Conceptos básicos relacionados con los vectores

1. Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

2. ALGEBRA VECTORIAL
SISTEMAS DE COORDENADAS
NOS PERMITEN RELACIONAR ALGUNOS ASPECTOS DE LA FÍSICA
CON POSICIONES EN EL ESPACIO
z EXISTEN VARIOS SISTEMAS DE COORDENADAS,
EL QUE MÁS UTILIZAREMOS ES EL SISTEMA DE
( x, y , z ) COORDENADAS CARTESIANAS
EN ESTE SISTEMA ENCONTRAMOS TRES EJES
y COORDENADOS, EL EJE X, EL EJE Y Y EL EJE Z
EN ÉL, CUALQUIER PUNTO ESTÁ REPRESENTADO
x POR SUS COORDENADAS (X,Y,Z)
( r ,θ ) OTRO SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO ES
r EL DE COORDENADAS POLARES PLANAS
θ AQUÍ, UN PUNTO ES REPRESENTADO
POR SUS COORDENADAS (r,θ)
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

3. ALGEBRA VECTORIAL
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
1) CANTIDAD ESCALAR
ESTÁ ESPECIFICADA POR UN VALOR CON LA UNIDAD APROPIADA
EJEMPLOS: TEMPERATURA (T) – VOLUMEN (V) –
MASA (m O M) – TIEMPO (t)
ESTE TIPO DE CANTIDADES PUEDEN TENER UN VALOR POSITIVO,
UN VALOR NEGATIVO O PUEDEN SER CERO
LA TEMPERATURA PUEDE SER POSITIVA (30 ºC), PUEDE SER
NEGATIVA (-5 ºC) Y PUEDE SER CERO (0 ºC)
MIENTRAS QUE EL TIEMPO, PUEDE SER CERO O POSITIVO (3 min)
SUS OPERACIONES MATEMÁTICAS SE REALIZAN UTILIZANDO
LAS REGLAS DE LA ARITMÉTICA
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

4. ALGEBRA VECTORIAL
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
2) CANTIDAD VECTORIAL
ES AQUELLA QUE POSEE TANTO MAGNITUD COMO
DIRECCIÓN Y SENTIDO. ES DECIR, ES UN VECTOR
EJEMPLOS: VELOCIDAD (v) – DESPLAZAMIENTO (Δr) – FUERZA (F)
(AQUÍ DENOTAREMOS A LOS VECTORES CON UNA LETRA EN AMARILLO O
CON UNA LETRA Y UNA FLECHA ARRIBA)
ESTE TIPO DE CANTIDAD SE REPRESENTA
CON UNA FLECHA
EJEMPLO:

A
EXTREMO O
PUNTA
ORIGEN
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

5. ALGEBRA VECTORIAL
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
a) MAGNITUD O MODULO: REPRESENTA EL TAMAÑO DEL VECTOR Y
SIEMPRE ES UN VALOR POSITIVO

F
F
SE DENOTA CON LA LETRA DE LA MAGNITUD FÍSICA SIN LA
FLECHA O CON LA NOTACIÓN DEL VECTOR, ENTRE BARRAS
DE VALOR ABSOLUTO
EJEMPLO: 
VECTOR: F 
MAGNITUD O MODULO: F O F
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

6. ALGEBRA VECTORIAL
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
b) DIRECCIÓN: PUEDE SER HORIZONTAL, VERTICAL O INCLINADA
c) SENTIDO: PUEDE SER HACIA LA DERECHA, HACIA LA IZQUIERDA,
HACIA ARRIBA, HACIA ABAJO, SALIENDO DE LA HOJA, ENTRANDO A
LA HOJA, ENTRE OTROS
SIMBOLO QUE INDICA QUE UN
VECTOR ESTÁ SALIENDO DE LA HOJA
SIMBOLO QUE INDICA QUE UN
X
VECTOR ESTÁ ENTRANDO A LA HOJA
GENERALMENTE, TANTO LA DIRECCIÓN COMO EL SENTIDO DEL VECTOR, SE ENGLOBAN EN
UN SOLO TÉRMINO DENOMINADO DIRECCIÓN, Y ES REPRESENTADO POR UN ÁNGULO
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

