El documento define conceptos básicos de conjuntos y números reales. Introduce la noción de conjunto como una colección bien definida de objetos, y describe formas de notar conjuntos y elementos. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Define números reales como aquellos con expansión decimal periódica u no periódica, y describe tipos de números reales como racionales e irracionales.

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para La Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Lara.
Números Reales
Alumno: Rashiel Peña
C.I: 30.759.561
Prof.: Mayra Ramirez
Sección: 0202

2. Definición de Conjunto
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos
objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos
ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que
componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al
conjunto y se denota mediante el símbolo ∈, la expresión a ∈ A se lee entonces como
«a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el
símbolo ∉. Por ejemplo:
3 ∈ A, ♠ ∈ D
amarillo ∉ B, z ∉ C
Notación:

3. Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen,
algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.
Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los
conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una
propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa
una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.
Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo}
C = {a, e, i, o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican
de forma intensiva mediante una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m: m es un número natural, y 1 ≤m ≤ 5}
D = {p : p es un palo de la baraja francesa}
F = {n2
: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},
En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es
el conjunto de «los números de la forma n2
tal que n es un número natural entre 1 y 10
(ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales.
En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/».

4. Operaciones Con Conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos
conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:

5. Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa
como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los
conjuntos A y B.
·A U B = { x | x ∈ A V x ∈ B}
Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
·A ∩ B= { x | x ∈ A ʌ x ∈ B}
Diferencia: (símbolo ) La diferencias el conjunto A con B es el conjunto A B que
resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
·A B={ x | x ∈ A ʌ x ∉ B}
Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
·Ac
= { x ∈ U | x ∉ A}
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es
el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a
ambos a la vez.
·A Δ B = { x | x ∈ A B V x ∈ B A}
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es
el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a
perteneciente a A, y un segundo elemento b
perteneciente a B.

6. Ejemplos:
•{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
•{5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
•{5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
•{♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
•{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
Números Reales
Se pueden definir a los números reales como aquellos números que tienen
expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica.
Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3= 3,00000000000....
b) 1/2 es un número real ya que 1/2 = 0,5000000000....
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333....
d) 2 es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097....
e) 0,1234567891011121314151617181920212223.... Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001....
g) n también es real.
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros
tienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión
decimal periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los números que
tienen expansión decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por I) en
consecuencia a, b y c son números racionales y d, e, f y g son números irracionales.
Claramente, la propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales y la
propiedad de tener expansión decimal no periódica para los irracionales dos tipo de
números muy distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca
ambos.

7. Conjunto de los números reales
a) Números Naturales (N), los que usamos para contar
Por ejemplo
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero.
Por ejemplo
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como
cociente de dos números enteros, es decir, son números que se pueden expresar
como cociente de dos números enteros, son números de la forma a/b con a, b
enteros y b ≠ 0.
d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna
ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o
anidados. Por ejemplo √3
En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales
algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, por ejemplo √25.
A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento
notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales.
En efecto, √25=5
e) Números Trascendentales, no pueden representarse mediante un número finito de
raíces libres anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes:
trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número n y e son irracionales
trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales
trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o
con un patrón que no lleva período definido.

8. Desigualdades
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b
significa a es menor que b;
 La notación a > b
significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor
que"
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b
significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro,
o siquiera si son comparables.

9. Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos
que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del
elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo
señala/apunta al elemento menor.
Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por |x|, es el valor no
negativo de x sin importar el signo, sea este positivo o
negativo. Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número
real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los
cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Números Reales:
Para cualquier número real x, el valor absoluto de x denota por |χ| se define como:

10. El valor absoluto de x es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo:
cuando x es un número negativo ( x < 0 ) entonces su valor absoluto es necesariamente
positivo ( |x| = - x > 0).
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede
verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor
absoluto entre la diferencia de dos números es la distancia entre ellos.
Definición equivalente:
Si x es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de
las dos siguientes maneras:
1. |x| = √x2
2.|x| es igual al máximo de {---x, x}.
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.

11. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es { x | - 4 < x < 4 } Cuando se resuelven
desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

12. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es { x | x < - 4 O x > 4 } Cuando se resuelven
desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2
Resuelva y grafique
| x + 2 | ≥ 4
Separe en dos desigualdades.
x + 2 ≥ 4 O x + 2 ≤ 4
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad
x ≥ 2 O x ≤ - 6

13. La gráfica se vería así:
Plano Numérico (Distancia – Punto medio)
Plano Cartesiano: Con un sistema de referencia conformado por dos rectas
perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse"
mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto,
llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho
punto respecto a los ejes cartesianos.
La ecuación del eje X es = 0, y la del eje Y es = 0, rectas que se cortan en el
origen 0, cuyas coordenadas son (0,0).
Se denomina también eje de las abscisas al eje X, y eje de las ordenadas al eje Y.
Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los signos de las
coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A
serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por
las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

14. Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos
paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del
punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.
____
OA = x A i + y A j
La posición del punto A será:
A = (xA, yA)
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto
como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del
punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y
B antes calculada.
Distancia de dos puntos en el plano
Si A (x1,y1) y B (x2,y2) son dos puntos de un plano cartesiano, entonces la distancia
entre dichos puntos es calculable de la siguiente manera: Créese un tercer punto, llámese P
(x2,y1) a partir del cual se forma un triángulo rectángulo. Prosiguiendo a usar el Teorema de
Pitágoras , con el segmento AB cómo hipotenusa.H2
= (cat1)2
+ (cat2)2
. Prosiguiendo a
reemplazar la fórmula por los elementos de cada segmento y realizando el procedimiento:

15. Punto medio:
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de
otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a
la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese
caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta
última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Punto medio de un segmento, hallado mediante regla y compás: el punto medio es la
intersección de la recta roja con el segmento en negro.
En el plano cartesiano
Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas:
A= (x1,y1) y B= (x2,y2)
El punto medio, Pm, tendrá por coordenadas:

16. En el espacio cartesiano
Sean los extremos con coordenadas
A= (x1,y1,z1) y B= (x2,y2,z2)
El punto medio tiene como coordenadas:
Representación grafica de las cónicas
Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la
intersección de un cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el
ángulo de inclinación del plano, que denotamos por ß, podemos encontrarnos con las
siguientes figuras: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, de
mayor a menor inclinación.
Estudiemos a continuación una a una las características más importantes de cada
una de las cónicas.
Circunferencia

17. Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es
un caso particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un
plano de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º.
Definición formal: Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado centro.
Parábola
La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano
oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz. Por tanto el ángulo de inclinación coincide
con el ángulo de conicidad. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo
trazo continuo hasta el infinito.
Definición formal: Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que
equidistan de un punto fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz.
Los elementos característicos de una parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que
corresponde con el máximo o mínimo de la parábola según sea su curvatura).
La ecuación de una parábola cuyo vértice es el (0,0) y su eje el eje de ordenadas es:

18. Elipse
La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano
oblicuo al eje, es decir, un plano que no sea paralelo ala generatriz del cono. Por tanto el
ángulo de inclinación oscilará entre: 0<ß<90º.
Definición formal: Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si
sumamos las distancias a dos puntos fijos, denominados focos F1 y F2, ésta es constante.
Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripción
son el centro O, el eje mayor AB, el eje menor CD, y la distancia focal, OF.
La ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (0,0) es:
Hipérbola
Por último, la hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie
cónica y un plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser
más pequeño que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso
anterior, también es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal
forma que tiene dos asíntotas.

19. Definición formal: Denominamos hipérbola al conjunto de los puntos del plano tales
que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo, denominados focos, esta
es constante y además, menor que la distancia entre los focos.
Los elementos representativos de una hipérbola son: el centro, O; los vértices, así
como la distancia entre los vértices y la distancia entre los focos.
La ecuación de una hipérbola que tiene por centro el (0,0) es:

20. EJERCICIOS RESUELTOS
Desigualdades
1. -4 < 5 – 3x ≤ 17
-9 < -3x ≤ 12
9 > x ≥ -4
3
3 > x ≥ -4
S= [-4,3)
Desigualdades con valor absoluto
2. |5x -4| ≤7
- 7≤ 5
x - 4≤7
-7 + 4 ≤ 5x - 4 + 4 ≤ 7 + 4
-3 ≤ 5x ≤ 11
-3 ≤ 5x ≤ 11
5 5 5
-3 ≤ x ≤ 11
5 5
S= [3/5, 11/5]

21. Bibliografía
https://es.m.wikipedia.org/wiki/conjunto
https://es.scribd.com/document/480905894/Numeros-Reales
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matematica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/valor_absoluto
https://www.varsitytuturs.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-
valve-inequalities.
https://es.m.wikipedia.org/wiki/coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio#:~:text-
Punto%20medio%20en%20matematica%2C%20es,o%20extremos%20de%20un%2
0segmento.&text=En%20ese%20caso%2C%20el%20punto,a%20la%20mediatriz%
20del%segmento
https://matematica.laguia2000.com/general/las-conicas