1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
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AREA DE MATEMATICAS
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CALCULO VECTORIAL
QUIZ III
Nombre: C´digo:
o
Fecha: Grupo:
Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 30 Minutos
o
Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada
o ´ a
es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es
sustentada completamente con procesos que lleven a ella el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO
es sustentada el valor es de 0. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5.
Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [
]. No se permite el intercambio de objetos.
1. [1]
a) Sea w = f (x, y) una funci´n donde x y y son funciones de dos variables r y θ. Dar la regla de la cadena para
o
∂w ∂w
hallar ∂r y ∂θ .
∂w ∂w y
b) Encuentre ∂r y ∂θ si w = arctan x , con x = r cos θ y y = r sin θ.
2. [1] El radio de un cilindro circular recto se incrementa a raz´n de 6 pulgadas por minuto, y la altura decrece a
o
raz´n de 4 pulgadas por minuto. La velocidad o ritmo de cambio del volumen cuando el radio es 12 pulgadas y la
o
altura es 36 pulgadas, es:
4608π
a) 4608π pul3 /min b) 2304π pul3 /min c) 3 pul3 /min d) 1202π pul3 /min
x
3. [1] Sea f (x, y) = x2 +y 2
.
1
a) Encuentre un vector normal a la curva de nivel k = 2 en el punto P (1, 1).
1
b) Gr´fique la curva de nivel k =
a 2 y en el punto P (1, 1) gr´fique el vector normal que encuentra en a).
a
4. [1] La superficie de una monta˜a se modela mediante la ecuaci´n h(x, y) = 5000−0,001x2 −0,004y 2 . Un monta˜ista
n o n
se encuentra en el punto (500, 300, 4390). La direcci´n en que debe moverse para ascender con la mayor rapidez
o
es:
a) 5i − 12j b) −i + 2,4j c) i − 2,4j d) −5i − 12j
5. [1] Las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie xy − z = 0 en el punto (−2, −3, 6) son:
a) −3x − 2y + z = −6 b) 3x − 2y + z = −6 c) 3x + 2y + z = −6 d) 3x + 2y − z = −6
x+2 y+3 x+2 y+3 x+2 y+3 x+2 y+3
−3 = −2 = z − 6 3 = −2 = z − 6 3 = 2 =z−6 3 = 2 =6−z

2. 1.
a)
w ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y
∂r = ∂x ∂r + ∂y ∂r
∂w ∂w ∂x ∂w ∂y
∂θ = ∂x ∂θ + ∂y ∂θ
x y
r θ r θ
y
b) Como w = arctan x , y x = r cos θ, y = r sin θ tenemos:
∂w 1 −y
= 2
∂x 1+ xy x2
x2 −y
= 2 + y2
x x2
y
=− 2
x + y2
∂w 1 1
= y 2
∂y 1+ x x
x2 1
=
x2 + y 2 x
x
= 2
x + y2
∂x
= cos θ
∂r
∂x
= −r sin θ
∂θ
∂y
= sin θ
∂r
∂y
= r cos θ
∂θ
As´
ı
∂w y x
= − cos θ + sin θ
∂r x2
+y 2 x2 + y2
r sin θ r cos θ
= − 2 cos θ + sin θ
r r2
sin θ cos θ sin θ cos θ
=− +
r r
=0
∂w y x
= − (−r sin θ) + r cos θ
∂θ x2 + y 2 x2 + y 2
r sin θ r cos θ
= − 2 (−r sin θ) + r cos θ
r r2
= sin2 θ + cos2 θ
=1

3. ∂r ∂h ∂V ∂V
2. Tenemos V (r, h) = πr2 h, ∂t = 6, ∂t = −4, ∂r = 2πrh, ∂h = πr2
∂V ∂V ∂r ∂V ∂h
= +
∂t ∂r ∂t ∂h ∂t
= 12πrh − 4πr2 , como r = 12 y h = 36
= 12π(12)(36) − 4π(12)2
= 5184π − 576π
= 4608π
x
3. Sea f (x, y) = x2 +y 2
y 2 −x2
a) ∇f (x, y) = (x2 +y 2 )2
, − (x22xy2 )2
+y
1
en (1, 1), tenemos ∇f (1, 1) = 0, − 2
b)
1 x
= 2
2 x + y2
x2 + y 2 = 2x
x2 + y 2 − 2x = 0
x2 − 2x + 1 + y 2 = 1
(x − 1)2 + y 2 = 1
y
2
1
−2 −1 1 2 x
−1
−2
4. h(x, y) = 5000 − 0,001x2 − 0,004y 2 entonces ∇h(x, y) = (−0,002x, −0,008y) en el punto (500, 300), tenemos
∇h(500, 300) = (−0,002(500), −0,008(300)) = (−1, 2.4), como u es paralelo a ∇h(500, 300) tomemos u = −5i−12j
5. Sea f (x, y, z) = xy − z = 0, entonces ∇f (x, y, z) = (y, x, −1) en el punto (−2, −3, 6), tenemos ∇f (−2, −3, 6) =
(−3, −2, −1). Encontremos el plano tangente y la recta normal.
∇f (−2, −3, 6) · (x + 2, y + 3, z − 6) = 0
−3(x + 2) − 2(y + 3) − (z − 6) = 0
−3x − 6 − 2y − 6 − z + 6 = 0
−3x − 2y − z − 6 = 0
3x + 2y + z = −60
Asi
x+2 y+3
= =z−6
3 2