7. ALGEBRA VECTORIAL
COMPONENTES DE UN VECTOR
¿DE QUÉ MANERAS PODEMOS REPRESENTAR A UN VECTOR?
EN ESTE CURSO, LO REPRESENTAREMOS DE 2 FORMAS:
1) CON SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN (ÁNGULO)
EJEMPLO:
MAGNITUD: 3 N
DIRECCIÓN: 65º EN SENTIDO ANTIHORARIO
A PARTIR DE +X
2) CON SUS COMPONENTES
ESTA REPRESENTACIÓN LA
EXPLICAREMOS A CONTINUACIÓN
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

8. ALGEBRA VECTORIAL
COMPONENTES DE UN VECTOR
SI UN VECTOR ESTÁ REPRESENTADO A TRAVÉS DE SU MAGNITUD Y
SU DIRECCIÓN, ES POSIBLE REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE
COORDENADAS CARTESIANO DE LA SIGUIENTE MANERA:
y AX Y AY SON LAS COMPONENTES
DEL VECTOR A
 
AY A EN ESTE CASO EL VECTOR ESTÁ EN EL PLANO,
θ PERO PUEDE ESTAR EN EL ESPACIO, MÁS
 ADELANTE EXPONDREMOS ESTA SITUACIÓN
Ax x
LA FIGURA MUESTRA QUE AL TRAZAR LAS LÍNEAS PARA OBTENER LAS
PROYECCIONES DEL VECTOR (LÍNEAS SEGMENTADAS), SE FORMAN
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CON CUALQUIERA DE LOS TRIÁNGULOS, ES POSIBLE DETERMINAR EL VALOR
DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR.
A ESTE PROCEDIMIENTO LO LLAMAMOS “DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR”
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

9. ALGEBRA VECTORIAL
COMPONENTES DE UN VECTOR
EN BASE AL TRIÁNGULO FORMADO POR A, AX Y LA LÍNEA
SEGMENTADA VERTICAL, CALCULAREMOS LAS MAGNITUDES DE
LAS COMPONENTES DEL VECTOR A
y C.O. AY
Senθ = =
  h A
AY A C. A. AX
θ Cosθ = =
 h A
Ax x
ESTAS ECUACIONES DEPENDEN DEL ÁNGULO QUE SE
CONOZCA, POR LO QUE ES MUY IMPORTANTE APRENDER A
DEDUCIR DICHAS ECUACIONES, ANTES DE MEMORIZARLAS
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

10. ALGEBRA VECTORIAL
COMPONENTES DE UN VECTOR
EL PROCEDIMIENTO QUE REALIZAMOS EN LA PARTE ANTERIOR NO
ES MÁS QUE LA TRANSFORMACIÓN DE UN TIPO DE
REPRESENTACIÓN DEL VECTOR (MAGNITUD-DIRECCIÓN), A LA
REPRESENTACIÓN DEL VECTOR A TRAVÉS DE SUS COMPONENTES
TAMBIÉN ES POSIBLE REALIZAR EL PROCESO INVERSO; PASAR
DE LAS COMPONENTES A LA MAGNITUD-DIRECCIÓN
LAS COMPONENTES DEL VECTOR AX Y AY,
y
REPRESENTAN LOS CÁTETOS DEL TRIÁNGULO,
 APLICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS:

