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  1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio del Poder Popular para La Educación Superior Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco Barquisimeto-Lara. Números Reales Alumno: JAVIANNY ALDAZORO C.I: 26.121.391 Sección: CO- 0104
  2. Definición de Conjunto Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son: A es el conjunto de los números naturales menores que 5. B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo. C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u. D es el conjunto de los palos de la baraja francesa. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈, la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: 3 ∈ A, ♠ ∈ D amarillo ∉ B, z ∉ C Notación: Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.
  3. Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: B = {verde, blanco, rojo} C = {a, e, i, o, u} Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad: A = {Números naturales menores que 5} D = {Palos de la baraja francesa} Otra notación habitual para denotar por comprensión es: A = {m: m es un número natural, y 1 ≤m ≤ 5} D = {p : p es un palo de la baraja francesa} F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10}, En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/».
  4. Operaciones Con Conjuntos Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos: Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
  5. ·A U B = { x | x ∈ A V x ∈ B} Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. ·A ∩ B= { x | x ∈ A ʌ x ∈ B} Diferencia: (símbolo ) La diferencias el conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. ·A B={ x | x ∈ A ʌ x ∉ B} Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene. ·Ac = { x ∈ U | x ∉ A} Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. ·A Δ B = { x | x ∈ A B V x ∈ B A} Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B. Ejemplos: •{1, a, 0} {2, b} = {2, b, 1, a, 0} •{5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠} •{5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
  6. •{♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8} •{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)} Números Reales Se pueden definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo: a) 3 es un número real ya que 3= 3,00000000000.... b) 1/2 es un número real ya que 1/2 = 0,5000000000.... c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333.... d) 2 es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097.... e) 0,1234567891011121314151617181920212223.... Es un número real. f) 1,01001000100001000001000000100000001.... g) n también es real. Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por I) en consecuencia a, b y c son números racionales y d, e, f y g son números irracionales. Claramente, la propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales y la propiedad de tener expansión decimal no periódica para los irracionales dos tipo de números muy distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos. Conjunto de los números reales a) Números Naturales (N), los que usamos para contar Por ejemplo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
  7. b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, son números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0. d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo √3 En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, por ejemplo √25. A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales. En efecto, √25=5 e) Números Trascendentales, no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número n y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva período definido. Desigualdades En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
  8. Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. • La notación a < b significa a es menor que b; • La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" • La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; • La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). • La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; • La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
  9. Definición de Valor Absoluto El valor absoluto de un numero real es el numero real . O sea, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número si este es 0 o positivo o es igual a su inverso aditivo si es negativo. Sabemos que todo numero positivo x tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. A la positiva la denotamos con √x y a la negativa con -√x. Considerando que √x2 es la raíz cuadrada positiva de x2 , se tiene que: √x2= /x/. Desigualdades de valor absoluto Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
  10. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es { x | - 4 < x < 4 } Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. • Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. • Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . Ejemplo 1: Resuelva y grafique | x – 7| < 3 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta. x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así: Desigualdades de valor absoluto (>):
  11. La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es { x | x < - 4 O x > 4 } Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. • Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. • Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b . Ejemplo 2 Resuelva y grafique | x + 2 | ≥ 4 Separe en dos desigualdades. x + 2 ≥ 4 O x + 2 ≤ 4 Reste 2 de cada lado en cada desigualdad x ≥ 2 O x ≤ - 6 La gráfica se vería así:
  12. Plano Numérico (Distancia – Punto medio) Plano Cartesiano: Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos. La ecuación del eje X es = 0, y la del eje Y es = 0, rectas que se cortan en el origen 0, cuyas coordenadas son (0,0). Se denomina también eje de las abscisas al eje X, y eje de las ordenadas al eje Y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas). Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
  13. Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA. ____ OA = x A i + y A j La posición del punto A será: A = (xA, yA) Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial. La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión: Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC. Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino: Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada. Distancia de dos puntos en el plano Si A (x1,y1) y B (x2,y2) son dos puntos de un plano cartesiano, entonces la distancia entre dichos puntos es calculable de la siguiente manera: Créese un tercer punto, llámese P (x2,y1) a partir del cual se forma un triángulo rectángulo. Prosiguiendo a usar el Teorema de Pitágoras , con el segmento AB cómo hipotenusa.H2= (cat1)2 + (cat2)2. Prosiguiendo a reemplazar la fórmula por los elementos de cada segmento y realizando el procedimiento:
  14. Punto medio: Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. Punto medio de un segmento, hallado mediante regla y compás: el punto medio es laintersección de la recta roja con el segmento en negro. En el plano cartesiano Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas: A= (x1,y1) y B= (x2,y2) El punto medio, Pm, tendrá por coordenadas:
  15. En el espacio cartesiano Sean los extremos con coordenadas A= (x1,y1,z1) y B= (x2,y2,z2) El punto medio tiene como coordenadas: Representación grafica de las cónicas Las cónicasson las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el ángulo de inclinación del plano, que denotamos por ß, podemos encontrarnos con las siguientes figuras: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación. Estudiemos a continuación una a una las características más importantes de cada una de las cónicas.
  16. Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es un caso particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º. Definición formal:Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. Parábola La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz. Por tanto el ángulo de inclinación coincide con el ángulo de conicidad. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito. Definición formal:Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz. Los elementos característicos de una parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que corresponde con el máximo o mínimo de la parábola según sea su curvatura). La ecuación de una parábola cuyo vértice es el (0,0) y su eje el eje de ordenadas es:
  17. Elipse La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo al eje, es decir, un plano que no sea paralelo ala generatriz del cono. Por tanto el ángulo de inclinación oscilará entre: 0<ß<90º. Definición formal:Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos, denominados focos F1 y F2, ésta es constante. Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripción son el centro O, el eje mayor AB, el eje menor CD, y la distancia focal, OF. La ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (0,0) es: Hipérbola Por último, la hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos asíntotas.
  18. Definición formal:Denominamos hipérbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo, denominados focos, esta es constante y además, menor que la distancia entre los focos. Los elementos representativos de una hipérbola son: el centro, O; los vértices, así como la distancia entre los vértices y la distancia entre los focos. La ecuación de una hipérbola que tiene por centro el (0,0) es: EJERCICIOSRESUELTOS Desigualdades 1.-4 < 5 – 3x ≤ 17 -9 < -3x ≤ 12 3 > x ≥ -4 S= [-4,3)
  19. Desigualdadescon valorabsoluto 2.|5x -4| ≤7 - 7≤ x5 - 4≤7 -7 + 4 ≤ 5x - 4 + 4 ≤ 7 + 4 -3 ≤ 5x ≤ 11 -3 ≤ 5x ≤ 11 5 5 5 - S= [3/5, 11/5] Bibliografía https://es.m.wikipedia.org/wiki/conjuntohttps://es.scribd.com/document/480905894/ Numeros- Realeshttps://es.m.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matematicahttps://es.m.wikiped ia.org/wiki/valor_absolutohttps://www.varsitytuturs.com/hotmath/hotmath_help/spa nish/topics/absolutevalve-inequalities. https://es.m.wikipedia.org/wiki/coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wik i/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio#:~:text- Punto%20medio%20en%20matematica%2C%20es,o%20extremos%20de%20un%2 0segmento.&text=En%20ese%20caso%2C%20el%20punto,a%20la%20mediatriz% 20del%segmentohttps://matematica.laguia2000.com/general/las-conicas
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