesario encontrar números reales tales que: Luego al multiplicar cada lado de esta igualdad por se tiene: Por lo tanto, Como dos polinomios son iguales si sus coeficientes correspondientes son igual, se tiene: El siguiente sistema de ecuaciones: Al resolver el sistema se obtiene ∫ ∫ ∫ | | Observación por qué la integral es ∫ | | | |
  • 10. Los números reales tenía que: también pueden obtenerse de la siguiente forma. Se Sugerencia Como ambos polinomios son iguales, al evaluar en cualquier número real debe obtenerse el mismo resultado. Cuando de evaluar en que son las raíces del polinomio se obtiene lo siguiente: Para tanto, Por lo Para tanto, Por lo y de aquí Para ; Por lo tanto, y de aquí EJEMPLO: ∫ Solución. Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del numerador y como el polinomio P entonces esta integral es del caso 1 y 2, por lo que deben encontrarse números reales y tales que Así, al multiplicar cada miembro de esta igualdad por tiene que: Utilizando las raíces y se obtiene lo siguiente: se
  • 11. Para Por lo tanto, Para Por lo tanto, y Ahora se toma otro valor cualquiera; por ejemplo Por lo tanto, 54 pero se sabe que De donde 54 y se tiene que: y y Así: ∫ ∫ ∫ | | ∫ | | EJEMPLO: ∫ Solución. Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del numerador y como el polinomio P y ambos factores son irreducibles de grado dos (ya que ambos no tienen raíces reales) entonces esta integral es del caso 3. Por lo tanto, deben encontrarse números reales ( )( ) Así, al multiplicar por Al resolver las operaciones: se tiene que: tales que:
  • 12. y factorizar: Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: La solución de este sistema es: 0, y Por lo tanto, se tiene que ∫( )( EJEMPLO: ∫ ) ∫ ( ) ( ∫ ) Solución. Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del numerador. Y como P y ambos factores son irreducibles de Grado dos (ya que ambos no tienen raíces reales) entonces esta integral es del caso 3 y 4; Por lo tanto, deben encontrarse números reales yF tales que:
  • 13. Al multiplicar por se tiene que: = = Al factorizar, se obtiene:
  • 14. *** Por tanto: A= 0 B= 0 C= 1 D= 0 ∫ ∫ E= 0 F= 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ∫