AY A MAGNITUD: h = CO 2 + CA2
θ 
 ⇒ A = AX 2 + AY 2
Ax x
CO AY A 
DIRECCIÓN: Tgθ = = ⇒ θ = Tg −1  Y
A 

CA AX  X 
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

11. ALGEBRA VECTORIAL
VECTORES UNITARIOS
LAS CANTIDADES VECTORIALES SUELEN REPRESENTARSE
EN TÉRMINOS DE VECTORES UNITARIOS
UN VECTOR UNITARIO ES AQUEL QUE TIENE UNA MAGNITUD
IGUAL A UNO, Y NO TIENE DIMENSIONES (ES ADIMENSIONAL)
ESTOS VECTORES SON UTILIZADOS PARA
ESPECIFICAR UNA DIRECCIÓN DETERMINADA
EXISTEN TRES VECTORES UNITARIOS QUE SE
ENCUENTRAN DIRIGIDOS HACIA LA PARTE POSITIVA DE LOS
EJES COORDENADOS X, Y, Z.
z   
SON DENOTADOS COMO i , j , k ,COMO SE MUESTRA

k UN VECTOR REPRESENTADO CON SUS
 COMPONENTES, USA ESTOS VECTORES
i  y UNITARIOS, DE LA SIGUIENTE MANERA:
j    
x
A = AX i + AY j + AZ k
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

12. ALGEBRA VECTORIAL
VECTORES UNITARIOS
POR OTRA PARTE, A CUALQUIER VECTOR LE
PODEMOS DETERMINAR SU VECTOR UNITARIO
 ES DECIR, AQUEL VECTOR CON MAGNITUD UNO Y
A QUE APUNTARÁ HACIA DONDE APUNTE EL VECTOR
 DE DONDE SE OBTUVO ESTE VECTOR UNITARIO
uA
EL VECTOR UNITARIO DE CUALQUIER VECTOR
SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE MANERA:
   
DADO EL VECTOR: B = BX i + BY j + BZ k

u B , (VECTOR UNITARIO DEL VECTOR B), SE DETERMINA ASÍ:

 B , DONDE  2 2 2
uB =  B = B X + BY + BZ
B
  
 B i +B j +B k
⇒ uB = X 2 Y 2 Z 2
B X + BY + BZ
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

13. ALGEBRA VECTORIAL
COSENOS DIRECTORES
REPRESENTAN LOS COSENOS DE LOS ÁNGULOS FORMADOS
POR UN VECTOR QUE SE ENCUENTRA EN EL ESPACIO
(TRIDIMENSIONAL), Y CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS
z  CX CY
C Cosα =  Cosβ = 
γ C C
β
CZ
y Cosγ = 
x
α C
 2 2 2
RECUERDA QUE: C = C X + CY + C Z
ESTOS COSENOS DIRECTORES ESTÁN
RELACIONADOS DE LA SIGUIENTE MANERA:
Cos 2α + Cos 2 β + Cos 2γ = 1
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

14. ALGEBRA VECTORIAL
IGUALDAD DE DOS VECTORES
DOS VECTORES SON IGUALES SI Y SÓLO SI TIENEN:
LA MISMA MAGNITUD, LA MISMA DIRECCIÓN Y EL MISMO SENTIDO
DEL GRUPO DE VECTORES QUE SE MUESTRAN,
¿CUÁLES SON IGUALES ENTRE SI?
 
A B A = C, IGUALES EN MAGNITUD,
DIRECCIÓN Y SENTIDO
 B Y F SÓLO TIENEN IGUAL LA DIRECCIÓN

D C D = G, IGUALES EN MAGNITUD,
 DIRECCIÓN Y SENTIDO
E
D Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD

 F G Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD
G
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

15. ALGEBRA VECTORIAL
VECTOR OPUESTO
EL VECTOR OPUESTO DE OTRO VECTOR, ES AQUEL
QUE TIENE LA MISMA MAGNITUD Y LA MISMA
DIRECCIÓN, PERO SENTIDOS CONTRARIOS
  A Y C, SON VECTORES OPUESTOS
A B
B Y F TIENEN SENTIDOS OPUESTOS,
PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
  D Y E TIENEN SENTIDOS OPUESTOS,
D C PERO DIFIEREN EN MAGNITUD

E D = G, IGUALES EN MAGNITUD,
DIRECCIÓN Y SENTIDO

 F E Y G TIENEN SENTIDOS OPUESTOS,
G PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño