UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
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1. Sea R(0, 0, 4), tomemos el punto P (x, y, z) en la superficie y R(x, y, 0) en el plano xy.


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E2                  dE              dR
5. Sea P =   R ,   tenemos que   E    = 0,02 y   R    = −0,03. Entonces dP = PE dE ...
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  1. 1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS ´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ AREA DE MATEMATICAS ´ CALCULO VECTORIAL PARCIAL II Nombre: C´digo: o Fecha: Grupo: Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 15 Minutos o Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta selecciona- o ´ a da es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos. 1. [1] La ecuaci´n para la superficie formada por todos los puntos P equidistantes del punto (0, 0, 4) y del plano xy o es: x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 a) z = 4 + 4 +1 b) z = 8 + 8 −2 c) z = 8 + 8 +2 d) z = 4 + 4 −1 2. [1] Describa las curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = xy. Dibuje las curvas de nivel correspondientes a k = o ±1, ±2, ±3, ±4. 3. [1] Utilice las coordenadas polares para hallar el limite sin(x2 + y 2 ) l´ ım . (x,y)−→(0,0) x2 + y 2 [Sugerencia: Tomar x = r cos θ y y = r sin θ, y observar que (x, y) −→ (0, 0) implica r −→ 0.] 1 4. [1] Verifique que la funci´n z = 2 (ey − e−y ) sin x satisface la ecuaci´n de Laplace zxx + zyy = 0 o o 2 5. [1] La potencia el´crica P esta dada por P = E donde E es el voltaje y R es la resistencia. La aproximaci´n del e R o dP m´ximo error porcentual (Que es: P ) al calcular la potencia si se aplican 200 volts a una resistencia de 4000 ohms a y los posibles errores porcentuales al medir E y R son 2 % ( dE ) y 3 % ( dR ) respectivamente, es: [Sugerencia:El E R maximo error ocurre cuando dE y dR difieren en signos]: a) 5 % b) 3 % c) 7 % d) 9 %
  2. 2. 1. Sea R(0, 0, 4), tomemos el punto P (x, y, z) en la superficie y R(x, y, 0) en el plano xy. d(P, Q) = d(P, R) x2 + y 2 + (z − 4)2 = (x − x)2 + (y − y)2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 − 8z + 16 = z 2 8z = x2 + y 2 + 16 x2 y 2 z= + +2 8 8 k 2. Las curvas de nivel son hip´rbolas equil´teras de la forma k = xy, que pueden ser escritas como y = x . e a y 2 k = 4 k = 3 k = 2 k = 1 x k = −1 −2 2 k k = = −2 −3 k = −4 −2 3. sin(x2 + y 2 ) sin(r2 cos2 θ + r2 sin2 θ) l´ ım = l´ ım (x,y)−→(0,0) x2 + y 2 r−→0 r2 cos2 θ + r2 sin2 θ sin(r2 ) = l´ ım r−→0 r2 =1 1 4. Sea z = 2 (ey − e−y ) sin x. Encontremos zxx y zyy 1 zx = (ey − e−y ) cos x 2 1 zxx = − (ey − e−y ) sin x 2 1 zy = (ey + e−y ) sin x 2 1 zyy = (ey − e−y ) sin x 2 Tenemos entonces 1 1 zxx + zyy = − (ey − e−y ) sin x + (ey − e−y ) sin x = 0 2 2
  3. 3. E2 dE dR 5. Sea P = R , tenemos que E = 0,02 y R = −0,03. Entonces dP = PE dE + PR dR, as´ ı dP PE dE PR dR = + P P P 2 2E − E 2 dR dP R dE R = E2 + E2 P R R dP dE dR =2 − P E R dP = 2(0,02) − (−0,03) P dP = 0,07 P dP = 7% P

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