1. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Comprobar que el vector x = (1,− ) depende linealmente de los vectores
1

z1 = (1,0)

x2 = ( 2,4)
   1 1
x3 = (6,9) ya que x = 2 x1 + x2 − x 3 .
2 3
2. Comprobar que los vectores (4,6) y (-12,-18) son linealmente dependientes.
3. Los vectores (1,-6) y (4,-24) ¿son LD?.
4. Comprobar que los vectores (4,0) y (0,1) son LI.
5. Hallar un vector que dependa linealmente del vector x=(1,1), y=(0,1), z=(0,0) y v=(-1,2).
6. Determinar si los vectores (2,1), (-1,4) y (1,6) y (-1,2) son LD o L i
7. Comprobar si son Li y Ld los conjuntos de vectores
1 1 
a. (1,1) y  ,  b. (2,3) y (2,1)
3 3 
8. Comprobar que los vectores (4,1) y (2,3) son LI.
9. ¿Cuáles son las coordenadas del vector (3,2) respecto de la base formada por los
vectores u=(1,1) y v=(-1,0). Calcular α y β en (3,2) = α(1,1) + β( −1,0)
10. Calcular α y β de modo que se verifique w = αv + βu siendo v=(-1,0), u=(0,-1) y
w=(2,2).
11. Determine en cada caso si el vector u es combinación lineal de los vectores dados ui
:
a. u = t + 4t − 3 u1 = t 2 − 2t + 5 u2 = 2t 2 − 3t u3 = t + 3
2
 1   1 1  1 1
b. u = 1, ,0,0)  u1 = (0,0,1,1) u2 =  0, , ,1 u3 =  ,0,0, 
 2   2 2   4 4
12. Dados los siguientes vectores, desarrollar las siguientes operaciones y graficar sus
resultados.
  1 1   
A = 3i + 2 
 j B= i− 
 j C = −4 
j D = −4i
 E =− − j

i 
2 2
     
1. ( A • B ) C − ( A • C) B = Rp: −4i + 2 ˆ
ˆ j
  1 ˆ
2. A× B= Rp: k
2
  
3. ( A × C) • E = Rp: 0
1   1  1 7
4. A − 5B − D = Rp: i + ˆ
ˆ j
2 3 3 2
13. Demostrar que la suma de vectores es conmutativa y asociativa.
14. Determinar p,q y r tales que la igualdad propuesta sea verdadera.
a. (p,2p,r-1)=(5,q,2r) Rp:5;10;-1
b. (p-1,2q+3,2r-1)=(3,q+3,r-2) Rp: 4:0;-1
c. (p+q,2p-q,r+1)=(3,3,3) Rp: 2,1,2
d. (3p-r,p+2r,3q)=(1,5,q) Rp: 1;2;0

2.  
16. Sean v = ( 3,1,5) u = ( −2,6,−3) r=2 s=3. Determinar un vector o un escalar
que represente a la expresión dada.
  
a. ru + s(u − v ) = (11,-33,18)
 
b. rv • su = -30
  
c. v • ( u − 2v ) = -85
   
d. (u − v ) • (u + v ) = 14
 
e. −( v +u ) = 3 6
 
f. u×v =
ˆ ˆ
j 20 ˆ
33i + − k
17. Calcular d(P,T) para los puntos P y T dados:
b. P=(3 2, 3) T=( 2 ,− 3 )
3 2 14
d. P=(a,b) T= ( 2a ,3b) a 2 + b2
e. P=(-3,5) T=(4,3) 53
f. P=(a-b,c+d) T=(a+b,c-d) 2 b +d22
18. Encontrar x e y si (3x-2,y+3)=(7,-2) x=3;y=-5
19. Hallar x,y,z si:
a. (2,-3,4)= x(1,1,1) + y(1,1,0) + z(1,0,0) x=4; y=-7; z=5
b. (3,-1,2)= x(1,1,1) + y(1,-1,0) + z(1,0,0) x=2; y=3; z=-2


 
22. Dados los siguientes vectores; A =12i +5  −k
 j B = 3i + 7 
 j C = 5i

[ ]
       
Calcular: a. ( A • B) C + A = b. A • ( − B) A − C

11. Dados los siguientes vectores; A = ( R cos α ) i + ( R sen α ) ˆ
ˆ j
  
B = ( S sen α ) i − ( S cos α ) ˆ .
ˆ j Demostrar que A y B son perpendiculares.
   
14. Sean; A = 8i − 5  + 6k
 j   
B = 2i + 7 j − 4 k j 
C = i +2 −k

Calcular:
    
a. 3 A × 2 B = b. ( 2 A − 3B ) × 5C =
    
c. 3 A • 2 B = d. ( A × B) • C =
   
g. ( A × B) × ( A × C) =
 
15. Dados los vectores A = 3i + 2 ˆ
ˆ j B = 4i − 5 ˆ
ˆ j
Encontrar el ángulo y proyección entre A y B que forman entre ellos.
16.- Cuales de los siguientes vectores no pueden generar a ℜ.
2

3. i) (1,1); ( -3,-3) ii) (1,3); (3,2) iii) (1,1), (-1,1) iv) (1,3);(0,0)
17.- Cuales de los siguientes conjuntos de polinomios generan a P2 .
i) 1, x². ii) 3,2x,-x². iii) 1+x ¸2+2x,x². iv)1-2x-x²,3-5x²,2+3x-2x².
18.- (3,5) está en el espacio generado por {(1,1),(2,4)}.
19.- (1,2,3) está en el espacio generado por {( 2,0,4),(-1,0,3)}.
1 1 1 1   1 1  1 0 
20.- 
 , 
 , 
 ,   genera a M 2 .
1 1 1 0   0 0  0
 0 

21.- { 1,− ,1,3), (7,1,0,4), (− ,0,8,2)
2 8 } es un subespacio de ℜ .
4
22.- Determina si el conjunto de vectores es linealmente dependiente.
i) (1,2), (-1,-3) ii) (2,-1,4), (4,-2,7)
iii) (1, 0,1), (0, 1,1), (1, 1,0). iv) (1,-2, 1,1), (3, 0,-2,2), (0, 4,-1,1), (5, 0,-3,1).
2 −1 0 − 3 4 1
iv) 2x, x³ - 3 ,1 + x – 4x³,x³ + 18x- 9. v) 
4 ,  ,  .
 0  1
 5  7
 −5 

23.- Determina si los siguientes conjuntos de vectores dan origen a una base para el espacio vectorial a
que se refieren
i) (1,2),(-1,-3) de ℜ .
2
ii) (1,-2,1,1),(3,0,-2,2),(0,4,-1,1),(5,0,-3,1) de ℜ .
4
iii) (1,0,1),(0,1,1),(1,1,0). de ℜ .
3
iv) (2,-1,4),(4,-2,7) de ℜ .
3
2 −1 0 − 3 4 1
v) 2x,x³ - 3 ,1 + x – 4x³,x³ +18x- 9. vi) 
4 ,  ,   . de M 2 .
 0  1
 5  7
 −5 
